1.Siły występujące w prętach i wywołane nimi zagadnienia wytrzymałości : Siły wewnętrzne : -są to siły powstające na powierzchniach myślowego przecięcia pręta , - są to oddziaływania jednej części pręta na drugą , -siły te można zapisać przez siłę ogólną W i moment ogólny M. Jeżeli siły przedstawimy w postaci składowych na osie x₁,x₂ i x₃ to możemy w ten sposób wyróżnić tzw. Proste zagadnienia wytrzymałości : a) rozciąganie lub ściskanie od siły normalnej N. b) ścinanie od siły ścinającej T. c) skręcanie od momentu skręcającego M_s. d)zginanie od momentu gnącego M_g

2.Moment gnący i siła tnąca w belkach : Moment gnący w dowolnym przekroju belki określa się jako sumę algebraiczną momentów od obciążeń działających po jednej stronie belki . Siłę tnącą w dowolnym przekroju belki określa się jako sumę algebraiczną sił prostopadłych do osi belki działających po jednej stronie . I w ten sposób otrzymujemy : - dla obciążenia siłą skupioną P:T₍₁₎=P, M_g(1)=-P*(a-x₁) , -dla obciążenia ciągłego q :T₍₁₎=∫qdx₁=q*(a-x₁), M_g(1)=∫q*(x-x₁)dx=-1/2*q*(a-x₁)²

3.Naprężenia i działania na nim : Naprężenie jest to natężenie sił wewnętrznych ,czyli ich wartość przypadająca na jednostkę pola powierzchni przekroju: p_j=lim∆W_j/∆A=dW_j/dA [N/mm²]=[Mpa]. Jak widać wektor naprężenia ma zwrot i kierunek zgodny ze zwrotem i kierunkiem oddziaływania siły ∆W ,ale wektor ten można rozłożyć na trzy składowe (równoległe do osi x₁,x₂i x₃ ). Tak więc można zapisać że p_j=σ*e_j ,gdzie σ tensorem naprężenia .

Tensor naprężenia

zazwyczaj jest

definiowany przez

swoje składowe -

wektory naprężenia .

Do obliczeń można

także używać

składowych

tego tensora σ=p_j*e_j

4.Naprężenia główne i ich wyznaczenie : Naprężenie główne jest to taki stan naprężenia w którym występują jedynie naprężenia normalne ( naprężenia styczne =0) . Wartości tych naprężeń łatwo jest wyliczyć wiedząc że determinant z macierzy:

σ₁₁-σ σ₁₂ σ₁₃

σ₂₁ σ₂₂-σ σ₂₃

σ₃₁ σ₃₂ σ₃₃-σ

j=0 dla naprężeń gł :det[σ_ij-σб_ij]=σ³-I_σσ²+II_σσ-III_σ=0. Pierwiastki tego równania noszą nazwę naprężeń głównych .

3 niezmi tensora napr.

I_σ=σ₁₁+σ₂₂+σ₃₃=σ_ij

,II_σ=1/2*(σ_iiσ_kk-σ_ikσ_ik),

III_σ=Det[σ_ik]

5. Równania równowagi wewnętrznej :

Równanie momentów wzg osi x₁: -σ₃₂dx₁dx₂*(dx₃/2)- [σ₃₂+(∂σ₃₂/∂x₂)*dx₃]*dx₁dx₂*(dx₃/2) +σ₂₃dx₁dx₃ *(dx₂/2)+ [σ₂₃+(∂σ₂₃/∂x₂)*dx₂]* dx₁dx₃*(dx₂/2)=0 czyli σ₂₃=σ₃₂ .Warunek równowagi sił w kierunku osi x₂:[σ₂₂+(∂σ₂₂/∂x₂)*dx₂]*dx₁dx₃-σ₂₂dx₂dx₁dx₃+ [σ₃₂+(∂σ₃₂/∂x₃)*dx₃]*dx₁dx₂- σ₃₂dx₃dx₁dx₂ +[σ₁₂+(∂σ₁₂/∂x₁)*dx₁]*dx₂dx₃- σ₁₂dx₁dx₂dx₃+ Y₂dx₁dx₂dx₃=0 .Po podzieleniu równania przez dx₁dx₂dx₃ otrzymujemy: (∂σ₁₂/∂x₁)+ (∂σ₂₂/∂x₂)+ (∂σ₃₂/∂x₃)+Y₂=0 .Równanie ogólnie :(∂σ_ij/∂x_i)+Y_j=0 (i,j=1,2,3)

6. Przemieszczenie i odkształcenie - związki między nimi:

Wektor przemieszczenia u jest to różnica położeń punktu O przed i po zdefiniowaniu u=x-x⁰ , u₁=x₁-x₁⁰ . Jednak przemieszczenie punktu A położonego nieskończenie blisko punku O jest na ogół różne od u z czego wynika u'=u=du . Przyrost wszystkich 3 składowych przemieszczenia wzdłuż kierunków osi współ przybierają postać :

u₁₁ u₁₂ u₁₃

T=[t_ik]= u₂₁ u₂₂ u₂₃

u₃₁ u₃₂ u₃₃

gdzie :u_ik=∂u_i/∂x_k =1/2*(∂u_i/∂x_k+∂u_k/∂x_i) +1/2*(∂u_i/∂x_k-∂u_k/∂x_i),2 -część określa sztywne obroty ciała , 1-wspó. symetrycznego tensora małych odkształceń :ε_ik=ε_ki=1/2*(∂u_i/∂x_k+∂u_k/∂x_i).Współrzędne tensora małych odkształceń ε₁₁,ε₂₂,ε₃₃ określają odkształcenie liniowe w kierunku osi układu , zaś współrzędne ε₁₂,ε₂₃,ε₃₁ określają połowę kątów odkształcenia postaciowego w płaszczyznach wyznaczonych osiami współrzędnych .

7. Zależności przy obrocie tensora naprężenia : Chcąc otrzymać zależności przy obrocie tensora odkształcenia należy wziąć kwadraty długości pewnego odcinka różniczkowego dx przed i po odkształceniu:ds₀²=dx_i⁰dx_i⁰,ds²=dx_jdx_j . Wiedząc że: dx_i=∂x_i/∂x_j⁰*dx_j⁰ można stwierdzić iż: ds²-ds₀²=(∂x_i/∂x_k⁰)*dx_k⁰*(∂x_i/∂x_l⁰)*dx_l⁰-dx_m⁰dx_m⁰ =[(∂x_i/∂x_k⁰)*(∂x_i/∂x_l⁰)-б_kl]*dx_k⁰*dx_l⁰ =(u_ik+u_ki+u_jiu_jk)*dx_i⁰*dx_k⁰ ,a dla małych odkształceń (pomijamy u_ji, u_jk): ds²-ds₀²=2*ε_ik*dx_i⁰*dx_k⁰ . Ponieważ w dwóch różnych układach współrzędnych kwadrat długości odkształconego odcinka musi pozostać taki sam , można zapisać zależność ε_qr'*dx_q'*dx_r'=ε_ik*dx_i⁰*dx_k⁰ jeżeli zapiszemy cosinusy kierunkowe jako α_qi=dx_i⁰/dx_q⁰ ,to otrzymamy zależność przy obrocie tensora odkształcenia ε_qr'=ε_ik*α_qi*α_rk (i,k=1,2,3 q,r=1',2',3' )

8. Związki fizyczne materiału i uogólnione prawo Hook'e : Związki fizyczne materiału wiążą ze sobą tensory naprężenia i odkształcenia , dla ciał sprężystych związki takie można zapisać w postaci :σ_ij=C_ijkl*ε_kl ,ε_kl=S_klij*σ_ij gdzie C_ijkl są współrzędnymi tensora sztywności , zaś są współrzędnymi tensora sztywności . Jak widać (dla i,j,k,t =1,2,3) tensory te posiadają 81 współrzędnych . Ze względu na symetrię tensorów naprężenia i odkształcenia oraz wyraźnie określające energie sprężystą materiału liczba niezależnych stałych sprowadza się do 21 dla materiału anizotropowego oraz do 9 dla materiału izotropowego . W zagadnieniach wytrzymałości materiałów zazwyczaj używa się innych oznaczeń stałej tj :S₁₁₁₁=1/E ,S₁₁₂₂=-v/E ,S₁₂₁₂=2*(S₁₁₁₁-S₁₁₂₂)= [2*(1+v)]/E=1/G ,E- moduł Younga , v -wsp. Poissona ,G-mod. Kirchoffa. Stosując te oznaczenia do przyjętych związków fizycznych otrzymujemy: ε₁₁=1/E*σ₁₁ ,ε₂₂=-v/E*σ₁₁ ,ε₃₃=-v/E*σ₁₁. Jeśli zsumujemy te wzory to otrzymamy tkz. Uogólnione prawo Hook'e: ε₁₁=1/E*[σ₁₁-v*(σ₂₂+σ₃₃)] ,ε₂₂=1/E*[σ₂₂-v*(σ₃₃+σ₁₁)] ,ε₃₃=1/E*[σ₃₃-v*(σ₁₁+σ₂₂)] ,ε₁₂=1/2G*σ₁₂ ,ε₂₃=1/2G*σ₂₃ ,ε₃₁=1/2G*σ₃₁

10. Wyznaczenie właściwej energii sprężystości i jej podział na część objętościową i postaciową : Właściwą energie sprężystości można wyznaczyć rozpatrując czyste rozciąganie:U=1/2*σ₁₁*ε₁₁ lub rozpatrując czyste ścinanie U=1/2*σ₁₂*(2ε₁₂) =1/2*(σ₁₂*ε₁₂+ε₂₁*σ₂₁) .Energie właściwą możemy więc opisać wzorem: U=1/2*σ_ik*ε_ik . Jeśli rozłożymy tensor naprężenia i odkształcenia na cześć dewiatoryczną i kulistą: σ_ik=s_ik+1/3*σ_jj*б_ik ,ε_ik=e_ik+1/3*e_ll*б_ik . Po podstawieniu i wykonaniu działań otrzymuje się: U=1/2*s_ik*e_ik+1/6*σ_jj*e_ll= U_p+U₀ ,U_p -postaciowa część energii , U_o -objętościowa część energii.

11. Wytężenie i przykłady teorii wytrzymałości : Wytężenie określa stopień narażenia materiału na zniszczenie wg. przyjętego kryterium . Przyjmuje się , że wytężenie jest pewną funkcją stanu naprężenia , której liczbowa wartość jest miarą zniszczenia materiału w danym punkcie . Teoria Zniszczenie nie może zależeć od układu współrzędnych , w którym tensor jest opisany , czyli dla dowolnego układu współrzędnych teoria wytrzymałości musi podawać ten sam wynik . Najprościej zapewnić to wprowadzając niezmiennik tensorów naprężenia lub odkształcenia . -W teorii nie powinien występować niezmiennik III. Stwierdzenie to oparte jest na założeniu o symetrii materiału . Zniszczenie nie może zależeć od znaku naprężeń stycznych , działających na izotropowy ośrodek jednorodny. -Teoria powinna zawierać człony dające w efekcie naprężenia w potędze nie wyższej niż 4 . Wynika to z faktu , że równania wyższych stopni niż 4 nie mają rozwiązań zależnych od współczynników równania W=W(σ_ik)=W(σ₁,σ₂,σ₃) (i,k =1,2,3 )

12. Uogólniona teoria wytrzymałości: Zasady budowy uogólnionej teorii wytrzymałości: --Teoria ta powinna dać się zapisać za pomocą niezmienników tensora naprężeń. ---Teoria ta nie powinna zawierać niezmiennika III . -W teorii tej nie powinny występować człony dające w efekcie naprężenia w potędze nie wyższej niż 4. Funkcja spełniająca wszystkie te założenia przedstawia się następująco : W=AI_σ+BI_σ²+CII_σ+DI_σ⁴+EI_σ²II_σ+FII_σ². W rozważaniach będziemy używać przybliżenia kwadratowego :W=AI_σ+BI_σ²+CII_σ≤1 . Stałe A, B, C wyznacza się w prostych doświadczeniach tzn. jednoosiowego rozciągania (R_r=R_m) i ściskania (R_c) , oraz czystego ścinania (R_τ) , jako: A=1/R_r , B=1/(R_r*R_c) ,C=-1/R_t² ostatecznie otrzymujemy: (1/R_r-1/R_c)*I_σ—[(R_rR_c-3R_t²)/(3R_rR_cR_t²)]*I_σ² +(1/3R_t²)*σ_H²≤1

13. Momenty bezwładności- zależności :

Zależności dotyczące

przesunięcia

układu współ ( Steinera)

:I_x1c=I_x1-(e₂)²*A

I_x2c=I_x2-(e₁)²*A

I_x1cx2c=I_x1x2-e₁e₂*A

Zależności dotyczące obrotu układu współrzędnych: I_x1'c=1/2*(I_x1c+I_x2c)+1/2*(I_x1c-I_x2c)*cos2α--I_x1cx2csin2α , I_x2'c=1/2*(I_x1c+I_x2c)-1/2*(I_x1c-I_x2c)*cos2α+I_x1cx2csin2α , I_x1'cx2'c=1/2*(I_x1c-I_x2c)*sin2α+I_x1cx2ccos2α

14. Rozciąganie i ściskanie -zagadnienia: Obliczając naprężenia i odkształcenia prętów rozciąganych ( ściskanych ) przyjmuje się następujące założenia : -- W dowolnym przekroju pręta występują naprężenia normalne. ---Naprężenia te rozłożone są w sposób równomierny na całym przekroju . - Przekroje płaskie i prostopadłe do osi wzdłużnej pręta przed obciążeniem pozostają po obciążeniu nadal płaskie i prostopadłe do niej . Naprężenie normalne w dowolnym przekroju pręta jest równe σ(x)=N(x)/A , a wzdłużne bezwzględne u(x) jest równe: u(x)=∫ε(x)dx , ε(x)=σ(x)/E=N(x)/EA , z prawa Hook'a . A więc ostatecznie u(x)=∫(N(x)/EA)*dx

15. Skręcanie prętów okrągłych :

Zależność na moment skręcający zapisujemy jako: M_s=∫ρσ_sdA . Przy obliczaniu okrągłych prętów skręcanych przyjmujemy , że przekroje płaskie i prostopadłe do osi pręta przed obciążeniem pozostają płaskie i prostopadłe to tej osi po obciążeniu , a także dowolny promień przekroju poprzecznego pozostaje prosty po obciążeniu .Na rys. przedstawiony jest ele. pręta wycięty dwoma równoległymi płaszczyznami odległymi o dx oraz dwoma przekrojami obwodowymi odległymi od siebie o dp . Zauważamy (na podstawie geometrii rozważanego ele.) : γ(ρ)=ρ*dφ/dx . Jak widać wycinek AA'BB' ele pręta poddany jest czystemu ścinaniu , a więc zgodnie z prawem Hook'a można zapisać : γ(x)=σ_s/G . A więc σ_s=G*dφ/dx*ρ wtedy zależność na moment skręcający przyjmuje postać: M_s=G*dφ/dx*∫ρ²dA , gdzie całka jest geometryczna sztywność skręcania . Uwzględniając powyższe zależności można zapisać: dφ/dx=M_s/GI_s φ=M_sl/GI_s , σ_s=M_s/I_s*ρ

16. Skręcanie prętów o przekrojach dowolnych : Przy skręcanie prętów o przekrojach dowolnych

(nie kołowych )

należy wziąć

pod uwagę to

iż przekroje

te nie pozostają

płaskie po

przyłożeniu obciążeniu . Spowodowane jest to tym że rozkład naprężeń w tych przekrojach jest nierównomierny , w narożach zew. naprężenia osiągają wartość 0 , a wew. dążą do nieskończoności . Max naprężenia skręcające oraz kąt skręcenia odcinka o dł. „l” obliczamy wg. wzorów : σ_{s max}=M_s/W_s ,φ(x)=M_sx/GI_s , gdzie :W_s- wskaźnik wytrzymałości na skręcanie , I_s- sztywność geometryczna.

-Dla rur cienkościennych :

W_s=2Fб_min ,

I_s=4F²/∫(ds/б) =4F²/∑(s_i/б_i)

17. Zginanie -klasyfikacja zagadnień : Zginaniem nazywa się stan obciążenia gdy siły wew. sprowadzają się do : --momentu gnącego i siły tnącej (zginanie z udziałem sił poprzecznych ), --tylko do momentu gnącego (zginanie czyste ) . Innym podziałem jest podział w zależności od położenia płaszczyzny w której działa obciążenie: -- gdy płaszczyzna obciążenia przechodzi przez jedną z gł. cen. osi bezwładności (zginanie proste ) , --gdy płaszczyzna obciążenia jest dowolnie zorientowana wzg. gł. cen. osi bezwładności (zginanie ukośne)

18. Naprężenia normalne przy zginaniu—wzory: Naprężenia normalne przy zginaniu można wyliczyć rozpatrując przypadek zginania prostego. Wyrażenie na moment gnący wyraża się następująco:

Aby wyznaczyć

naprężenia

normalne σ_g

należy rozważyć

warstwę obojętną zginanej belki oraz oddaloną od niej o x₂ warstwę rozciąganą . Z zależności geometrycznych wynika :dx₁/ρ=[(1+ε)dx₁/(ρ+x₂] =>ε=x₂/ρ a korzystając z prawa Hook'a można zapisać : ε=σ_g/E => σ_g=E/ρ*x₂ . Wtedy korzystając z zależności na moment gnący zapisujemy: E/ρ*∫x₂²dA=M_g gdzie ∫x₂²dA=I₃ - moment bezwładności wzg. osi x₂ . Uwzględniając powyższe zależności można zapisać : 1/ρ=M_g/EI₃ σ_g=M_g/I₃*x₂ czyli σ_g(x₁)=M_g(x₁)/I₃*x₂

19. Naprężenia styczne przy zginaniu -wzory: Naprężenia styczne przy zginaniu można wyznaczyć rozpatrując przypadek zginania prostego z udziałem siły tnącej . Wyrażenia na moment gnący i siłę tnącą mają postać: ∫x₂σ_gdA=M_g(x₁) , ∫σ_TdA=T(x₁) . Naprężenia styczne σ_T poniższego fragmentu belki:

σ_Tb(x₂)dx₁=∫(σ_g+dσ_g)dA'-∫σ_gdA' wynika stąd ,że σ_Tb(x₂)=(dM_g(x₁)/dx₁)*[(∫x₂dA')/I₃] , gdzie dM_g(x₁)/dx₁=T(x₁) --siła tnąca , a S=∫x₂dA' -- moment styczny pola A' wzg osi x₃ . Uwzględniając powyższe zależności można zapisać: σ_T=(T(x₁)/I₃)*(S/b(x₂))

20.Linia ugięcia belki przy zginaniu—wzory: Kształt linii ugięcia belki przy zginaniu określają : lokalna krzywizna: χ_g(x₁)=1/ρ(x₁)=M_g(x₁)/EI₃ , ugięcie v(x₁) , oraz kąt zginania ψ(x₁) . Z geometrii różniczkowej dla małych ugięć belki , można zapisać zależności :ψ(x₁)=dv/dx₁ ,

1/ρ(x₁)= (d²v/dx₁²)/√[1+(dv/dx₁)²]³≈-(d²v/dx₁²) ,a więc (d²v/dx₁²)=-(M_g(x₁)/EI₃) -- jest to równanie różniczkowe linii ugięcia belki rozwiązując je dla przypadku stałej sztywności na całej długości pręta , otrzymujemy : EI₃*(dv/dx₁)=EI₃ψ(x₁)=-∫M_g(x₁)dx₁+C , EI₃v(x₁)=-∫[∫M_g(x₁)dx₁]dx₁+Cx₁+D , stałe C i D obliczamy z warunków podporowych:

dla x₁=0 ,v(x₁)=0,

i dla x₁=l v(x₁)=0 ,

--------------------------------------------------------------

dla x₁=0 ,v(x₁)=0 ,

ψ(x₁)=0

.Do rozwiązania bardziej złożonych obciążeń belki stosuje się tzw. metodą Clebsha.

21. Zginanie prętów silnie zakrzywionych : Prętami silnie zakrzywionymi nazywamy pręty których stosunek

największej

wysokości przekroju

h do promienia

krzywizny

geometrycznej

R jest większy od 0,2.

Rozpatrując Warstwę obojętną tego pręta można zapisać : rdψ=r₁dψ₁ ,a rozważając warstwę rozciąganą odległą o x₂ od warstwy obojętnej dochodzimy do zależności : ε=[(r₁+x₂)dψ₁-(r+x₂)dψ]/[(r+x₂)dψ)] , po przekształceniu tych zależności i zastosowaniu prawa Hooke'a otrzymujemy: σ_g=E*[(r/r₁)-1]*[x₂/(r+x₂)] , ale aby określić promień krzywizny warstwy obojętnej r należy rozpatrzyć zależność : ∫σ_gdA=0 ,E*[(r/r₁)-1]*∫[x₂/(r+x₂)]*dA=0 ponieważ [(r/r₁)-1]≠0, bo r≠r₁ to ∫[x₂/(r+x₂)]*dA=0 po wprowadzeniu ρ=r+x₂ , ∫[(ρ-r)/r]dA=A-r*∫dA/ρ=0 , r=A/(∫dA/ρ) , M_g=∫x₂σ_gdA=E*[(r/r₁)-1]*∫[x₂²/(r+x₂)]dA , ∫[x₂²/(r+x₂)]dA =∫[(x₂²+rx₂-rx₂)/(r+x₂)]dA= ∫x₂dA-r*∫[x₂/(r+x₂)]dA 1-całka w wcześniejszym równaniu stanowi moment statyczny S , 2-jest równa 0 zatem : M_g=E*[(r/r₁)-1]*S , σ_g=(M_g/S)*[x₂/(r+x₂)]

22. Belka na sprężystym podłożu - wzory: Rysunek

przedstawia

belkę na

sprężystym

podłożu

obciążoną siłą skupioną P i obciążeniem ciągłym q(x) , oddziałuje na nią także reakcja podłoża p(x) wzdłuż długości belki . jeżeli reakcja podłoża p jest liniową funkcją przemieszczenia belki v to podłoże posiada właściwości sprężyste : p=kv gdzie k -współ sprężystości podłoża .w przypadku małych ugięć równanie różniczkowe linii ugięcia linii ugięcia belki wyznacza się następująco : d²v/dx₁²=M_g(x₁)/EI₃ => EI₃*d³v/dx₁³=dM_g/dx₁=T(x₁) , EI₃*d⁴v/dx₁⁴=dT/dx₁=q₁ gdzie q₁==q-p=q-kv - natężenie obciążenia belki siłami czynnymi. otrzymujemy:EI₃*d⁴v/dx₁⁴=q-kv czyli d⁴v/dx₁⁴+4β⁴v=q/EI₃ , gdzie β=⁴√[k/4EI₃] . otrzymujemy : v=q/k+e^βx1*(Acosβx₁+Bsinβx₁)+ e^-βx1*(Ccocβx₁+Dsinβx₁) . Stałe całkowania : A,B ,C, D wyznacza się z warunków brzegowych: ψ=dv/dx₁ , M_g(x₁)=-EI₃*(d²v/dx₁²) , T(x₁)=-EI₃*(d³v/dx₁³)

23. Wytrzymałość złożona prętów -zasady obliczeń: Wytr złożona jest to wytr na złożony stan obciążeń jednoczesne złożenie obciążeń zginania , rozciągania , skręcania , ścinania gdy w danym punkcie przekroju występują naprężenia normalne σ_n i styczne σ_t . Wyznacza się naprężenia zredukowane z hipotezy: -- Hubera : σ_zred=√[σ_n²+3σ_t²] , --Columba-Treski : σ_zred=√[σ_n²+4σ_t²] . Naprę te powinno wyznaczać się w punkcie , w którym wytężenie materiału jest największe . Naprę normalne pochodzące od momentu M_g i siły N można sumować algebraicznie : σ_n=σ+σ_g . Naprężenia styczne pochodzące od momentu M_t i i siły T sumujemy geometrycznie : σ_t=σ_s+σ_T

24.Wyboczenie prętów - definicja : Wyboczeniem nazywa się wygięcie pręta spowodowane osiągnięciem lub przekroczeniem przez siłę ściskającą wartości krytycznej .Zjawisko wyboczenia związane jest z postaciami równowagi ciał odkształcalnych : z równowagą statyczną (trwałą) i niestateczną (chwiejną) . Postacią stateczną dla pręta ściskanego siłą P mniejszą od siły krytycznej P_kr jest pionowa postać równowagi , znaczy to że jeżeli pręt zostanie wygięty impulsem bocznym to to wróci do postaci pionowej z chwilą zaniku impulsu . Natomiast gdy siła P osiągnie wartość krytyczną P_kr pionowa postać pręta stanie się postacią równowagi niestatecznej i pręt pod wpływem

małego impulsu

prostopadłego do

osi może przybrać

nową postać

równowagi o

osi wygiętej .

25.Wzory Eulera na wyboczenie prętów smukłych : Wzór Eulera ma zastosowanie przy wyboczeniu sprężystym prętów . Aby wyprowadzić wzór należy rozpatrywać przypadek zamocowania obustronnie przegubowego pręta , ściskanego siłą osiową P

. Jak widać w stanie równowagi w postaci wygiętej oprócz siły podłużnej w pręcie pojawia się moment gnący M_g(x₁)=Pv(x₁) . Wiedząc że równanie różniczkowe ugięcia osi wybaczonego pręta ma postać :d²v/dx₁²=-(M_g/EI) ,otrzymujemy : d²v/dx₁²=-k²v , gdzie k²=P/EI . Rozwiązaniem tego równania jest: v(x₁)=Asin(kx₁)+Bcos(kx₁) Stałe A iB wyznacza się z warunków brzegowych (dla x₁=0 v=0 , dla x₁=l v=0 ) , wynikają stąd następujące zależności : B=0 , Asin(kl)=0 , a więc gdy A=0 -prostoliniowa postać równowagi (v=0 dla każdego x₁ ) ,gdy zaś sin(kl)=0 -wygięta postać równowagi i stąd : kl=nπ => P=(n²π²EI)/l² . Siłą ta w istotny sposób zależy od zamocowania pręta i tak dla różnych sposobów zamocowania otrzymujemy ogólną postać wzoru Eulera : P_kr=(π²EI)/l_s²

26.Smukłość i smukłość graniczna: Znając wzór : P_kr=π²EI/l_s² , możemy wyprowadzić wzór na naprę krytyczne: σ_kr=P_kr/A= π²EI/l_s²A , a wprowadzając pojęcie promienia bezwładności :i=√[I/A] oraz smukłości : λ=l_s/i , otrzymujemy : σ_kr=π²E/λ² , wiedząc że Wzór Eulera był wyprowadzony przy założeniu że odkształcenia zachodzą w granicy stosowalności prawa Hook'e ( naprę ściskające w pręcie są mniejsze od granicy proporcjonalności σ_kr≤R_H ) : π²E/λ²≤R_H , λ≥π*√[E/R_H]=λ_gr --smukłość graniczna . Wyboczenia zachodzące dla smukłości większych i równych smukłości granicznej nazywamy wyboczeniem sprężystym.

27.Wyboczenia niesprężyste , zakres stosowania i obliczenia : Wyboczenie niesprężyste jest to wyboczenie powodujące w pręcie odkształcenia trwałe ( po zdjęciu obciążenia pręt nie wraca do pozycji wyjściowej : .Zjawisko takiego wyboczenia zachodzi gdy smukłość pręta jest mniejsza od smukłości granicznej : λ<λ_gr .Do obliczeń takiego wyboczenia stosowane są następujące przybliżenia : --przybliżenie parabolą Johsona-Ostenfekta o równaniu : σ_kr=A-Bλ² , stałe A i B wyznacza się z warunku że parabola ta musi być styczna do hiperboli Eulera oraz że dla λ=0 naprężenia:σ_kr=R_e ,R_c -granica plastyczności materiału pręta , a więc: σ_kr=R_e*[1-(λ²/2λ₀²)] gdzie: λ₀= π*√[2E/R_e] -- pkt styczności . -przybliżenie prostą Tetmajera ( stosowane w obliczeniach modeli dokładnych ) o równaniu: σ_kr=a-bλ , stałe a i b wyznacza się z warunku że : dla λ=0 σ_kr=R_e ,dla λ=λ_gr σ_kr=R_H

28. Podstawowe przypadki wyboczenia prętów:

29.Zależność pomiędzy siłą wyboczeniową a smukłością pręta:

30.Ściskanie mimośrodkowe pręta:

Moment zginający w dowolnym przekroju belki : M_g(x₁)=Pa+Pv , równanie ugięcia belki ma postać : (d²v/dx₁²)+k²v+k²a=0 , k²=P/EI , rozwiązując to równanie różniczkowe otrzymujemy : v(x₁)=Asin(kx₁)+Bcos(kx₁)-a . Stałe A i B wyznacza się z warunków brzegowych : dla: x₁=0 v=0 czyli B-a=0 => B=a , dla: x₁=l , v=0 czyli Asin(kl)+acos(kl)-a=0 , A=a*[(1-cos(kl))/sin(kl)] . Po podstawieniu i przekształceniu otrzymujemy: v=a*{[cosk*((l/2)-x₁)]/cos(kl/2)—1}, k=√[P/EI]=(π/l)*√[(l²/π²)*(P/EI)]=(π/l)*√[P/P_kr] , v_max=a*{1/[cos((π/2)*√[p/p_kr])]-1}, M_{g max}=P*(a+v_max)=Pa/[cos((π/2)*√[P/P_kr])] , σ_max=P/A+Pa/[W_gcos((π/2)*√[P/P_kr])]

---