ZESTAW 1B. 1. Podać twierdzenie Gaussa -Ostrogradzkiego i korzystając z niego wyznaczyć wartość wektora indukcji elektrycznej na powierzchni kuli metalowej o pr R₀=10mm naładowanej ładunkiem Q=10·10^-8C.; Strumień wektora przez powierzchnię zamkniętą jest równy całce objętościowej dywergencji tego wektora w obszarze, którego brzegiem jest wspomniana powierzchnia, czyli §(od S(V))A·dS=∫(od V) divAdV; Pole wektorowe jest polem bezźródłowym, czyli solenoidalnym w obszarze, gdy dywergencja

wektora pola jest równa zeru w każdym punkcie tego obszaru. W polu bezźródłowym strumień wektora pola przez dowolną powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Pole wektorowe jest polem źródłowym w obszarze, gdy dywergencja wektora jest różna od zera w tym

obszarze lub jego części; Na podstawie tego twierdzenia można napisać że: ∫DdS=Q więc D=Q/4ΠR^ gdzie D indukcja, D=(10·10^-8C)/4Π(0,01m)^=7,96·10^-5 C/m^; 2. Sformułować prawo zachowania energii dla pola elektromagnetycznego.; Prawo zachowania energii

w polu elektromagnetycznym jest wyrażone za pomocą twierdzenia Poyntinga: Moc wytworzona w pewnym obszarze jest równa sumie mocy przetwarzanej na ciepło, mocy pola elektromagnetycznego w obszarze oraz mocy wypromieniowanej przez brzeg tego obszaru.; §(od S(V))[E×H]dS=∫(od V)E_w·JdV-[∫(od V)(1/γ)J^dV+(∂/∂t)∫(od V) ((1/2)εE^+(1/2)μH^)dV] -po prawej stronie równania występuje różnica mocy wytworzonej i zatrzymanej oraz traconej w obszarze V. Wynika stąd inne sformułowanie twierdzenia Poyntinga: Nadmiar mocy wytworzonej w obszarze jest wypromieniowany na zewnątrz przez jego brzeg.; 3.Omówić rozchodzenie się fali elektromagnetycznej płaskiej w doskonałym przewodniku -impedancja fali w metalu.; Przypuśćmy że konduktywność środowiska przewodzącego spełnia warunek γ>>ωε, wobec tego stała rozprzestrzeniania jest równa w przybliżeniu: Г=α+jβ=√(jωμγ)=√(ωμγ/2)*(1+j); Stałe tłumienia i fazowa są w przybliżeniu jednakowe, przy czym: α=β=√(ωμγ/2); Impedancja falowa środowiska jest w tym przypadku równa: Z_f=√(jωμ/γ)=√(ωμ/γ)edop(jΠ/4); Wartości chwilowe tych fal wynoszą: E_t=E_xt=M√2e^-αz sin (ωt-βz) i H_t=H_yt=(M√2/Z_f)e^-αz sin (ωt-βz-Π/4); W każdym punkcie pola fala H_t jest opóźniona w fazie o Π/4 względem fali E_t. Obie rozpatrywane fale są tłumione ze względu na występowanie strat energetycznych, polegających na stopniowym przekształcaniu się energii pola elektromagnetycznego na ciepło. Na podstawie poprzednich wzorów stwierdza się że amplituda fali wzdłuż odcinka równego jej długości λ=2Π/β zmniejsza się 535 razy, bowiem e^αλ=exp[α (2Π/β)]=e^2Π≈535; ze względu na przybliżoną równość stałych α i β. Otrzymany wynik oznacza że tłumienie fali jest bardzo silne i fala praktycznie zanika po przejściu odcinka równego jest długości.; Gęstości energii pola elektr i magn wynoszą: w_e=εE_t^/2 i w_m=μH_t^/2 (podstawić za E_t i H_t); Średnie wartości za okres energii pola elektr i magn są równe: w_eśr=(1/2)εM^e^-2αz oraz w_mśr=(1/2)(μM^/Z_f^)e^-2αz; z tych równań otrzymujemy: w_eśr/w_mśr=εZ_f^/μ=ωε/γ; Ze względu na przyjęty warunek że γ>>ωε stwierdzamy, że w_mśr>>w_eśr. Oznacza to że w środowisku dobrze przewodzącym przy spełniuniu warunku γ>>ωε energia fali elektromagn jest praktycznie równa energii pola magn, czyli energia fali elektromagn jest praktycznie zawarta w polu magnetycznym;

4. Parametry krytyczne nadprzewodników; podać definicje parametrów i przykładowe wartości dla nadprzewodników LTS i HTS; temperatura krytyczna: temperatura w której obserwuje się efekt nadprzewodnictwa (czyli zerowa oporność oraz zanik indukcji magnetycznej przewodnika); natężenie pola magnetycznego -Bc=Bmax przy T=0 i J =0; i gęstość prądu krytycznego -to taka wartość prądu przepływającego przez nadprzewodnik po przekroczeniu której pojawia się opór elektryczny; Przykładowe parametry nadprzewodników LTS (niskotemperaturowe): Al: H(c)=7,88A/m, T_k=1,2 K; In: H(c)=22,5A/m, T_k=3,4 K; Pb: H(c)=63,9A/m, T_k=7,2 K; Hg: H(c)=30,2A/m, T_k=4,2 K ; Nadprzewodnik HTS np.: Bi-2223: I_C=112A, T_k=77K

5. Metoda różnic skończonych -dyskretyzacja równania Laplace'a; W metodzie różnic skończonych (w skrócie MRS) zastępuje się pochodne przez ilorazy różnicowe, przechodząc w ten sposób od równań różniczkowych do równań różnicowych. Zagadnienie brzegowe sprowadza się do układu liniowych równań algebraicznych, a po ich rozwiązaniu otrzymuje się przybliżone rozwiązanie pro­blemu.

ZESTAW 2B; 1. Sformułować prawo Biota Savarta i korzystając z niego wyznaczyć wartość wektora natężenia pola magn na osi symetrii zwoju w kształcie okręgu o promieniu R=0,1m, przez który płynie prąd o wartości 5A; Prąd i płynie wzdłuż bardzo

cienkiego przewodu C znajdującego się w jednorodnym środowisku o μ=const. Podstawiając JdV=idl (J to potencjał wektorowy) do zależności na natężenie pola: H(x,y,z)=(1/4Π)∫( od V)[J(x',y',z')×r/r³]dx'dy'dz', otrzymujemy: H(x,y,z)=(i/4Π)∫(od C)(dl×r)/r³;

Natężenie pola magnetycznego wytworzone przez prąd w elemencie dl wyraża się wzorem: dH=(i.4Π)·[(dl×r)/r³] a jego miarą jest dH=(i*sinαdl)/4Πr^ gdzie α jest kątem między wektorem r a wektorem dl.; Trzy ostatnie wzory przedstawiają prawo Biota-Savarta, które

pozwala wyznaczyć natężenie pola magnetycznego w otoczeniu przewodów przewodzących prądy. Natężenie pola magn na osi symetrii zwoju wyraża się wzorem: H=i/2R czyli H=5A/2·0,1m=25 A/m; 2. Podać równania falowe dla pary wektorów E i H w rzeczywistym dielektryku.; rotH=(γ+jωε)E; rotE=-jωμH; 3. Na czym polega zjawisko naskórkowości?. Podać wpływ tego zjawiska na rezystancję i reaktancję przewodu z prądem.; Rozkład prądu zmiennego w przewodzie jest nierównomierny. W przypadku przewodu walcowego największa gęstość występuje przy powierzchni przewodu, a najmniejsza — wzdłuż jego osi. Nierównomierność rozkładu powiększa się w miarę wzrostu częstotliwości, a przy bardzo dużych częstotliwościach prąd płynie praktycz­nie w cienkiej warstwie przewodu przy jego powierzchni. Z tego powodu zjawisko to nosi nazwę naskórkowości. Zjawisko naskórkowości wywołuje zmianę impedancji wewnętrznej przewodu. Ze wzrostem częstotliwości zwiększa się rezystancja przewodu, a jego indukcyjność wewnętrzna maleje. Zbadamy zjawisko naskórkowości występujące przy przepływie prądu sinusoidalnego w przewodzie walcowym. Rezystancja i reaktancja przewodu z prądem: dla stałej gęstości prądu w przewodzie o przekroju kołowym (przy słabym zjawisku naskórkowości): R₀=l/ Π*γ*r₀^; L_Wo=μ*l/8Π; X_Wo=ω* μ*l/8Π;Wpływ silnego zjawiska naskórkowości: R/R₀=(r₀/2)*√ (ω*μ*γ/2); L_W/L_Wo=X_W/X_Wo=(2/r₀)*√ (2/ ω*μ*γ) 4. Metoda elementów skończonych -omówić rolę funkcjonału energetycznego w MES; Metoda elementów skończonych (MES) może być przedstawiona jako dyskretna realizacja metody wariacyjnej Ritza lub może być wyprowadzona z metody residuów ważonych. Realizacja metody Ritza: 1. Analizowaną płaszczyznę S dzielimy na elementy, w najprostszym przypadku trójkątne. Wielkość elementów jest tym mniejsza, im większe zmiany poszukiwanej funkcji występują w danym miejscu. W siatce elementów nie mogą występować przerwy, a elementy nie mogą zachodzić na siebie. 2. W elementach dobieramy funkcje aproksymujące poszukiwaną funkcję V tak, by była zachowana ciągłość między elementami. 3.Z otrzymanych równań wewnątrz elementu e tworzymy globalny układ równań obejmujący wszystkie elementy. W procesie formowania globalnego układu równań należy uwzględnić warunki brzegowe. 4 Rozwiązujemy globalny układ równań wyznaczając wartości poszukiwanej funkcji we wszystkich węzłach siatki.; Metoda elementów skończonych jest powszechnie stosowana w obliczeniach pól elektrycznych, magnetycznych i elektromagnetycznych w urządzeniach technicznych o skomplikowanych kształtach. 5. Omówić efekt Meisnera. Efekt Meissnera (lub efekt Meissnera - Ochsenfelda), to zjawisko polegające na całkowitym wypychaniu pola magnetycznego z nadprzewodnika, odkryte w 1933 roku przez Walthera Meissnera i Roberta Ochsenfelda. Zjawisko Meissnera jest podstawą do określenia, czy dany przewodnik o zerowym oporze elektrycznym jest rzeczywiście nadprzewodnikiem. Zewnętrzne pole magnetyczne o natężeniu mniejszym od granicznego nie wnika do nadprzewodnika w kształcie długiego walca, z wyjątkiem cienkiej warstwy przypowierzchniowej nadprzewodnika (grubość tej warstwy nazywa się Londonów grubością wnikania), natężenie pola magnetycznego wewnątrz nadprzewodnika jest równe zero. Natężenie graniczne pola magnetycznego zależy od materiału oraz temperatury nadprzewodnika. Jeżeli nadprzewodnik zostanie umieszczony w bardzo silnym polu magnetycznym to przestaje być nadprzewodnikiem, jeżeli natężenie pola będzie się zmniejszać, to w momencie przejścia w stan nadprzewodnictwa pole zostanie wypchnięte z nadprzewodnika. Przyczyną wypchnięcia jest pojawienie się w powierzchownej warstwie nadprzewodnika prądu elektrycznego o takim natężeniu, że wytworzone przez niego pole magnetyczne kompensuje wewnątrz nadprzewodnika pole magnetyczne. Związana z tym siła może utrzymać bryłkę nadprzewodnika nad stacjonarnym magnesem - tzw. lewitacja nadprzewodnika. Tak lewitujący magnes ma dwie szczególne właściwości: może pozostawać w totalnym bezruchu (dzięki liniom pola magnetycznego uwięzionym w defektach sieci krystalicznej) lub wirować bez tarcia. Dowód teoretyczny: Wyjaśnienie teoretyczne efektu Meissnera można uzyskać z równania Londonów: ▼×J_d=-wekB/μ₀λ^ oraz z równań Maxwella: ▼×wekB=J_d μ₀ gdzie :J_d -to gęstość prądu; B -to pole magnetyczne, a λ -głębokość wnikania. Ponieważ pole magnetyczne jest wirujące, mamy relację: ▼×▼×wekB=-▼^wekB; Używając powyższych, można wykazać, że: ▼^wekB=B/λ^ Ponieważ laplasjan B jest równy zero, pole magnetyczne wewnątrz nadprzewodnika, poniżej głębokości wnikania, wynosi zero.

ZESTAW 3B; 1. Podać potencjały elektrodynamiczne oraz równania, jakie spełniają. Czy i w jakim przypadku mają one charakter falowy?: Funkcja wektorowa A, zwana potencjałem wektorowym, a druga funkcja jest skalarna φ zwana potencjałem skalarnym.

Dotyczą one pola elektromagnetycznego. Obie zależą od trzech zmiennych przestrzennych (czyli od nat pola el E, nat pola magn H oraz indukcja magn B), punktu P i czasu, co oznacza się pisząc A(P,t) oraz φ(P,t). Funkcje te nazywane są ogólnie potencjałami elektrodynamicznymi.; Spełniają równania: φ=(1/4Πε)∫( od V)ρdV/r ; A=(μ/4Π)∫(od V)(J/r) dV =(μ/4Π)∫(od C)(i/r)dl; Mogą mieć charakter falowy:▼^A-(1/ν^)(∂^A/∂t^)=-μJ,▼^φ-(1/ν^)(∂^φ/∂t^)=-ρ/ε -niejednorodne równania falowe, gdzie ν=1/√(εμ),

ρ -gęstość ładunku przestrzennego, J -gęstość prądu;2.Omówić falę elektromagn płaską w idealnym środowisku dielektrycznym -impedancja fali w idealnym dielektryku. Załóżmy że środowisko rozprzestrzeniania się elektormagn fali płaskiej, jest idealnym dielektrykiem o konduktywności γ=0. Wówczas stała rozprzestrzeniania oraz impedancja falowa środowiska są odpowiednio równe: Г=jω√(εμ) oraz Z_f=Z_f=√(μ/ε), zgodnie ze wzorami: Г=√[jωμ(γ+jωε)] i Z_f=√[(jωμ/(γ+jωε)]. Stała tłumienia i stała fazowa wynoszą zatem: α=ReГ=0, β=ImГ=ω√(εμ); a prędkość fali ν=ω/β=1/√)εμ); Impedancję falową środowiska można przedstawić w postaci wzoru: Z_f=120Π√(μ/ε).; Załóżmy że istnieją tylko fale pierwotne. Podstawiając α=0 oraz φ=argZ_f=0 do wzorów: E_pt=M₁√2*e^-αz sin(ωt-βz+Ψ₁) i E_wt=M₂ √2*e^αz sin(ωt+βz+Ψ₂) oraz do H_pt=(M₁√2/Z_f)e^-αz sin(ωt-βz+Ψ₁-φ) i H_wt=(M₂√2/Z_f)e^αz sin(ωt+βz+Ψ₂-φ) otrzymujemy: E_t=E_pt=M₁√2sin(ωt-βz+Ψ₁) i H_t=H_pt=(M₁√2/Z_f)sin(ωt-βz+Ψ₁); W idealnym dielektryku istnieją zatem nietłumione fale sin. Fale E_pt i H_pt są w fazie w każdym punkcie obszaru.; Na podstawie wzorów poprzednich znajdujemy; E_t/H_t=Z_f=√(μ/ε) a stąd; εE_t^/2=μH_t^/2; Oznacza to że gęstości energii pola elektrycznego i pola magnetycznego są jednakowe.; 3. Równanie Poissona -korzystając z równania wyznaczyć z dokładnością do stałych rozkład potencjału dla kuli dielektrycznej o ε_r=6 i promieniu R=0,5m, naładowanej równomiernie ładunkiem objętościowym ρ=10C/cm³; Równanie Poissona: ▼^φ=-ρ/ε; (1/r^)(∂/∂r)[r^(∂φ/νr)]=-ρ/ε //·r^ ; (∂/∂r)[r^(∂φ/νr)]-ρr^/ε //∫()dr; r²(∂φ/∂r)==(-ρ/ε)(r³/3)+A₁ //:r² ; ∂φ/∂r=(-ρ/ε)(r/3)+A₁/r² //·∫()dr ; φ=(-ρ/ε)(r²/6)-A₁/r+A₂ i podstawić wartości; 4. Sposoby chłodzenia nadprzewodnikowych uzwojeń urządzeń elektrycznych.; Chłodzenie za pomocą ciekłych gazów np. ciekły: azot, hel, przy MgB₂ (dwuborek magnezu) stosuje się wodór i neon; Chłodzenie z pomocą metody kontaktowej w której używa się urządzenia nazywanego -crycooler (po polsku mniej więcej: chłodziarka kontaktowa) 5. Wymienić kryteria dokładności rozwiązania w metodzie relaksacyjnej;

ZESTAW 1A. 1. Omówić rozchodzenie się fali płaskiej w przewodniku i impedancja falowa (zestaw 1B pyt.3)

2. Podać twierdzenie Gaussa -Ostrogradzkiego i na jego podstawie obliczyć jakąś kule metalową o potencjałach. (zestaw 1B pyt.1)

3. Przeprowadzić dyskusję na podstawie twierdzenia Poytinga. Prawo zachowania energii w polu elektromagnetycznym jest wyrażone za pomocą twierdzenia Poyntinga: Moc wytworzona w pewnym obszarze jest równa sumie mocy przetwarzanej na ciepło, mocy pola elektromagnetycznego w obszarze oraz mocy wypromieniowanej przez brzeg tego obszaru.; §(od S(V))[E×H]dS=∫(od V)E_w·JdV-[∫(od V)(1/γ)J^dV+(∂/∂t)∫(od V) ((1/2)εE^+(1/2)μH^)dV] -po prawej stronie równania występuje różnica mocy wytworzonej i zatrzymanej oraz traconej w obszarze V. Wynika stąd inne sformułowanie twierdzenia Poyntinga: Nadmiar mocy wytworzonej w obszarze jest wypromieniowany na zewnątrz przez jego brzeg.; W równaniu tym wektor P=E×H [W/m^]nazywa się wektorem Poytinga i jest to gęstość powierzchniowa mocy. Całka powierzchniowa: §(od S(V))[E×H]dS jest strumieniem wektora Poyntinga przez powierzchnie i przedstawia moc. Ponieważ wektor Poyntinga ma określony kierunek i zwrot, więc istnieje w polu elektromagn przepływ mocy w określonym kierunku. Zatem całka §(od S(V))[E×H]dS przedstawia moc wypromieniowaną przez brzeg obszaru V. Wielkość E_w·J przedstawia gęstość objętościową wytwarzanej mocy elektrycznej, wobec tego całka ∫(od V)E_w·JdV przedstawia moc elektr wytworzoną w obszarze V. Całka ∫(od V)(1/γ)J^dV przedstawia moc przetworzoną na ciepło w obszarze V.; Wielkość (∂/∂t)∫(od V) ((1/2)εE^+(1/2)μH^)dV przedstawia moc pola elektromagn związaną z obszarem V.;

4. Parametry krytyczne nadprzewodników i omówić nadprzewodniki LTS i HTS. (zestaw 1B pyt.4) 5. Metoda Laplacea w metodzie numerycznej.

ZESTAW 2A. 1. Prawo Biota -Savarta, natężenie pola. (zestaw 2B pyt.1) 2. Rysunek okręgu gdzie dane są I=5A i r=0,1, obliczyć H=?.(zestaw 2B pyt.1) 3. Równanie fali. E, H w dielektryku rzeczywistym. (zestaw 2B pyt.2)

4. Wyprowadzić wzór na rezystancję przejścia uziomu półkulistego i obliczyć; Uziomami nazywamy elektrody metalowe umieszczone w gruncie. Prąd doprowadzony do uziomu wpływa do ziemi, wobec tego w otoczeniu uziomu istnieje pole przepływowe.; Rezystancję przejścia uziomu odosobnionego, nazywa się rezystancję uziomu; wielkość ta stanowi opór na drodze przepływu prądu od uziomu do nieskończoności, gdzie potencjał równa się zeru. Rezystancja uziomu zależy od jego kształtu oraz konduktywności gruntu (w granicach 10^-4 do 10^-1 S/m).; Uziomy umieszczane są na powierzchni gruntu lub zakopywane blisko jego powierzchni.; Rozpatrzmy uziom półkolisty o promieniu r₀ umieszczony przy powierzchni gruntu, z którego wypływa do gruntu prąd i. Gdy grunt jest jednorodny, wówczas linie prądowe są radialne. Ze względu na symetrię układ, gęstość prądu w punktach półkuli o promieniu r jest wielkością stała i wyraża się wzorem: J=i/2Πr^, a natężenie pola elektr w tym punkcie jest: E=(1/γ)J=i/2Πγr^ przy czym γ oznacza konduktywność gruntu.; Potencjał w rozpatrywanym punkcie pola jest równy: φ=i/2Πφr, a potencjał uziomu: φ₀=i/2Πγr₀ ; Rezystancja uziomu (przejścia) wyraża się wzorem: R_p=φ₀/1=1/2Πγr₀ ; Uziom półkolisty ma znaczenie teoretyczne.; 5. Rola funkcjonału energetycznego w metodzie elementów skończonych. (zestaw 2B pyt.4)

ZESTAW 3A. 1. Co się dzieje z falą elektromagnetyczną na granicy dwóch ośrodków μ1, μ2?; co się dzieje jeśli μ2→∞. Fala płaska padająca na granicę dwóch środowisk; Fala przesuwająca się w kierunku osi z pada prostopadle na powierzchnię graniczną dwóch różnych środowisk, stanowiącą płaszczyznę x, y układu współrzęd­nych prostokątnych (rys. 10.4). Przypuśćmy, że środowisko 1 pod płaszczyzną x, y jest idealnym dielektrykiem, a środowisko 2 nad tą płaszczyzną może mieć własności przewodzące. Stałą rozprzestrzeniania i impedancję falową środowiska 1oznaczymy symbolami Г₁, oraz Z_f1 a środowiska 2 - symbolami Г₂, Z_f2, Zakładamy że natężenie pola elektrycznego jest równoległe do osi X, natężenie zaś pola magnetycznego -do osi y. Fala płaska padająca na powierzchnię graniczną od strony środowiska 1 ulega częściowemu odbiciu, część zaś tej fali wnika do środowiska 2. W środowisku 1 istnieje zatem fala pierwotna i fala odbita, wobec tego natężenia pola elektrycznego i magnetycznego można przedstawić w postaci: E_x1=E_p1edop(-Г₁z)+E_w1edop(Г₁z), H_x1=(E_p1/Z_f1)edop(-Г₁z)-(E_w1/Z_f1) edop(Г₁z); gdzie E_p1 i E_w1 to wartości zespolone fal: pierwotnej i odbitej w środowisku 1.; Jeśli środowisko 2 jest półprzestrzenią przewodzącą to istnieje tylko fala pierwotna więc natężenia pól elektrycznego i magn: E_x2=E_p2edop(-Г₂z), H_y2=(E_p2/Z_f2)edop(-Г₂z); n=(Z_f2-Z_f1)/(Z_f1+Z_f2); m=2Z_f2/(Z_f1+Z_f2); n, m określają jaka część fali pierwotnej ulega odbiciu oraz jaka jej część wnika do drugiego środowiska; n nazywa współczynnikiem odbicia, a m -współczynnikiem załamania fali;

2. Fala elektromagnetyczna płaska w idealnym ośrodku dielektrycznym. Impedancja falowa w ośrodku. (zestaw 3B pyt.2) 3. Kula. Z równania Poissona wyznaczyć rozkład potencjału. (zestaw 3B pyt.3) 4. Sposoby chłodzenia uzwojeń wykonanych z nadprzewodnika. (zestaw 3B pyt.4) 5. Dokładność obliczeniowa przy wykorzystaniu metody relaksacyjnej.

4B

---