1.CO TO JEST POPULACJA?

Populacja - zbiór obiektów z wyróżnioną cechą (cechami)

2.JAKIMI PROBLEMAMI ZAJMUJE SIĘ STAT?

Statystyka zajmuje się badaniem (analizowaniem) zjawisk masowych: polega na systematyzowaniu obserwowanych cech ilościowych i jakościowych oraz przedstawianiu wyników w postaci zestawień tabelarycznych, wykresów itp.; posługuje się rachunkiem prawdopodobieństwa

3.SFORMUŁUJ JEDNO Z ZADAŃ STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ?

Statystyka matematyczna - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie znajomości własności ich części

4.CO TO JEST WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE?

Jest to uogólnienie wniosków wyciągniętych na podstawie badań próby na całą populację reprezentatywną właśnie przez badana próbą

5.CO WPŁYWA NA JAKOŚC WNIOSKOWANIA S?

- prawidłowe określenie badanej populacji i jej cechy

- prawidłowy dobór próby reprezentującej daną populację

- prawidłowa „obróbka danych” (zastosowanie odpowiednich technik statystycznych)

- ustalenie odpowiedniego poziomu istotności (ufności) dla wyciągniętych wniosków

6.ŹRÓDŁA BŁĘDÓW WE WNIOSKOWANIU STAT?

- nieprawidłowe określenie badanej populacji i jej cechy (cech)

- nieprawidłowy dobór założeń dotyczących populacji i badanej cechy

- źle dobrana próba (za mała, nie reprezentatywna)

- nieprawidłowa „obróbka próby” (zastosowanie nieodpowiednich technik statystycznych)

- ustalenie odpowiedniego poziomu istotności (ufności) dla wyciąganych wniosków

7.CO TO JEST PRÓBA?

Próba - wybrana część populacji podlegająca badaniu

8.CO TO JEST PRÓBA REPREZENTATYWNA?

Jest to próba wybrana losowo z populacji; każdy element populacji musi mieć taką samą szansę trafienia do próby; musi być odpowiednia ilość tych elementów

9.JAKA JEST RÓŻNICA MIĘDZY POPULACJĄ A PRÓBĄ?

Populacja jest pojęciem szerszym niż próba. Próba reprezentuje dana populację, jest wybrana z populacji i ona podlega badaniu. Na podstawie próby można wnioskować o populacji. Poddanie badaniom całej populacji nie jest możliwe, gdyż jest zbyt duża.

10.CO TO JEST POZIOM ISTOSTNOŚCI?

Jest to dowolna liczba z przedziału (0,1) określająca prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju (zabezpiecza on przed popełnieniem tego błędu???) ; oznaczenie α; np. α= 0,05 , na 95% jesteśmy pewni, że nasze wnioskowanie jest prawidłowe

11.CO TO JEST POZIOM UFNOŚCI?

Poziom ufności - prawdopodobieństwo 1- α;

Jest to prawdopodobieństwo, że przedział ufności zawiera szacowaną wartość naszego parametru, np. 1 -α= 95% tzn, że na 95% jesteśmy przekonani, że wartość parametru zawiera się w przedziale ufności

12.CO TO JEST PRZEDZIAŁ UFNOŚCI?

Przedział ufnosci (estymator przedziałowy) jest przedziałem o koncach zaleznych od próby, który z pewnym z góry zadanym prawdopodobienstwem pokrywa nieznaną wartość parametru 0

P{ θ ∈( θ ( 2 (θ (X1, . . . ,Xn), 0(X1, . . . ,Xn))} = 1 - α

Zakres, w jakim zawiera się szacowana wartość parametru z prawdopodobieństwem równym żądanemu poziomowi ufności

13.OD JAKICH CZYNNIKÓW I JAK ZALEZY DŁUGOŚC d PRZEDZIAŁU UFNOŚCI?

a)liczność próby (n ↑ => d↓)

b)poziom ufności (1- α↑ => d ↓)

c)wariancja cechy (σ²↓ => d↓)

14.INTERPRETACJA PRZEDZIAŁU UFNOŚCI

np. przedział ufności (1 - 0,5; 1+ 0,5) 1- α = 0,95

z 95% pewnością można powiedzieć, że μ jest jakąś liczba z tego przedziału i wynosi co najmniej 0,5 i co najwyżej 1,5 (nie przekracza 1,5)

15.CO TO JEST CECHA?

Cecha - wielkość losowa charakteryzujaca obiekty danej populacji

16.CECHA JAKOŚCIOWA

Cecha jakosciowa

Cecha przyjmujaca wartosci nie bedace liczbami (np.kolor, płec, smakowitosc)

17.CECHA SKOKOWA (ILOŚCIOWA)

Cecha (ilosciowa) skokowa - cecha przyjmujaca pewne wartosci liczbowe i nieprzyjmujaca wartosci posrednich (np. ilosc bakterii, ilosc pracowników, ilosc pasazerów). Cechy te nazywane sa równiez dyskretnymi.

18.CECHA CIĄGŁA (ILOŚCIOWA)

Cecha (ilosciowa) ciągła - cecha przyjmująca wartości z pewnego przedziału

liczbowego (np. wzrost, waga, plon)

19.ROZKŁADY CECH I JAKEGO TYPU SĄ TO CECHY

- rozkład normalny - cechy ciągłe

- rozkład dwumianowy - cechy skokowe

- rozkład dwupunktowy - - cechy skokowe

20.JEDEN Z BADACZY TRAKTUJE WIEK JAKO CECHĘ CIĄGŁA, ZAŚ DRUGI JAKO SKOKOWĄ. KTÓRY Z NICH MA RACJĘ I DLACZEGO?

Badacz, który traktuje wiek jako cechą ciągła ma racje ponieważ wszystkie wartości z danego przedziału są możliwe (np. długość stopy, wzrost); cecha skokowa- dyskretna - tylko określone wartości z danego przedziału są możliwe np. rozmiar buta, ilość dzieci

21.2 PRZYDKŁADY CECH O ROZKŁADZIE NORMALNYM

np. wzrost, waga

22.ZMIENNA LOSOWA X MA ROZKŁAD N (10, 25). OBLICZYC P∈(X - 10 ≤ 5

-5 ≤ x -10 ≤5 => 5 < x ≤ 15 => x ∈ <5,15> Wynik: 0,68 - przedział na 1 δ

23.CO TO JEST ESTYMATOR?

Estymacja - oszacowanie parametrów rozkładu cechy

Estymator (punktowy) - jest funkcja próby w „rozsądny' sposób przybliżającą wartość parametru θ

Estymator (punktowy) jest funkcja próby θ = θ (X1,X2, . . . ,Xn) przyblizajaca wartość parametru θ

Estymator przedziałowy - przedział ufności

24.CO TO ZNACZY, ZE ESTYMATOR JEST PRECYZYJNY?

Jest bliski jedności, wysokie prawdopodobieństwo trafienia w okolicę bliską rzeczywistości

25.ROZKŁADY WE WNIOSKOWANIU STATYSTYCZNYM A ZWIĄZANE Z ROZKŁADAM NORMALNYM:

• t - studenta

• Fishera

• Chi 2

• Korelacji Pearsona

26.KIEDY MOŻNA STOSOWAC WE WNIOSKOWANIU STATYSTYCZNYM ROZKŁAD t

rozkład normalny, cechy ciągłe, porównanie 2 populacji Ho: μ₁ = δ₁¹ = δ₂², cechy niezależne

27.KIEDY MOŻNA STOSOWAC WE WNIOSKOWANIU STATYSTYCZNYM ROZKŁAD chi - kwadrat

28..PRZYKŁAD PRÓBKI NIE REPREZENTATYWNEJ DLA OSZACOWANIA ŚREDNICH ZAROBKÓW LUDZI W POLSCE

np. zarobki hutników, zarobki nauczycieli, ludzi w wieku 25 - 30 lat, zarobki ludzi z woj. łódzkiego, zarobki kobiet

29.ŹRÓDŁA BŁEDÓW WE WNIOSKOWANIU STATYSTYCZNYM

- Błąd I rodzaju - bład wnioskowania polegajacy na odrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistosci jest ona prawdziwa.

- Błąd II rodzaju- bład wnioskowania polegajacy na nieodrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistosci jest ona fałszywa.

- Zły poziom istotności (ufności)

30.PODAĆ 2 RÓŻNE OSZACOWANIA ŚREDNIEJ WARTOŚCI CECHY

a)oszacowanie z próby losowej

b)mediana z próby losowej

31.JAKA JEST INTERPRETACJA POZIOMU UFNOŚCI

1- α = 95%, przedział ufności (160 - 180) - dla wzrostu studentek WnoŻCzłiK

na 95% jesteśmy pewni, że średnia wzrostu studentek tego wydziału jest w przedziale ufności (160 - 180)

32.W WYNIKU WERYFIKACJI Ho: μ 1 ≤ μ2 UZYSKANO p - value = 0,52480. CZY WERYFIKOWANA HIPOTEZĘ NALEŻY ODRZUCIĆ I DLACZEGO ?

α = 0,05

p - value > α - nie odrzucamy hipotezy

33.BADANO ZGODNOŚĆ ŚREDNIEGO DZIENNEGO ZUZYCIA WODY W PENEJ FABRYCE Z NORMĄ WYNOISZĄCĄ 1000m3. PRZEZ 100 DNI NOTOWANO ZUZYCIE WODY I OTRZYMANO WARTOŚĆ ODPOWIEDNIEJ STATYSTYKI 1,543

a)cecha - zużycie wody (cecha ciągła)

b)rozkład normalny N ~ (μ, δ) μ = 1000m3 δ = 543

c)Ho: μ1 =μ2 =μ3 = ... μ 100

Test Fischera

d)ponieważ wartość odpowiedniej statystyki wynosi 1,543 więc założenia Ho odrzucamy

e)średnie zużycie wody jest > niż 1000m3

34.CO TO JEST HIPOTEZA STATYSTYCZNA

Hipoteza statystyczna nazywamy dowolne przypuszczenie dotyczace rozkładu prawdopodobienstwa cechy w populacji. Oznaczenie Ho

35.CO TO JEST TEST HIPOTEZY STATYSTYCZNEJ

Testem hipotezy statystycznej nazywamy postępowanie mające na celu odrzucenie lub nie odrzucenie hipotezy statystycznej.

36.STATYSTYKA TESTOWA

Statystyka testowa nazywamy funkcje próby na podstawie której wnioskuje się o odrzuceniu lub nie hipotezy statystycznej.

37.BŁAD I RODZAJU

Błąd I rodzaju - bład wnioskowania polegajacy na odrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistosci jest ona prawdziwa.

38.BŁAD II RODZAJU

Błąd II rodzaju- bład wnioskowania polegajacy na nieodrzuceniu hipotezy, gdy w rzeczywistosci jest ona fa³szywa.

39.MOC TESTU

Moca testu nazywamy prawdopodobienstwo odrzucenia testowanej hipotezy, gdy jest ona nieprawdziwa, czyli prawdopodobienstwo nie popełnienia błędu II rodzaju. Oznaczenie: 1 - β

Mocne postępowanie wychwytuje nawet małe różnice, słabe nie wychwytuje ich, nam zalezy na trym żeby moc testu była duża

- rozmiar próby↑ - moc testu ↑

- zróżnicowanie ↑- moc testu ś

40.PRZYKŁAD PRÓBKI NIEREPREZENTATYWNEJ DLA WZROSTU WSZYSTKICH KOBIET W POLSCE

Studentki AWF

41.SFORMUŁOWAC 2 HIPOTEZY WERYFIKOWANE TESTEM t

a)2 odmiany jabłek nie rónią się pod względem średniego ciężaru Ho: μ 1 =μ2

b)2 populacje serów żółtych nie różnią się pod względem średniej zawartości tłuszczu Ho: μ1 =μ2

42.CO TO SĄ PRÓWNANIE SZCZEGÓŁOWE (WIELOKROTNE)

Są to postępowania statystyczne zmierzające do podzielenia zbioru średnich na grupy jednorodne

Grupy jednorodne - największe podzbiory o równych sobie średnich

43.WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI

określa na ile względna cecha X determinuje cechę Y

44.ZMIENNA LOSOWA

Jest to wynik zdarzenia losowego

Zmienna losowa (cecha) -funkcja o wartosciach rzeczywistych okreslona na zbiorze zdarzen elementarnych.

Rozkład zmiennej losowej - zbiór wartosci zmiennej losowej oraz prawdopodobienstwa

z jakimi sa te wartosci przyjmowane

np. Jednokrotny rzut kostka.

Zmienna losowa: ilosc wyrzuconych oczek. Zbiór wartosci: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Zmienna losowa skokowa (dyskretna) jest to zmienna, której zbiór wartości jest skonczony lub przeliczalny

Jezeli x1 oraz x2 sa kolejnymi wartosciami zmiennej losowej skokowej, to nie przyjmuje ona zadnych wartosci miedzy x1 a x2 np Rzut kostka, liczba bakterii, ilosc pracowników

Zmienna losowa ciagła jest to zmienna przyjmujaca wszystkie wartosci z pewnego przedziału (najczesciej zbioru liczb rzeczywistych)

Jezeli x1 oraz x2 sa dwiema wartosciami zmiennej losowej ciag³ej, to moze ona przyjac dowolna wartosc miedzy x1 a x2 np. Wzrost, ciezar paczki towaru, wydajnosc

pracowników

45.2 PRZYKŁADY CECH O ROZKŁADZIE DWUMIANOWYM

rzut kostką, nasiona które wykiełkowały

46.DO CZEGO SŁUZY ANALIZA REGRESJI

Służy do zbadania współzależności między 2 cechami o rozkładzie normalnym

47.JAKIE WARTOŚCI MOŻE PRZYJMOWAC WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI WIELOKROTNEJ

Wspó³czynnik korelacji jest miernikiem zaleznosci miedzy dwiema cechami

Oznaczenie: ρθ

Własności wspó³czynnika korelacji

1. Współczynnik korelacji jest liczba niemianowana

2. ρ ∈<-1, 1〉

3. Jezeli ρ > 0, to wiekszym wartosciom jednej cechy odpowiadaja (srednio) wieksze wartosci drugiej cechy. Zaleznosc dodatnia (rosnaca, stymulujaca).

4. Jezeli ρ < 0, to wiekszym wartosciom jednej cechy odpowiadaja (srednio) mniejsze wartosci drugiej cechy. Zaleznosc ujemna (malejaca, limitujaca).

5. Jezeli ρ = 0, to bez wzgledu na wartosci przyjmowane przez jedna z cech, srednie wartosci drugiej cechy sa takie same. Cechy nieskorelowane.

6. Jezeli ρ = ±1, to istnieja takie liczby rzeczywiste a oraz b, ze Y = aX + b. Jezeli % = 1, to a> 0.Jeżeli ρ = -1, to a < 0.

Współczynnik korelacji jest miernikiem liniowej zależności miedzy cechami X oraz Y .

Im |ρ| jest blizsze 1, tym bardziej „liniowa” jest zależność miedzy cechami.

7. Jezeli (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozk³ad normalny,

to ρ = 0 jest równowazne niezaleznosci cech X, Y .

48.JAKIE ZAŁOŻENIA MUSZA BYĆ SPEŁNIONE BY HIPOTEZĘ DOTYCZĄCĄ RÓŻNICY MIĘDZY ŚREDNIMI 2 POPUACJI MOŻNA BYŁO WERYFIKOWAC TESTEM STUDENTA? JAK MOŻNA TE ZAŁOŻENIA SPRAWDZIĆ

1. rozkład normalny

2. cechy ciągłe

3. Ho: μ₁ = μ₂

4. δ₁² = δ₂²

5. α = 0,05

jeżeli p-value > α - nie odrzucamy Ho o równości srednich

jeżeli p - value <α - hipoteze odrzucamy

49.W JAKI SPOSÓB MOŻNA SPRAWDZIC ZAŁOŻENIE O NORMLANOŚCI

Test t - Studenta, test F - Fischera, test Chi2, tes korelacji Pearsona (????)

50.PARAMETRY ROZKŁADÓW

Dwumianowy - prawdopodobieństwo sukcesu, ilość zdarzeń

Normalny - wartość oczekiwana, wariancja

51.W GOSP WIEJSKICH BADANO ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY SPOŻYCIEM ZIEMNIKÓW (CECHA X) I ARTYKUŁÓW ZBOZOWYCH (CEHCA Y). UZYSKANO FUNKCJE REGRESJI : - 0.987X + 1,23. ZINTERPRETWAĆ WSPÓLCZYNNIK REGRESJI W TYM RÓWNANIU

X - spożycie ziemniaków

Y - spożycie zbożowych

Wraz ze wzrostem spożycia ziemniaków o jedną jednostkę zmniejsza się spożycie zbożowych o 0,987

52.INTERPRETACJA WSPÓŁCZYNNIKA KIERUNKOWEGO (a)

Wzrost spożycia ziemniaków (x) o jednostkę powoduje średni spadek spożycia art. Zbożowych (y) o około 1,080 g/dobę y = 1 .... - 4,086x

53.PRZEDZIAŁY UFNOŚCI

W gosp o spożyciu ziemniaków 0,8kg/dobę przeciętna wartość spożycia art. Zbożowych wynosi co najmniej 0,41 i nie więcej niż 0,48kg/ dobę. Zaufanie do wniosku wynosi 95%

54.PRZEDZIAŁ PREDYKCJI (SZERSZY) DLA POJEDYNCZEGO GOSPODARSTWA

W gosp o spożyciu ziemniaków 0,8kg/ dobę prawdopodobna możliwa wielkość spożycia art. zbożowych wynosi co najmniej 0,33 i nie więcej niż 0,56kg/dobę

55.WSPÓLCZYNNIK KIERUNKOWY

Mówi o ile i jak zmieni się wartość cechy zależnej, jeśli wartość cechy niezależnej zmieni się o jednostkę

56.WYZNACZENIE GRUP JEDNORODNYCH (PROCEDURĄ TUKEYA)

NIR - najmniejsza istotna różnica; jeżeli różnice wartości średniej < NIR - populacje się nie różnią; jeżeli różnice wartości średniej > NIR - populacje się różnią

27. ZINTERPRETOWAC WNIOSEK: ODRZUCONO WERYFIKOWANA HIPOTEZE NA POZIOMIE ISTOTNOŚCI 0,05

interpretacja - na 95% jesteśmy pewni, że nasze wnioskowanie jest prawidłowe, czyli z 95% pewnością możemy stwierdzić, że weryfikowana hipoteza jest nieprawdziwa (niesłuszna)

28. SFORMUŁOWAC HIPOTEZY WERYFIKOWANE TESTEM ANALIZY WARIANCJI

Ho: μ1 = μ2 = μ3 = ...........μn

29. WYMIENIC ZAŁOŻENIA FORMUŁOWANE W ANALIZIE WARIANCJI

- cecha X ma rozkład N (μi; δi² )

- wariancje są równe

31. CO MIERZY WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI

Współczynnik korelacji jest miernikiem zależności miedzy dwiema cechami

Oznaczenie: ρθ

33. NA PODTSAWIE OBLICZEŃ UZYSKANO WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RÓWNY 1.09. JAK MOŻNA ZINTERPRETOWAĆ TĘ WARTOŚĆ?

Interpretacja - współczynnik korelacji może przyjąć wartości z zakresu (-1, 1) dlatego też można sądzić, że uzyskana wartość jest wynikiem popełnionego błędu

34. CO TO JEST FUNKCJA REGRESJI

- jest to ilościowy opis zmiennych (badanych cech)

- ilościowe powiązanie cechy X i cechy Y

38. WYMIENIC PRZYNAJMNIEJ TRZY MIERNIKI POŁOZENIA PRÓBY

mediana, dominanta, kwartyl górny, kwartyl dolny, średnia

39. WYMIENIC MIERNIKI ROZPROSZENIA CECHY

- wariancje

- odchylenie standardowe

- współczynnik .......

- rozstęp

odchylenie ....................

40. DLA PEWNEGO ROCZNIKA STUDENTÓW ŚREDNI WYNIK ZE STATYSTYKI WYNOSI 3,57 ORAZ MEDIANA 3.28. CZY WIEKSZOŚC STUDENTÓW MA OCENE ZE STATYSTKI WIEKSZA OD ŚREDNIEJ CZY NIE? ODP UZASADNIJ

Mediana jest to wartośc która dzieli zbiór uporządkowany wg wzrastajacych lub malejących na dwie równe części. Po jednej stronie mediany jest 50% jednostek posiadajacych wartosci niższe od mediany po drugiej stronie 50% jednostek o wartoscich wyższych od mediany (np. dla uporzadkowanego szeregu siedmioelementowego 7, 10, 12, 15, 21, 33, 42 mediana jest czwarty z kolei pomiar, czyli Me=15); w przypadku gdy szereg ma parzysta liczbe jednostek np. 20, wartośc mediany otrzymuje się ze średniej artmetycznej 10 i 11 jednostki.

Wobec powyższego większośc studentów (ponad 50%) ma ocenę niższa od średniej

60. BADANO ZALEZNOŚC POMIĘDZY POZIOMEM WYKSZTAŁECENIA I ZAROBKAMI. STOSUJĄC ODPOWIEDNI TEST, HIPOTEZE O BRAKU ZALEŻNOŚCI ODRZUCONO. CZY OZNACZA TO, ŻE IM WYŻSZY POZIOM WYKSZTAŁECENIA TYM WYŻSZE ZAROBKI?

Hipoteza - brak zależności między poziomem wykształcenia i zarobkami - odrzucona

Odrzucenie powyższej hipotezy świadczy o istnieniu zależności między poziomem wykształcenia i zarobkami, a więc można przyjąć, że im wyższy poziom wykształcenia tym wyższe zarobki

61. JAKIE WNIOSKI WYNIKAJA Z ODRZUCENIA HIPOTEZY OGÓLNEJ Ho: μ1 = μ2 = ...........= μk W TESCIE ANALIZY WARIANCJI?

Co najmniej jedna cecha ma inną średnią

62. W JAKIM CELU STOSUJE SIĘ STANDARYZACJE ZMIENYCH LOSOWYCH

- standaryzacja - porównanie

- standaryzacje stosuje się w celu porównania dwóch różnych zmiennych

STANSARYZACJA WAPÓŁCZYNNIKÓW

• porównanie stanu zdrowia dwóch różnych populacji, uwzględniające wpływ wieku lub innych czynników mających istotne znaczenie na wskaźniki zdrowia (umieralność, chorobowość, zapadalność itd.)

• polega na obliczeniu nowych, teoretycznych współczynników przy założeniu, że struktury wewnętrzne porównywanych populacji odpowiadają strukturze wewnętrznej zbiorowości przyjętej umownie za wzór (standard)

• współczynniki standaryzowane nie przedstawiają umieralności (zapadalności) rzeczywistej, ich wartości służą jedynie do porównań

Jakosc wnioskowania statystycznego

Oceniamy parametr _ cechy na podstawie próby

X1,X2, . . . ,Xn. Niech ˆ_(X1,X2, . . . ,Xn) bedzie „jakas”

ocena parametru _

Nieobciazonosc - Jezeli srednia wartosc oceny ˆ_ jest równa wartosci

parametru _, to ocene ˆ_ nazywamy nieobciazona

Minimalna wariancja - z dwóch róznych nieobciazonych ocen ˆ_ oraz ˆˆ_ tego samego parametru _ za lepsza uznajemy te, która „srednio” przyjmuje wartosci blizsze parametrowi _

Minimalny b³ad sredniokwadratowy - jezeli ocena ˆ_ nie jest nieobciazona, to wówczas jako miernik jakosci stosuje sie b³ad sredniokwadratowy. Jest to „usrednienie” obciazenia oraz wariancji

Dystrybuanta F jest funkcja okreslona na zbiorze liczb rzeczywistych R wzorem F(x) = P{X _ x}, x 2 R

Najwazniejsze w³asnosci dystrybuanty

1. 0 _ F(x) _ 1

2. F(-1) = 0, F(1) = 1

3. dystrybuanta jest funkcja niemalejaca

4. P{a < X _ b} = F(b) - F(a)

Funkcja (gestosci) rozk³adu prawdopodobienstwa

f jest funkcja okreslona na zbiorze liczb rzeczywistych

R wzorem

f(x) = _F0(x), jezeli F0(x) istnieje

0, w przeciwnym przypadku

Najwazniejsze w³asnosci funkcji gestosci

1. f(x) _ 0

2. P{a < X _ b} = Rb

a f(x)dx

Rozkład normalny

Estymacja parametrów

Próba (prosta): X1,X2, . . . ,Xn

Estymator sredniej µ — srednia arytmetyczna

¯X=1nnXi=1

Xi =X1 + · · · + Xnn

Estymator wariancji _2 — wariancja próbkowa

S2 =1n - 1nXi=1(Xi - ¯X)2

Suma kwadratów odchylen od sredniej

varX =nXi=1(Xi - ¯X)2 =nXi=1X2i - n ¯X2

Estymator odchylenia standardowego _

S = pS2

WZ Statystyka 3.2

Szereg rozdzielczy (dane skumulowane)

Przedzia³ klasowy Liczebnosc

x0 - x1 n1

x1 - x2 n2...xk-1 - xk nkn

Srednia z próby ( ÿ xi = (xi-1 + xi)/2)=1ni=1ÿ xini

Suma kwadratów odchylen od sredniej

varX =i=1( ÿ xi - ¯)2ni

---