Poniżej znajduje się tablica złożona z liczb naturalnych:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

Mogę dodać 1-wszy rząd: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55
Mogę użyć nawiasów: (1+2)+(3+4)+(5+6)+(7+8+9+10)
I również poprzestawiać liczby w nawiasach: (2+1)+(3+4)+(6+5+10+7)+(9+8)

I zawsze będzie to 55
Prawa te nazywają się:

Prawo łączności dodawania (dodawanie nie zależy od ustawienia nawiasów)
(a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c

oraz

Prawo przemienności dodawania (dodawanie nie zależy od kolejności liczb)
a+b = b+a

Takim samym prawom podlega mnożenie:

Prawo łączności mnożenia
(a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c

oraz

Prawo przemienności mnożenia
a*b = b*a

Załóżmy, że chcę dodać czwarty rząd tablicy: 21+22+23+24+25+26+27+28+29+30
Nie muszę tego robić jak poprzednio dodając każdą liczbę do każdej. Zobacz, że każda z liczb składa się z liczby 20 plus kolejno od 1 do 10:
(40+1)+(40+2)+(40+3)+(40+4)+(40+5)+(40+6)+(40+7)+(40+8)+(40+9)+(40+10)
Ponieważ w każdym nawiasie powtarza się liczba 40 (dokładnie 10 razy) mogę wyłączyć ją przed nawias:
10*40+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)

Wykorzystać to można również w innych sytuacjach np. 6*48 można zapisać jako 6*(40+8), albo 6*40+6*8 = 240+48 = 288
Jest to:

Rozdzielność mnożenia względem dodawania
(a+b)*c = a*c + b*c

Prawo to jest również prawdziwe dla odejmowania:

Rozdzielność mnożenia względem odejmowania
(a-b)*c = a*c - b*c

Podobnie zachowuje się dzielenie

Rozdzielność dzielenia względem dodawania i odejmowania
a:(b+c) = a:b + a:c
a:(b-c) = a:b - a:c

Zobacz, że wykorzytujesz to mnożąc pisemnie:

	15
*	26
90
+	300
390

Kolejność działań przy mnożeniu pisemnym wygląda mniej więcej tak:
15*26 = [(6*5) + (6*10)] + [(20*5)+(20*10)] = [90] + [300] = 390

Rozbijając to na kolejne kroki:

15*26 = 15*(6+20) =	/rozbijam 26 na 6+20
= 15*6+15*20 =	/mnożę 15 przez nawias
= (5+10)*6 + (5+10)*20 =	/rozbijam 15 na 5+10
= [(6*5) + (6*10)] + [(20*5)+(20*10)] =	/mnożę 6 przez nawias i 20 przez nawias
= [(30)+(60)] + [(100)+(200)] =	/wykonuje mnożenie
= [90] + [300] = 390

Dzielenie, ani odejmowanie nie jest łączne ani przemienne!

Dlaczego?
Jeśli zmienię nawiasy w działaniu (8-5)-2 na 8-(5-2) to w pierwszym wypadku otrzymam 1 a w drugim 5. Podobnie dzielenie 24:(6:2) = 8, a (24:6):2 = 2.
Podobnie jest z przemiennością: 10:2=5 ale 2:10 to już nie jest 5, a 10-5 to nie to samo co 5-10.

Dodawanie: składnik + składnik = suma
Odejmowanie: odjemna - odjemnik = różnica
Mnożenie: czynnik * czynnik = iloczyn
Dzielenie: dzielna : dzielnik = iloraz

Warto też wiedzieć, że jeśli jakąś liczbę pomnożysz przez 1, to otrzymasz tę samą liczbę: 24*1=24, a mnożąc cokolwiek przez 0 otrzymasz 0: 24*0 = 0.
Przy dodawaniu i odejmowaniu 0 nie ma znaczenia. 24 + 0=24, 24 - 0=24.
Dzielenie przez 0 jest niedozwolone!

---