Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) - funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.
Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:
arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale
. W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale
(czyli obrazie przedziału
przez funkcję
).
arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale
. W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale
(czyli obrazie przedziału
przez funkcję
).
arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale
. W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze
(czyli obrazie przedziału
przez funkcję
).
arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale
. W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze
(czyli obrazie przedziału
przez funkcję
).
arcus secans jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale
. W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową):
,
, wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale
(czyli obrazie przedziału
przez funkcję
).
arcus cosecans jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale
. W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową):
,
, wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale
(czyli obrazie przedziału
przez funkcję
).
Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:
gdy
gdy
gdy
gdy
gdy
gdy
Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów nie stawiamy, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.
Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.
arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest
, a przeciwdziedziną
arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest
, a przeciwdziedziną
arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest
, a przeciwdziedziną
arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest
, a przeciwdziedziną
arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów:
,
. Jej dziedziną jest
, a przeciwdziedziną
.
arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów:
,
. Jej dziedziną jest
, a przeciwdziedziną
t