0 bNieparametryczne testy istotności, testy rozkładów:

NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI:

Ogólne informacje odnośnie testów nieparametrycznych:

• Nie wymagają założeń

• Analiza danych jakościowych i danych uporządkowanych

• Analiza danych pochodzących z małych prób

• Nie zależą od pewnych parametrów rozkładu populacji

• Nieznane są rozkłady zmiennych losowych

• Mają mniejszą moc od testów parametrycznych, ale przewyższają je w prostocie budowy i mało uciążliwych rachunkach

BADANIE RÓŻNIC MIĘDZY PRÓBAMI NIEZALEŻNYMI:

• Test U Manna - Whitney'a:

Zastosowanie:

• Dla zmiennych mierzalnych, których rozkład nie jest zgodny z rozkładem normalnym (rangi) - w takim przypadku możemy hipotezę zerową formułować jako brak istotnej różnicy średnich arytmetycznych; oczywiście test Manna i Whitney'a możemy też zastosować do danych spełniających założenia testu t-Studenta; jego moc wynosi wówczas około 95% mocy testu t-Studenta

• Dla zmiennych mierzalnych typu porządkowego (miarą tendencji centralnej jest mediana) - w tym przypadku hipoteza zerowa zakłada, że badane grupy pochodzą z tych samych populacji, tzn. rozkłady danych w analizowanych grupach nie różnią się istotnie; dla danych porządkowych nie można bowiem obliczać wartości średniej

• Jest najmocniejszą nieparametryczną alternatywą dla testu t dla prób niezależnych

Przygotowanie do przeprowadzenia testu:

Punktem wyjścia w teście Manna i Whitney'a jest nadanie wynikom obserwacji rang.

Rangowanie przeprowadzamy następująco:

1. Porządkowanie rosnąco wartości obu prób.

2. Zaczynając od wartości najmniejszej (lub największej), przyporządkowuje się poszczególnym obserwacjom kolejne liczby naturalne.

3. W przypadku wystąpienia wartości jednakowych przyporządkowywanie im tzw. rangi wiązane (średnia arytmetyczna z rang, jakie powinno im się przypisać).

Procedura:

1. Formułowanie hipotezy zerowej H₀ oraz alternatywnej H₁

H₀: nie ma różnic pomiędzy medianami

H₁: jest istotna różnica pomiędzy medianami

2. Poziom istotności α=0,05 lub α=0,01

3. Sprawdzenie założeń modelu:
   rozważana zmienna jest mierzalna lub w skali porządkowej (rangowej)

4. Z dwóch prób tworzy się jedną próbę uporządkowaną i ranguje obserwacje.

5. Wyliczenie wartości sprawdzianu
   U₁ = n₁*n₂ + ½ * n₁ (n₁ + 1) - R₁ R₁ - suma rang określonych dla pierwszej próby
   U₂ = n₁*n₂ + ½ * n₂ (n₂ + 1) - R₂
   Bierzemy mniejszą z otrzymanych wartości (oznaczoną jako U_d) i porównuje się ją z wartością krytyczną odczytaną z tablic.

6. Decyzja o odrzuceniu lub przyjęciu hipotezy zerowej:
   p<α - odrzucamy H₀ i przyjmujemy H₁
   p>α - nie ma podstaw do odrzucenia H₀
   U_d < U_k - odrzucamy H₀ i przyjmujemy H₁

7. Interpretacja wyników.
   

• Test serii Walda Wolfowitza

• Test Kołomogorowa-Smirnowa

BADANIE RÓŻNIC MIĘDZY PRÓBAMI ZALEŻNYMI:

• Test znaków

• Test Wilcoxona dla par obserwacji (rangowanych znaków) - test kolejności par Wilcoxona:

Zastosowanie:

• Dla zmiennych mierzalnych, których rozkład nie jest zgodny z rozkładem normalnym.

• Dla danych typu porządkowego i nie można obliczyć wartości średniej (miara tendencji centralnej - mediana)

• Uwzględnia znak różnic pomiędzy rozkładami, ich wielkość oraz kolejność.

• Ma moc zbliżoną do mocy testu t

Procedura:

1. Formułowanie hipotezy zerowej H₀ oraz alternatywnej H₁

H₀: wyniki obu prób są jednakowe
badane próby pochodzą z tej samej populacji
nie ma istotnej różnicy między rozkładami danych w dwóch grupach

H₁: wyniki obu prób są różne
badane próby pochodzą z różnych populacji
jest istotna różnica między rozkładami danych w dwóch grupach

2. Poziom istotności α=0,05 lub α=0,01

3. Sprawdzenie założeń modelu:
   zmienna mierzalna lub typu porządkowego

4. Obliczenie wartości statystyki testu na podstawie danych z badanej próby:

1. obliczenie różnicy między wartości uzyskaną w pierwszym badaniu i wartością uzyskaną w drugim badaniu

2. uporządkowanie różnic w szereg rosnący i przypisanie im rang

3. osobne sumowanie rang różnic dodatnich i rang różnic ujemnych

4. mniejsza z otrzymanych sum to wartość testu Wilcoxona

5. Decyzja o odrzuceniu lub przyjęciu hipotezy zerowej

6. Interpretacja wyników.

• Test McNemary: - zagadnienie 8
  i test Q Cochrana:
  Zastosowanie:

• jest uogólnieniem testu McNemary na więcej niż dwie próby.

• zmienną zależna dychotomiczna - jak w McNemary (np. zdarzenie zaszło lub nie, odpowiedź jest poprawna lub zła)

• dokonuje się całej serii pomiarów. Ocenia się, czy kolejne liczebności lub proporcje różnią się istotnie między sobą.
  
  Wyniki pomiarów zapisujemy w tabeli, w której liczba rubryk poziomych odpowiada liczbie przebadanych osób, a liczba rubryk pionowych - liczbie dokonanych pomiarów zmiennej niezależnej.
  
  
  

BADANIE n PRÓB - NIEPARAMETRYCZNE ODPOWIEDNIKI ANALIZY WARIANCJI:

• Test Friedmana

• Test Q Cochrana

• Test Kruskala - Wallisa:

Zastosowanie:

• Nieparametryczny odpowiednik jednoczynnikowej analizy wariancji

• służy do dokonania porównań wielu grup (maksymalnie można porównywać 10 grup)

• sprawdzenie czy n niezależnych próbek pochodzi z tej samej populacji, czy z populacji z taką samą medianą.

• poszczególne próbki nie muszą mieć takie same liczebności.

• Dla danych mierzalnych, ale ich rozkłady nie jest zgodny z rozkładem normalnym lub wariancje są niejednorodne

• Dla danych typu porządkowego i nie można obliczyć wartości średniej (miarą tendencji centralnej jest mediana)

Przygotowanie do przeprowadzenia testu:

Rangi nadane wynikom obserwacji są punktem wyjścia do wyliczenia wartości opisywanych testów.

Proces rangowania przebiega następująco:

1. Porządkujemy rosnąco wartości obu prób.

2. Zaczynając od wartości najmniejszej (lub największej), przyporządkowujemy poszczególnym obserwacjom kolejne liczby naturalne.

3. W przypadku wystąpienia wartości jednakowych przyporządkowujemy im tzw. rangi wiązane (średnia arytmetyczna z rang, jakie powinno się im przypisać).

Procedura:

1. Formułowanie hipotezy zerowej H₀ oraz alternatywnej H₁

H₀: nie ma istotnej różnicy między medianami zmiennej w badanych populacjach
pomiary we wszystkich porównanych próbach pochodzą z tej samej populacji

H₁: jest istotna różnica między medianami zmiennej w badanych populacjach
pomiary nie we wszystkich porównanych próbach pochodzą z tej samej populacji

2. Poziom istotności α=0,05

3. Sprawdzenie założeń modelu:
   zmienna mierzalna lub typu porządkowego

4. Obliczenie wartości statystyki testu na podstawie danych z badanej próby:

1. wyznaczenie rang dla każdej wartości w badanych grupach

2. sumowanie rang w poszczególnych grupach

3. jeżeli wszystkie próby pochodzą z tej samej populacji, to średnia z rang będzie we wszystkich grupach równa
   Test sumy rang Kruskala-Wallisa - rozkład χ², df=k-1
   
   n=n₁+n₂+n_k T_i - suma rang w każdej próbie oddzielnie, k-ilość elementów w próbie

5. Decyzja o odrzuceniu lub przyjęciu hipotezy zerowej
   p<α - odrzucamy H₀ i przyjmujemy H₁
   p>α - nie ma podstaw do odrzucenia H₀

6. Interpretacja wyników.

KORELACJE NIEPARAMETRYCZNE:

• R Spearmana

• Tau Kendalla

• Test chi-kwadrat

TESTY ROZKŁADÓW: - testy zgodności rozkładów, zagadnienie 9

• Test zgodności chi-kwadrat:

• Test zgodności Kołmogorowa-Smirnowa (Lillieforsa):

• Test W Shapiro-Wilka: