Zadanie 1. W przedsiębiorstwie X wytwarza się dwa wyroby A i B zużywając w procesie produkcyjnym 3 czynniki produkcji: S₁, S₂ i S₃. Normy zużycia poszczególnych czynników produkcji na jednostkę każdego wyrobu oraz ich zasoby przedstawia poniższa tabelka.

Czynnik produkcji	Wyrób		Zasób
		A		B
S1	1	1	12
S2	2	4	42
S3	1	0	11

Wiedząc, że zyski jednostkowe ze sprzedaży obu wyrobów wynoszą odpowiednio 3 i 4 złote: (i) sformułuj zagadnienie dualne; (ii) wyznacz wielkości produkcji obu wyrobów, które maksymalizują zysk przedsiębiorstwa; użyj metody simpleks; (iii) oblicz maksymalny zysk przedsiębiorstwa i podaj o ile on wzrośnie, gdy zasób czynnika S₁ wzrośnie o jednostkę, ceteris paribus; (iv) zadecyduj, czy zasoby wszystkich czynników produkcji zostaną całkowicie wykorzystane; jeżeli nie, to podaj ich nazwy i określ niewykorzystane wielkości; (v) sporządź rysunek ilustrujący rozwiązanie problemu.

Zadanie 2. Jesteś dyrektorem przedsiębiorstwa, w którym wytwarza się dwa rodzaje sztućców: noże i widelce. Proces produkcji obejmuje tłoczenie i polerowanie. Wyposażenie tłoczni i polerni w maszyny jest takie, że umożliwia obróbkę sztućców przez odpowiednio 70 i 100 maszynogodzin czasu pracy tygodniowo na każdym wydziale. Do wytworzenia kompletu noży potrzeba 12 minut czasu pracy maszyn do tłoczenia i 30 minut czasu pracy maszyn do polerowania, natomiast do wytworzenia kompletu widelców - 24 i 15 minut czasu pracy maszyn odpowiedniego typu. Przedsiębiorstwo może sprzedać całą wytworzoną produkcję sztućców uzyskując za komplet noży 12 zł, a za komplet widelców - 9 zł. Określ tygodniowe wielkości produkcji obu rodzajów sztućców maksymalizujące zysk przedsiębiorstwa wiedząc, że koszt wytworzenia kompletu noży wynosi 4 złote, a koszt wytworzenia kompletu widelców - 3 złote.

Zadanie 3. Jesteś dyrektorem agencji, która promuje nowy typ dezodorantu. Budżet kampanii reklamowej wynosi 200.000 złotych. Promocja odbywa się poprzez umieszczenie 30 sekundowych reklam oraz kolorowych, dwukolumnowych ogłoszeń w tygodniku o zasięgu ogólnokrajowym. Jednorazowa emisja reklamówki w telewizji kosztuje 20.000 złotych, natomiast opublikowanie ogłoszenia w tygodniku - 5.000 złotych. Przeprowadzona przez pracowników agencji analiza oglądalności programu telewizyjnego i poczytności prasy ujawniła, że używając telewizji dociera się średnio do 400.000 widzów, wybierając zaś tygodnik - dociera się do 150.000 osób. Zadecyduj o sposobie i częstości reklamowania nowego dezodorantu w taki sposób, aby o jego pojawieniu się na rynku dowiedziała się łącznie jak największa liczba osób.

Zadanie 4. Zamierzasz otworzyć wytwórnię słodyczy. Rozważasz w niej produkcję dwóch rodzajów cukierków: A i B, do których produkcji używa się cukru, orzeszków i czekolady. W chwili obecnej posiadasz zapas 100 kg cukru, 20 kg orzeszków oraz 30 kg czekolady. Masa, z której formuje się cukierki A musi zawierać co najmniej 20% orzeszków, natomiast masa, z której formuje się cukierki B musi zawierać co najmniej 10% orzeszków i 10% czekolady. Zapisz i rozwiąż odpowiednie zadanie programowania liniowego wiedząc, że sprzedaż 1 kg cukierków typu A zapewni Ci 2,5 zł zysku, a sprzedaż 1 kg cukierków typu B - 2 zł zysku. Za kryterium optymalności przyjmij łączny zysk ze sprzedaży obu rodzajów cukierków.

Zadanie 5. Duża ferma hoduje świnie, które skarmia się paszą będącą mieszaniną trzech rodzajów ziarna. Każde z nich zawiera 4 składniki odżywcze: białko, wapń, proteiny oraz witaminę A. Informacje o przeciętnej zawartości poszczególnych składników odżywczych w jednostce wagowej ziarna, minimalnym dziennym zapotrzebowaniu stada na składniki oraz cenie jednostkowej ziarna zamieszczono w poniższej tabeli.

Składnik odżywczy	Jednostka miary	Zawartość składnika w jednostce wagowej ziarna rodzaju			Minimalne dzienne zapotrzebowanie na składnik
				I		II	III
Białko	mg	2,0	3,0	7,0	1250,0
Wapń	mg	1,0	1,0	0,0	250,0
Proteiny	mg	5,0	3,0	0,0	900,0
Witamina A	mg	0,6	0,25	1,0	232,5
Cena ziarna	zł/jed.	41	35	96

Pomóż właścicielowi fermy dobrać skład paszy w taki sposób, aby była ona najtańsza z możliwych.

Zadanie 6. W poszczególne dni tygodnia na poczcie potrzebna jest następująca liczba pracowników pełnoetatowych do sprawnej obsługi klienta:

Dzień tygodnia	Wymagana liczba pracowników
poniedziałek	17
wtorek	13
środa	15
czwartek	19
piątek	14
sobota	16
niedziela	11

Wiedząc, że pracownicy muszą pracować przez 5 kolejnych dni, po czym korzystają z dwudniowej przerwy w pracy, wyznacz optymalną liczbę zatrudnionych w każdym dniu tygodnia w taki sposób, aby zminimalizować ogólną liczbę zatrudnionych na poczcie.

Zadanie 7. Jesteś dyrektorem mleczarni. Planujesz wprowadzenie do sprzedaży w następnym kwartale 3 rodzajów jogurtów: X, Y i Z. Na ten cel przeznaczasz ze środków własnych kwotę 50.000 złotych. Pozostałe wydatki osobowe i rzeczowe zostaną sfinansowane z kredytu bankowego. Bank oferuje kwartalna linię kredytową z limitem 300.000 złotych. Oprocentowanie kredytu wyniesie 3% w stosunku kwartalnym. Warunkiem dostępu do kredytu jest utrzymanie przez mleczarnię współczynnika wypłacalności szybkiej na poziomie 4 (400%) oraz zobowiązanie się mleczarni do spłaty odsetek pod koniec rozważanego kwartału. Bank wymaga również, aby w celach promocji produkcji udział jogurtu X w całości produkcji stanowił co najmniej 20%. Z kolei dystrybutor jogurtów żąda, aby udział jogurtu Z w produkcji był co najmniej taki sam jak pozostałych jogurtów. Produkcja jogurtów odbywa się na 3 wydziałach produkcyjnych: produkcji właściwej, kontroli jakości oraz paczkowania. Informacje o cenach, kosztach oraz procesie technologicznym przedstawia poniższa tabelka.

Jogurt	Cena sprzedaży	Koszt wytworz.	Normy technologiczne
					Prod. wł.	Kontr. jak.	Paczkow.
	zł/litr		godz./litr
X	0,88	0,65	0,160	0,030	0,080
Y	0,82	0,54	0,120	0,045	0,060
Z	1,02	0,87	0,180	0,040	0,050

Wiedząc, że mleczarnia może przeznaczyć na nową produkcję 400.000 godzin czasu pracy maszyn na wydziale produkcji właściwej, 80.000 godzina czasu pracy na wydziale kontroli jakości oraz 150.000 godzin czasu pracy maszyn na wydziale paczkowania określ wielkości produkcji jogurtów wszystkich rodzajów maksymalizujące zysk przedsiębiorstwa.

Zadanie 8. Zakład oczyszczania miasta w Gdyni usuwa z jej terenu trujące odpadki organiczne i nieorganiczne, poddaje je działaniu detergentu neutralizującego ich szkodliwe działanie oraz spala pozostałości tego procesu. Pracownicy tego zakładu ustalili, że przeróbka kilograma odpadów organicznych kosztuje 2 zł, a przeróbka kilograma odpadów nieorganicznych - 3 zł. W zakładzie można przerobić w ciągu tygodnia do 9 milionów kilogramów odpadów. W wyniku spalania pozostałości po przerobionych odpadkach powstaje gruboziarnisty popiół i pewien produkt mineralny. Każdy z nich jest mieszaniną składników organicznych i nieorganicznych, której proporcje zależą od ustawienia procesu technologicznego. Nabywcą popiołu jest producent nawozów sztucznych, a nabywca produktu mineralnego - producent proszków do prania. Ten pierwszy kupuje tygodniowo do 7 milionów kilogramów popiołu, płacąc po 4 złote za jego kilogram, ten drugi zaś - do 6 milionów kilogramów produktu mineralnego, płacąc po 5 złotych za jego kilogram. Producent nawozów sztucznych wymaga, aby zawartość składników organicznych w popiele nie przekraczała 60% jego wagi. Producent proszku do prania żąda natomiast, aby zawartość składników nieorganicznych w produkcie mineralnym stanowiła przynajmniej 50% i nie więcej niż 75% jego wagi. Będąc kierownikiem zakładu określ takie wielkości produkcji popiołu i produktu mineralnego (składników organicznych i nieorganicznych zawartych w każdym z nich), przy których zysk przedsiębiorstwa jest największy. Jak zmienią się optymalne wielkości produkcji, jeśli producent nawozów sztucznych dodatkowo ustali swoje minimalne tygodniowe zapotrzebowanie na popiół na poziomie nie mniejszym od 4 milionów kilogramów?

Zadanie 9. Jesteś odpowiedzialny za transakcje walutowe w banku. Zasoby walutowe banku na otwarcie dnia wynoszą (w mln): $ 8, £ 1, DM 8, ¥ 0. Zapotrzebowanie na zamknięcie kształtuje się w wysokości odpowiednio $ 6, £ 3, DM 1, ¥ 10. Jakich transakcji powinieneś dokonać w ciągu dnia chcąc zmaksymalizować wartość zasobów walutowych na zamknięcie wyrażoną w dolarach, jeśli kursy wymiany na rynku w tym dniu kształtowały się następująco: 1 $ = £ 0,58928 = DM 1,743 = ¥ 138,3. Dla uproszczenia przyjmij, że kurs kupna jest równy kursowi sprzedaży, a dokonując transakcji nie płacisz prowizji. Czy twoje decyzje ulegną zmianie, jeśli celem Twojego działania stanie się maksymalizacja wartości zasobów walutowych wyrażona w markach?

Zadanie 10. Dana jest tablica K, której elementy k_ij charakteryzują koszt przewozu jednostki pewnego towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy:

.

Załóż, że popyt i podaż wynoszą odpowiednio: 45, 20, 30, 30 oraz 35, 50, 40 jednostek. Sformułuj zagadnienie programowania liniowego, którego użyjesz do wyznaczenia planu przewozów minimalizującego łączny koszt przewozu.

Zadanie 11. Cztery firmy przewozowe stają do przetargu na przewóz dzieci z dzielnic podmiejskich do szkoły. Ich oferty (tys. zł/miesiąc) przedstawia poniższa tabelka.

Firma	Trasa przewozowa
	1	2	3	4
A	4	5	-	-
B	-	4	-	4
C	3	-	2	-
D	-	-	4	5

Pomóż kierownikowi szkoły rozstrzygnąć przetarg w taki sposób, aby łączny koszt przewozu był najmniejszy. Załóż, że każda firma może obsłużyć tylko jedną trasę, a na każdej trasie może operować tylko jedna firma.

---