Z Ćwiczenia 31.05.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna


Na dzisiejszych zajęcich powiemy o równaniach różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. I na początek nieco przypomnienia. Każdy związek pomiędzy funkcją, jej pochodną izmienną x wielokrotną, czyli F(y, y', x) = 0 jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu I. Równanie to można zapisać w postaci: y' = f(x, y).

Jest kilka rodzajów takich równań. Na poczatek powiemy sobie o pierwszym z nich - o równaniu różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Tównanie to określone jest wzorem:

0x01 graphic

Popatrzmy na przykład:

0x01 graphic

Przyrównując c do 0x01 graphic
nasze równanie przyjmie postać 0x01 graphic
i jest to całka ogólna równania różniczkowego. Sprawdźmy jeszcze, czy rachunek jest dobry:

0x01 graphic

A więc się zgadza. Rozpatrzmy jeszcze taki przykład: 0x01 graphic
. To nam dalej daje 0x01 graphic
. I jeszcze kilka przykładów do wykonania w domu:

0x01 graphic

A teraz przejdziemy do drugiego równania - równania różniczkowego liniowego rzędu I. Jest ono określone wzorem:

0x08 graphic

Dla obliczenia tego równania musza zostać podjęte trzy kroki. Pierwszy krok to obliczenie CORLJ, czyli całki ogólnej równania liniowego jednorodnego 0x01 graphic
. Drugi krok to obliczenie CSRLN, czyli calki szczególnej równania liniowego niejednorodnego, która powstaje przez uzmiennienie 0x01 graphic
stałej c w CORLJ. I ostatni krok to obliczenie CORLN, czyli calki ogólnej równania liniowego niejednorodnego będącego sumą CORLJ i CSRLN. Popatrzmy teraz na przykład, jak to się liczy.

0x08 graphic
Rozwiążmy przykład 0x01 graphic
.

  1. Najpierw liczymy CORLJ

0x01 graphic

  1. Kolejny krok to obliczenie CSRLN. CSRLN poszukujemy w postaci y = c(x) * x. Podstawiając y do (*) otrzymuję:

0x01 graphic

Zatem nasze CSRLN wynosi ostatecznie 0x01 graphic
.

  1. I teraz CORLN otrzymujemy z wysumowania, co daje nam 0x01 graphic
    .

Przejdźmy teraz do kolejnego przykładu, a mianowicie 0x01 graphic

  1. CORLJ:

0x01 graphic

  1. CSRLN poszukujemy w postaci 0x01 graphic
    . Podstawiając y do (*) optrzymujemy:

0x01 graphic

  1. CORLN: 0x01 graphic

Teraz kilka zadań do rozwiązania w domu (przykłady analogiczne do powyższych):

0x01 graphic

My natomiast z powyższych przykładów rozwiążemy jeden. Wykonajmy przykład ostatni. I tak mamy:

  1. CORLJ

0x01 graphic

  1. CSRLN poszukujemy w postaci 0x01 graphic
    . Podstawiając y do (*) otrzymuję:

0x01 graphic

3. CORLN: 0x01 graphic

0x01 graphic

c może być dowolna, dlatego c = lnc



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Z Labolatoria 31.05.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Algorytmy i struktury danych
Z Ćwiczenia 05.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Ćwiczenia 17.05.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Teoretyczne podst. informatyki
Z Ćwiczenia 11.05.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Matematyka dyskretna i logika
Wykład z dnia 10.05.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Matematyka dyskretna i logika
Z Ćwiczenia 29.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Wstęp do kryptologii
Z Ćwiczenia 15.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Ćwiczenia 20.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Teoria informacji i kodowania
Z Ćwiczenia 26.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Ćwiczenia 01.03.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Ćwiczenia 19.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Algorytmy i struktury danych
Z Wykład 05.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Ćwiczenia 06.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Matematyka dyskretna i logika
Z Wykład 10.05.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Z Ćwiczenia 01.06.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Rachunek prawdopodobieństwa
Z Ćwiczenia 27.04.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Matematyka dyskretna i logika
Z Wykład 17.05.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Algorytmy i struktury danych

więcej podobnych podstron