1.Objaśnij układ wsp. naturalnych; w jaki sposób można połączyć ten układ z pojęciem wysokości ?

Podstawową osią tego układu jest chwilowa oś obrotu Ziemi ω przechodząca przez punkt S środka masy Ziemi. Płaszczyzna równika astronomicznego przeprowadzona jest przez punkt S tak aby była prostopadła do osi wirowania Ziemi.Płaszczyzna południka astr. Greenwich pochodzi z pęku płaszczyzn przechodzących przez kierunek linii pionu obs. Greenwich i jest równoległa do osi ω. Pł.poł.miejsca obs. Pochodzi z pęku płaszczyzn przechodzących przez kierunek linii pionu w miejscu obs. P // do ω. Kąt jaki tworzy kierunek linii pionu z pł. równika nazywa się szerokością geograficzno-astronomiczną ϕ(0-90[NS]).Kąt dwuścienny utworzony przez pł. południków (Greenwich i P)nazywa się długością geograficzno-astronomiczną λ (0-360/[E] lub 0-180[EW]).Kierunek linii pionu w punkcie P(g=gradW_p) można określić w przestrzeni kątami ϕ i λ ;1 cosϕ cosλ 2.G=gradW=-gn=-g cosϕ sinλ;3. Sinφ

ϕ i λ oraz wartość potencjału W stanowią trójkę współrzędnych naturalnych punktu P(ϕ,λ,W).Wartość W_p nie mierzymy bezpośrednio, lecz ze wzoru C=W₀-W_p=₀∫^p gdh co ma ścisły związek z pojęciem wysokości.2.Podaj definicję wysokości ortometrycznych; wyjaśnij czym różnią się wys. ortometryczne prawdziwe (Niethammera) od przybliżonych (Helmerta).-oznaczają odległości punktów na fizycznej powierzchni Ziemi od geoidy mierzone wzdłuż linii pionu C= W₀-W_p=₀∫^p gdH(całkowanie wykonuje się wzdłuż linii pionu pkt P).C= ₀∫^H gdH=H*1/H₀∫^HgdH=Hg^ ; g^- średnia wartość całki(przeciętna wartość przyspieszenia siły ciężkości na odcinku linii pionu od 0 do H) ;g^=1/H₀∫^HgdH; H=-( W_p- W₀)/g^ jest to wyrażenie definiujące wysokość ortometryczną.Licznik może być wyznaczany z całki ;C=W₀-W_p=₀∫^p gdh, za pomocą pomiarów różnic wys.(dh≡Δh),pomiarów przyspieszenia siły ciężkiości.Wysokości ortometryczne prawdziwe (Niethammera) od przybliżonych (Helmerta) różnią się tym, że Helmert zrezygnował z wyznaczania poprawek terenowych δg_A” i δg_B”,które są niewielkie na terenach płaskich i nieznacznie pofałdowanych.

3.Redukcja kierunków i długości w odwzorowaniu G-K.Redukcja długości-m=1+y²/2R₁²+y⁴/24R₁⁴-skala odwzorowania;podstawiamy ją do wzoru ds=(1/m)dS i otrzymujemy:s=₀∫^s(1+ y²/2R₁²+y⁴/24R₁⁴)^-1dS;przyjmujemy, że R=R_m czyli średniemu promieniowi krzywizny środkowego punktu linii S=s(1+(y₁²+y₁y₂+y₂²)/6R_m);taka dokładność wystarcza dla większości przypadków spotykanych w praktyceS≥s; gdy y=0 S=sReducje kierunków-kąty(δ) jakie tworzy cięciwa z łukiem krzywej boku trójkąta na płaszczyźnie ;α₁₂=A₁₂-γ₁-δ_{12 ,}α₂₁=A₂₁-γ₂-δ₂₁ to kąty kierunkowe.;wiernokątność odwzorowania zapewnia równość odpowiednich kątów na pow. elipsoidy i na płaszczyźnie. Σ kątów wewnętrznych na elipsoidzie=360°+εa Σ kątów wewnętrznych figury płaskiej=360°+δ₁₂+δ₂₁ stąd ε=δ₁₂+δ₂₁;zakładamy ,że δ₁₂=δ₂₁ → δ₁₂≈ε/2Powierzchnia trapezu P₁'P₂'O₂'O₁'; P_trapezu=(x₂-x₁)y_m y_m=( y₂+y₁)2; Przybliżony wzórδ₁₂≈ε/2=((x₂-x₁)y_m)/(2R_m²)4.Anomalie grawimetryczne; podstawowe równanie geodezji fizycznej-interpretacja; przejście do wzoru Stokesa.Wektor , będący różnicą (wek)g₀ (wektora przyspieszenia rzeczywistego na geoidzie w pkt P₀) i (wek)γ_e(w pkt P_e na elipsoidzie) nazywamy wektorem anomalii grawimetrycznej Δg=Δ(wek)g=(wek)g₀-(wek)γ_e;różnicę modułów wektorów przyspieszenia g₀ na geoidzie i normalnego γ_e nazywamy anomalią grawimetryczną Δg= g₀-γ_e ; kąt θ jaki tworzą kierunki wektorów g₀ i γ_e nazywamy odchyleniem pionu.;Δg=-(∂T/∂n)+(1/γ)(∂γ/∂n)T-podstawowe równanie geodezji fizycznej; wiąże ono anomalie grawimetryczne z zakłóceniami grawimetrycznymi oraz wysokościami geoidy wzgl. elipsoidy; porównując wzory wyrażające objętości elipsoidy i kuli (4/3)лa²b=(4/3)лR³ mamy R=³√a²b;γ≈G(M/R²) ; (∂γ/∂n)≈ (∂γ/∂n)=-(2γ/R); (∂T/∂n)≈ (∂T/∂r); Δg≈-(∂T/∂r)-2(T/R);zastąpienie powierzchni ekwipotencjalnej powierzchnią kuli o takiej samej objętości dało nam przybliżoną postać podstawowego równania różniczkowego

Zestaw B1.W jakim zagadnieniu spotkałeś wykorzystanie równania Clairauta dla linii geodezyjnej ? Objaśnij to zagadnienie.Wykorzystanie równania Clairauta dla linii geodezyjnej występuje w metodzie rozwiązania zadania wprost algorytmem Kivioja. Metoda ta wykorzystuje także równania różniczkowe pierwszego rzędu dla linii geodezyjnej i stosowana jest dla odległości nie przekraczających 200 km.dB/ds.=cos/M ;dL/ds.=sinA/NcosB;NcosBsinA=c=const;Algorytm:1.ustalenie dł. elementu l.g. ds;ds=s/n gdzie n-liczba elementówdla ds<(1-1,5)km np. ds_i=1000km ds_n-ostatni element2.wyznaczamy główne promienie krzywizny w pkt. wyjściowym (i=P₁);M_i=a(1-e²)/√(1-e²sin²B_i)³; N_i=a/√1-e²sin²B_i oraz stałą c z równania Clairautac= N₁cosB₁sinA₁₂3.pierwsze przybliżenie przyrostu szerokości δB_i⁽¹⁾= ds_i cosA₁₂/M_i;biorąc średnią wartość szerokości elementu ds_i B_i^m=B_i+1/2 δB_i⁽¹⁾ wyznaczamy średnie wartości M_i^m N_i^m oraz wartość azymutu elementu ds_i w połowie tego elementu sin A_i^m= c/(N_i^mcos B_i^m)4.uzyskujemy lepsze przybliżenie δB_i^m= ds_i cosA_i,i+1^m/M_i^m , B_i+1=B_i+δB_i^m;δL_i^m= ds_i sinA_i,i+1^m/N_i^mcosB_i^m, L_i+1=L_i+δL_i^m;podstawiając za i=1,2,3....n powtarzamy obliczenia aż uzyskamy pkt. P₂.W każdym pkt. pośrednim obliczamy najpierw azymut i promienie krzywizny M_i i N_iB₂=B₁+∑od i=1do n δB_i^m, L₂=L₁+∑od i=1do n δL_i^m;A₂₁=A₂+/-180˚ sin A_n+1^m= c/(N_n+1^mcos B_n+1^m);Gdy mniejsza dł. ds tym lepsza dokładność.2.W jaki sposób wiążą się harmoniczne strefowe, sektorowe i tesseralne z charakterystyką rozkładu masy w przestrzeni, którego dotyczą?Powierzchniowymi harmonicznymi sferycznymi nazywamy wyrażenia , które są iloczynami funkcji Legendre'a i wyrażeń o postaci cosmλ oraz sinmλ:P_nm(cosθ)cosmλ=c_nm(θ,λ); P_nm(cosθ)sinmλ=s_nm(θ,λ);Powierzchniowa funkcja sferyczna Y_n(θ,λ)=g(θ)h(λ) jest sumą kombinacji liniowych powyższych harmonicznych.Gdy m≠n-harmoniczne tesseralne;gdy m=0 i m=n dla n równoleżników-harmoniczne strefowe;gdy m=0 i m=ndla 2n południków-harmoniczne sektorowe.Z analizy funkcji Legendre'a wynika, że różne harmoniczne wiążą się z różnymi rozkładami masy wzgl. osi oz (obrotu) i xoy (równika).Założywszy symetrie wzgl. osi obrotu można ze wzoru na potencjał grawitacyjny wyeliminować harmoniczne sektorowe i tesseralne a zakładając symetrie wzgl. równika pozostają we wzorze tylko składowe strefowe parzyste 2n.

3.Podaj i objaśnij definicję wysokości normalnych Mołodeńskiego; przedstaw uproszczoną procedurę obliczania tych wysokości na podstawie pomiarów niwelacyjnych i grawimetrycznych.Wartość liczby geopotencjalnej wyznacza się z niwelacji geometrycznej (dh) i pomiarów grawimetrycznych (g) wzdłuż ciągu niwelacyjnego (∑gdh).Wartość liczby geopotencjalnej C można wyrazić poprzez różnicę potencjałów : elipsoidy ekwipotencjalnej o potencjale U₀(U₀=W₀) oraz potencjału normalnego U_Q w takim punkcie Q linii pionu pola normalnego, w którym potencjał U_Q=W_P w punkcie na fizycznej powierzchni Ziemi.C=U₀-U_Q=∫od 0 doHⁿγdH-punkt Q leży na telluroidzie, której odl. od elipsoidy ekwip.jest równa wysokości normalnej Hⁿ,wysokość normalna jest jednocześnie wysokością geometryczną telluroidy; C=Hⁿ1/Hⁿ∫od 0 do HⁿγdH C=Hⁿγ^ γ^=1/Hⁿ∫od 0 do HⁿγdH i jest przeciętną wartością przyspieszenia normalnego wzdłuż wys. normalnej Hⁿ.;γ^=γ_e[1-(1+ƒ+q-2ƒsin²φ)(Hⁿ/a)+(Hⁿ/a)²];Hⁿ=C/γ^→ Hⁿ=C/γ_e[1-(1+ƒ+q-2ƒsin²B)(C/aγ_e)+(C/aγ_e)²];γ_e-przyspieszenie normalne na powierzchni elipsoidy normalnej;Różnica wysokości normalnych ΔH_ABⁿ=_A∫^Bdh+(1/γ^_AB) _A∫^BHⁿdγ_e+(1/γ^_AB) _A∫^B(g₀-γ₀)dh4.Przedstaw metody redukcji współrzędnych prostokątnych na powierzchnię elipsoidy:1)w polu siły ciężkości,2) rzutowanie wg normalnej do elipsoidy.Ad.1Metoda Pizzettiego redukcji w rzeczywistym polu siły ciężkości-wiąże się ona z systemem wysokości ortometrycznych. Pierwszym etapem jest przeniesienie punktu na geoidę tam gdzie linia pionu spotyka tę powierzchnię.Drugi etap to ortogonalny rzut z geoidy na elipsoidę odniesienia. Ad.2Metoda Helmerta bezpośredniego rzutowania na elipsoidę(x,y,z)→(B,L,H);x=(N+H)cosBcosL;y=(N+H)cosBsinL;z=(τ^-1N+H)sinB, τ^-1=1-e²);odległość punktu o wsp. x,y,z od osi Oz: p=√(x²+y²)=(N+H)cosB;H=(p/cosB)-N; promień krzywizny w pierwszym wertykale N=a/√( τ^-1sin²B+cos²B);tanB^(k+1)=z/p[1-e²(N^(k)/( N^(k)+ H^(k)))]^-1; tanB^(k=0)=z/p(1/(1-e²));Wartości H i N modyfikujemy w każdym kroku iteracyjnym na podstawie aktualnego przybliżenia B^(k);wartość L wyznacza się bezpośrednio tanL=y/x;zaletą metody Helmerta jest niezależność od pola siły ciężkości, a przez to pełna odwracalność procedury redukcji.

Zestaw C1.Objaśnij transformację do sąsiednich pasów odwzorowawczych na płaszczyźnie odwzorowania G-K.Metoda profesora Hausbrandta polega na bezpośredniej interpolacji wielomianowej funkcji dwóch zmiennych niezależnych. Dysponując komputerem i odpowiednim oprogramowaniem do transformacji współrzędnych (B,L) na (x,y) możemy wykonać transformację na pas sąsiedni. Mając współrzędne (x,y)' przechodzimy do wsp. (B,L) i dokonujemy zmiany południka osiowego z L₁ na L₂.Przyjmując południk pasa sąsiedniego ponownie obliczamy współrzędne (x,y)”.2.Przedstaw fizyczną istotę wysokości w ziemskim polu siły ciężkości.dW=gradWds zmiana dW odpowiada przesunięciu ds.; dW=gds=gdscos(g,ds);zakładamy ,że h oznacza dodatni zwrot normalnej do pow. W=W_P w punkcie P i że wektor przesunięcia ds. w polu o potencjale W ma kierunek i zwrot wektora g=gradW ;cos(g,ds)=cos(g,dh)=-1; dW=-gdh;otrzymaliśmy w ten sposób odległość sąsiednich powierzchni ekwipotencjalnych wyrażoną przez różniczkę potencjału i przyspieszenie siły ciężkości dh=-(dW/g)*;powierzchnie te nie są równoległe ponieważ natężenie siły ciężkości zmienia się na pow. ekwipotencjalnej;Całkując równanie * w granicach od W₀ do W_P otrzymamy liczbę geopotencjalną wykorzystywaną w pojęciu wysokości i wyrażającą pracę w polu potencjalnym; aby otrzymać wysokość (drogę pomiędzy powierzchniami W₀ i W_P) należy podzielić liczbę geopotencjalną przez siłę właściwą dla drogi 0-P wzdłuż linii pionu.3.Podaj i objaśnij przybliżony wzór na przyspieszenie normalne siły ciężkości na powierzchni elipsoidy ekwipotencjalnej.γ=γ_a[1+ƒ*sin²B-(1/4)ƒ₄sin²2B]; ƒ₄=ƒ[ƒ*+(1/4)ƒ]; dokładność wzoru szacuje się na około 1μms^-2=0,1mgal; B-szerokość elipsoidalna; γ_a-przyspieszenie normalne; ƒ-spłaszczenie geometryczne; ƒ*-spłaszczenie grawimetryczne

4.Przedstaw definicję wys. normalnych; omów ścisłe i przybliżone wyznaczenie wys. normalnych.Wartość liczby geopotencjalnej wyznacza się z niwelacji geometrycznej (dh) i pomiarów grawimetrycznych (g) wzdłuż ciągu niwelacyjnego (∑gdh).Wartość liczby geopotencjalnej C można wyrazić poprzez różnicę potencjałów : elipsoidy ekwipotencjalnej o potencjale U₀(U₀=W₀) oraz potencjału normalnego U_Q w takim punkcie Q linii pionu pola normalnego, w którym potencjał U_Q=W_P w punkcie na fizycznej powierzchni Ziemi.C=U₀-U_Q=∫od 0 doHⁿγdH-punkt Q leży na telluroidzie, której odl. od elipsoidy ekwip.jest równa wysokości normalnej Hⁿ,wysokość normalna jest jednocześnie wysokością geometryczną telluroidy; C=Hⁿ1/Hⁿ∫od 0 do HⁿγdH C=Hⁿγ^ γ^=1/Hⁿ∫od 0 do HⁿγdH i jest przeciętną wartością przyspieszenia normalnego wzdłuż wys. normalnej Hⁿ.;γ^=γ_e[1-(1+ƒ+q-2ƒsin²φ)(Hⁿ/a)+(Hⁿ/a)²];Hⁿ=C/γ^→ Hⁿ=C/γ_e[1-(1+ƒ+q-2ƒsin²B)(C/aγ_e)+(C/aγ_e)²]*;γ_e-przyspieszenie normalne na powierzchni elipsoidy normalnej;wzór* jest wzorem przybliżonym;wysokość normalną wyznaczamy dokładnie poprzez proces iteracyjny obejmujący wzory γ^=γ_e[1-(1+ƒ+q-2ƒsin²φ)(Hⁿ/a)+(Hⁿ/a)² i Hⁿ=C/γ^;obliczenia rozpoczynamy dla Hⁿ ≈∑∆h; Różnica wysokości normalnych ΔH_ABⁿ=_A∫^Bdh+(1/γ^_AB) _A∫^BHⁿdγ_e+(1/γ^_AB) _A∫^B(g₀-γ₀)dh;∆Hⁿ_AB=∑od A do B ∆h+PHⁿ; PHⁿ=-(1/γ^_AB)(γ_eB-γ_eA) Hⁿ_AB+(1/γ^_AB)∑od A do B (g₀-γ_e)_i∆h_i; γ^_AB=γ_e^m-0,1543 Hⁿ_AB; γ^_AB-przeciętna wartość przyspieszenia normalnego wzdłuż wysokości normalnych punktów A i B; γ_e^m-przyspieszenie normalne na elipsoidzie obliczone dla średniej szerokości φ_AB=1/2(φ_A+φ_B);PHⁿ_AB=∑od A do B [(g-γ₀⁴⁵)/ γ₀⁴⁵]∆h+[( γ^_A- γ₀⁴⁵)/ γ₀⁴⁵]H_Aⁿ-[( γ^_B- γ₀⁴⁵)/ γ₀⁴⁵]H_Bⁿ

5.Redukcja Poincarego-Preya -objaśnij poszczególne jej etapy i przedstaw przykłady zastosowań w zagadnieniach geodezyjnych.Redukcja ta nie regularyzuje geoidy, ale także nie zmienia jej masy. Otrzymujemy teoretyczne przyspieszenie bezpośrednio na pow. odniesienia bez zmiany położenia mas.1.najpierw wprowadza się poprawkę terenową względem powierzchni ekwipotencjalnej punktu P, znajdującej się na wys.H.(ma ona wartość dodatnią)δg_t 2.wprowadzamy redukcję Bouguera(wartość ujemna)-przyspieszenie w punkcie P jest takie , jak gdyby znajdował się on na wys. H nad pow. geoidy δg_B=-0,0419σH.3.wprowadzenie redukcji wolnopowietrznej(przyspieszenie odnosimy do punktu P₀ położonego na geoidzie).-wartość dodatnia δg_F=0,3086H4.przywrócenie przyciągania płyty Bouguera δg_B=-0,0419σH5.Przywracamy ukształtowanie topograficzne powierzchni Ziemi poprzez poprawkę topograficzną odniesioną do punktu P₀ δg_t';różnica poprawek topograficznych δg_t i δg_t'; - δg_T^= δg_t- δg_t'δg_PP=(0,3086-0,0838σ)H+ δg_T^;redukcję P-P stosuje się w geofizyce do redukcji pomiarów przyspieszenia wykonywanych w szybach wiertniczych i do redukcji pomiarów grawimetrycznych pod pow. wody na morzach i oceanach.Zestaw D1.Układ współrzędnych naturalnych.Podstawową osią tego układu jest chwilowa oś obrotu Ziemi ω przechodząca przez punkt S środka masy Ziemi. Płaszczyzna równika astronomicznego przeprowadzona jest przez punkt S tak aby była prostopadła do osi wirowania Ziemi.Płaszczyzna południka astr. Greenwich pochodzi z pęku płaszczyzn przechodzących przez kierunek linii pionu obs. Greenwich i jest równoległa do osi ω. Pł.poł.miejsca obs. Pochodzi z pęku płaszczyzn przechodzących przez kierunek linii pionu w miejscu obs. P // do ω. Kąt jaki tworzy kierunek linii pionu z pł. równika nazywa się szerokością geograficzno-astronomiczną ϕ(0-90[NS]).Kąt dwuścienny utworzony przez pł. południków (Greenwich i P)nazywa się długością geograficzno-astronomiczną λ (0-360/[E] lub 0-180[EW]).Kierunek linii pionu w punkcie P(g=gradW_p) można określić w przestrzeni kątami ϕ i λ;ϕ i λ oraz wartość potencjału W stanowią trójkę współrzędnych naturalnych punktu P(ϕ,λ,W).Wartość W_p nie mierzymy bezpośrednio, lecz ze wzoru C=W₀-W_p=₀∫^p gdh co ma ścisły związek z pojęciem wysokości.2.Procedura Helmerta we wzorach na przyspieszenie normalne.

3.Wysokości dynamiczne.

Liczba geopotencjalna wyraża pracę w polu potencjalnym. Najkrótsza droga w tym polu jest określona wektorem przyspieszenia siły ciężkości. Dzieląc C przez przyspieszenie tej siły otrzymamy wusokość. Przyjmując jedną wartość przyspieszenia siły ciężkości dla całej powierzchni Zimi (wartość przyspieszenia normalnego dla szerokości B=45˚) γ₀⁴⁵ i podzielimy przez nią ujemną wartość różnicy potencjałów W_P (punktu P) i W₀ (na geoidzie) to otrzymamy wysokość dynamiczną punktu P.;H_P^d=-(W_P-W₀)/ γ₀⁴⁵=1/ γ₀⁴⁵∫od 0 do P gdh; ∆H_AB^d=1/ γ₀⁴⁵∫A do B (g- γ₀⁴⁵+ γ₀⁴⁵)dh=∫ od A do B dh+∫ od A do B(g- γ₀⁴⁵)/ γ₀⁴⁵dh; ∆H_AB^d=∑od A do B ∆h+PH^d;PH^d=∆h∑od A do B (g- γ₀⁴⁵)/ γ₀⁴⁵∆h;Wysokości dynamiczne są wyznaczane ściśle bez przybliżeń na podstawie pomierzonych różnic wysokości i przyspieszenia siły ciężkości. Nie mają żadnej interpretacji geometrycznej. Punkty znajdujące się na tej samej powierzchni ekwipotencjalnej mają tą samą wysokość dynamiczną.4.Skala odwzorowawcza G-K i redukcja długości.Redukcja długości-m=1+y²/2R₁²+y⁴/24R₁⁴-skala odwzorowania;podstawiamy ją do wzoru ds=(1/m)dS i otrzymujemy:s=₀∫^s(1+ y²/2R₁²+y⁴/24R₁⁴)^-1dS;przyjmujemy, że R=R_m czyli średniemu promieniowi krzywizny środkowego punktu linii S=s(1+(y₁²+y₁y₂+y₂²)/6R_m);taka dokładność wystarcza dla większości przypadków spotykanych w praktyceS≥s; gdy y=0 S=s

---