CIĄGI: Ciągiem skończonym o K-wyrazach ze zbioru X nazywamy dowolną funkcję f:{1,2,3,...K}→x;

Ciągiem nieskończonym o K-wyrazach ze zbioru X nazywamy dowolną funkcję f: N→x;

Gr.Ciągów: lim a_n = g ⇔ ∀ ∃ ∀ d( a_n,g )< ∑ gdzie a_n ∈ R

^{n ∑ >0 N n > N}

lim a_n = g ⇔ ∀ ∃ ∀ d Ia_n - gI < ∑

^{n ∑ >0 N n > N}

Gr.Ciąg.Niewłaściwa: lim a_n = + ∝ ⇔ ∀ ∃ ∀ a_n > M

^{n M > 0 N n > N}

lim a_n = - ∝ ⇔ ∀ ∃ ∀ a_n < M

^{n M < 0 N n > N}

Ciąg zbieżny: Jeżeli ciąg a_n jest zbieżny do liczby g, to każdy podciąg cigu a_n jest też zbieżny do g.

Jeżeli istnieją w ciągu a_n dwa podciągi zbieżne do różnych granic (właściwa lub niewłaś.)

to ciąg a_n nie ma granic.

Tw.o 3 ciągach: Jeżeli lim a_n = lim b_n = g i ∀ a_n ≤ c_n ≤ b_n ,to lim c_n = g

^{n n n ∈ N n}

GR.FUNKCJI: Punkt a nazwiemy punktem skupienia zbioru A ⇔ gdy dowolnie blisko punktu A

znajduje się inny punkt zb. A;

lim f(x)= g ⇔ ∀ ∃ ∀ (x-a) < δ ⇒ I f(x)-g I < ∑ gdzie f: x ⇒ R

^{x→a ∑ > 0 δ > 0 x ≠ a}

^{x ∈ X}

lim f(x)= g ⇔ ∀ ∃ ∀ a - δ < x < a ⇒ I f(x)-g I < ∑

^{x→a- ∑ > 0 δ > 0 x ∈ X}

lim f(x)= g ⇔ ∀ ∃ ∀ a < x < a + δ ⇒ I f(x)-g I < ∑

^{x→a+ ∑ > 0 δ > 0 x ∈ X}

Jeżeli funkcja f ma granice w punkcie a, to w punkcie tym istnieją i są równe obie

granicy jednostronnej;

Jeżeli te granice są różne lub jedna z nich nie istnieje to funkcja f nie ma granic;

Def.Hainego: lim f(x)= g ⇔ ∀ lim x_n = a ⇒ lim f(x_n) = g

^{x→a x}_n ^{∈ x}, ^x_n ^{≠ a}

lim f(x)= g ⇔ ∀ lim x_n = a ⇒ lim f(x_n) = g

^{x→a+ x}_n ^{∈ x}, ^x_n ^{> a}

CiągłośćFunk.: Jeżeli lim f(x)=f(x₀), to mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x₀

^{x → x}₀

lim f(x)=f(x₀) funkja jest ciągła w punkcie x₀ prawostronnie

^{x → x}₀⁺

lim f(x)=f(x₀) funkja jest ciągła w punkcie x₀ lewostronnie;

^{x → x}₀^-

Mówimy, że funk. Jest ciągła w zbiorze A ⇔ gdy jest ciągła w każdym punk. w zb. A ;

Jeżeli funkcja jestciągła w całej swojej dziedzinie to jest to funkcja ciągła;

Włas.Funk.Ciągłych: ⇓

Tw.Bolzano-Cauchy'ego: Jeżeli funk.jest ciągła w przedziale <a,b> i f(a)⋅f(b)<0 to istnieje taki punkt

c∈(a,b),że f(c)=0;

Tw.o.zachowaniu.znaków: Jeżeli funk. f jest ciągła w punk. x₀ i f(x₀)≠0,to istnieje takie otoczenie

p x₀, że f przyjmuje wartość tego samego znaku jak f(x₀);

Asymtoty:Prost x=a jest asym. pion. lewostr. wykresu funk. y=f(x) ⇔ limf(x)=+ - ∝;

^{x → a-}

Prost x=a jest asym. Pion. prawostr. wykresu funk. f(x)=y⇔ limf(x)=+ - ∝;

^{x → a+}

Prost x=a jest asym. Pion. lewo. i prwostr. wykresu funk. y=f(x) nazywaną asymp. Obustronną;

Pr. y=b jest asymp. Poziomą prwostr. W funk. f ⇔ lim f(x)=b;

^{x → + ∝}

Pr. y=b jest asymp. Poziomą lewostr. W funk. f ⇔ lim f(x)=b;

^{x → - ∝}

Pr. y=ax+b jest asym. Ukośną prwostr. Wykresu funkcji f ⇔ [ lim ^{f (x)}/_x =a ∧ lim[ f(x)-ax]=b ]

^{x → + ∝ x → + ∝}

Pr. y=ax+b jest asym. Ukośną lewostr. Wykresu funkcji f ⇔ [ lim ^{f (x)}/_x =a ∧ lim[ f(x)-ax]=b ]

^{x → --- ∝ x → -- ∝}

POCHODNA: Granicę taką o ile istnieje i jest właściwa nazywmy poch. funk. f w punkcie x₀ i nazyw. f '(x₀);

lim ^Δy/_Δx = lim ^f(x₀^{+h) - f(x}₀⁾/_h

^Δx→0

Jeżeli istnieje f `(x₀) to funkcja f jest rózniczkowalna w punkcie x₀;

Jeżeli funk. f jest różniczkowalna w punkcie x₀ to jest w tym punkcie ciągła

lim f(x)=f(x₀) ; lim (f(x)-f(x₀))=0;

^{x → x}₀ ^{x → x}₀

RÓŻNICZKA : dy= f `(x) ⋅ Δx= ^dy/_dx ⋅ dx;

Tw.Fermata:Jeżeli funk. f określona w przedz. <a,b> osiąga swój kres górny M=f( c) {lub dowolny m=f( c)}

w punk. c ∈ (a,b) i jest w tym punk. różniczkowalna, to f `(c)=0

Dowód: f(c)=M ∀ f(x)<f(c)=M;

^{x ∈ (a,b)}

Tw.Rolle'a: Jeżeli funk. okreslona i ciagła w <a,b>,różniczkowalna w (a,b) i f(a)=f(b), to istnieje taki punkt

c∈(a,b),że f `(c)=0

Dowód: f jest ciągła w <a,b>, czyli osiąga swoje kresy górny M i dolny m ; M≥m

1′ M=m ⇒ f(x) = const ⇒ 0 ⇒ f `(x)=0

2′ M>m - wewnątrz przedziału (a,b) osiąga funkcja przynajmiej jeden kres górny lub

dolny.Skoro funk. przyjmuje kres wewnątrz przedziału to z Tw.Fermata

pochodna w tym punkcie w którym jest kres musi być =0;

Tw.Lagrange'a: Jeżeli f jest określona i ciągła w <a,b> i różniczkowalna w (a,b) ,to istnieje taki punkt

c∈(a,b),że f `(c)= ^{f(b) - f(a)}/_{b - a}

Dowód: F(x)=f(x)- f(a) - ^{f(b) - f(a)}/_{b - a} ⋅ (x-a) ;

Tw.Cauchy'ego: Jeżeli f i g są ciągłe w <a,b>,f i g są różniczkowalne w (a,b),g '(x)≠ 0 dla x∈(a,b)

to istnieje taki punkt c∈(a,b),że ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)} = <sup>f `(c)</sup>/<sub>g `(c)</sub>

Dowód: f(x)=f(x) - f(a) - ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)} ⋅ (g(x) - g(a))

F(a)=0 , F(b)=0 , F `(x)=f `(x) - ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)} ⋅ g `(x)

F `(c)=0 , g(b)=g(a), ξ ∈ (a,b) g `( ξ )=0;

EKSTREMA: Mówimy,że funk. f ma maksimum lokalne właściwe w punk. x₀ ⇔ gdy istnieje takie sąsiedztwo

punk. x₀

S(x₀,δ)=(x₀ - δ,x₀) ∨ (x₀, x₀ - δ) że ∀ f(x)<f(x₀)

^{x ∈ S( x}₀ ^{, δ )}

Zerownie się 1 poch. To warunek konieczny istnienia ekstremum;

Tw. własności wszystkich ekstremum reguła 1: Jeżeli f `(x<sub>0</sub>)=0 i f ` zmienia znak przy przejściu przez x₀,to

w punkcie x₀ jest ekstremum,przy czym jeżeli zmiana znaku następuje z + na - to mamy maksimum,a

z - na + to mamy minimum;

Tw. Warunek wystarczający ekstremum reguł a 2: Jeżeli funk. f jest dwukrotnie różniczkowalna i

f ` (x<sub>0</sub>)=0 i f ` `(x<sub>0</sub>)>0 to w punk. x<sub>0</sub> funk. ma minimum,(ii) f `(x₀)=0 i f ` `(x₀)<0 to w punk. x₀ funk.ma maks.;

WYPUKŁ. I WKLĘSŁOŚĆ:Mówimy,że funk. f jest wypukła w przedziale )( ⇔ ∀ f(q₁x₁+q₂x₂)<q₁f(x₁)+q₂f(x₂) gdzie

^x ₁^{, x}₂ ^{∈ ) (}

q₁,q₂ >0 i q₁+q₂=1; warunek konieczny punktu przegięcia f `'(x₀)=0 a wrunek

wystarczający punktu przegięcia f `'(x<sub>0</sub>)=0 ∧ f ` ` zmienia znak;

Tw. de l'Hospitala: Jeżeli f i g określone w przedz. (a,b>,lim f(x)=lim g(x)=0,f i g rózniczk. w (a,b) i g `(x)≠ 0

^{x → a x → a}

to istnieje granica lim <sup>f `(x)</sup>/<sub>g `( x)</sub>=K

^{x → x}₀

CAŁKA nieoznaczona: Funkję F nazywamy funkją pierwotną funkcji f w pewnym przedziale, jeżeli F'(x)=f(x)

dla każdego x z tego przedziału; f(x)=1 F₁(x)=x F₂(x)=x-1;

Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f, to każda funkcja postaci G(x)=F(x) + C,

C-dowolna stała, jest funkją pierwotną funkcji f. Każda funkcję pierwotną można przedstawić

w tej postaci ∫ f(x)dx = F(x) + C;

oznaczona: Jeżali granica _n

lim ∑ f( ξ i) ⋅ Δx_i istnieje ,jest skończona i nie zależy od sposobu przedziału

^{n i=1}

(byle tylko był normalny ciąg przedziałów) :wyboru punktów pośrednich ( ξ i),

to granicę tę nazywamy całką oznaczoną z funkcji f w przedziale <a,b> i ozn.

_{b n}

∫ f(x)dx= lim ∑ f ( ξ i) ⋅ Δx_i całka Riemanna

^{a n i=1}

Wzór Newtona-Leibniza(rachunek całkowy): Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f to

_b

∫ f(x)dx= F(b) - F(a)

^a

Tw.: f jest różniczkowalna i ma ciągłą pochodną w <a,b>, to długość krzywej y=f(x), a ≤ x ≤ b

wyraża się wzorem: _b

∫ √ 1+ [ f `(x)]² dx

^a

MACIERZE: Macieżą wymiaru n ^x k nad ciałem F nazywamy dowolną funkcję f :{1,2,3,...k}→F; det A lub IAI;

Minor: Jeżeli A∈M _nxk ,Minorem stopnia m(1≤m≤max{n,k})nazywamy wyznacznik stopnia m macieży

powstałej z macieży a przez wybór m-wierszy i m-kolumn dowolnych;

Minor:Jeżeli A ∈ M _nxm,M-jej minorem stopnia k, to macieżem dopełniającym nazywamy minor utworzony z

pozostałych wierszy i kolumn,znaczony M′ - st. n-k;

Dopełnieniem algebraicznym minora st. K macierzy kwadratowego A M ^j₁^,j₂^…j_k powstałego przez wybór wierszy

_j1,j2…jk ⁱ₁^,i₂^…i_k

i₁,i₂,i₃,…..i_k kolumn j₁,j₂,j₃,…jk nzywamy liczbą A _i1,i2..ik = (-1)^m (M ^j₁^,j₂^…j_k )' , m=i1+i2+…ik+j1+j2+….jk;

_{n j} ⁱ₁^,i₂^…i_{k n r}

Tw.Laplace'a: det A = ∑ a_{r j} A _r (rozwinięcie wg r-tego wiersza), det A= ∑ a_{i r} A _j (wg r-tej kolumny);

^{i=1 i=1}

Macierz transponowana: Niech A ∈ M _mxn ,Macież B ∈ M _nxm określoną wzorem b_ij=a_ji,i=1,...n,j=1,...m nazywa

się macierzą transponowaną do macierzy A i oznaczoną A^T;

Macierz odwrotna: Jeżeli A jest macierzą kwadratową to macierz B, taką że AB=BA=Ι nazywamy

macierzą odwrotną do macierzy A.

Jeżeli macierz A ma odwrotną , to tylko jedną: B₁,B₂-macierz odwrotna do A

Dow. B₁A=AB₁=Ι , B₂A=AB₂=Ι , B₁=B₁Ι=B₁(AB₂)=(B₁A)B₂=ΙB₂=B₂

Jeżeli A ma macierz odwrotną to macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy A^-1

i mówimy że macierz A jest odwracalna.

Macierz A jest odwracalna ⇔ det A ≠ 0

Budowa macierzy odwrotniej: A^-1=¹/_{det A} ⋅ _A^ (jeszcze rysunek macierzy);

WEKTORY: mówimy,że wektory x1,x2,....xk są liniowo zależne gdy przynajmiej jeden z nich jest liniową kombinacją

pozostałych. W przeciwnym wypadku mówimy,że wektory te są liniowo niezależne;

Wektory x1,x2....xk są liniowo zależne ⇔ gdy istnieje nie trywialna znikająca kombinacja liniowa tych wektorów;

Wektory są liniowo nie zależne ⇔ gdy jedna znikająca kombinacja liniowa tych wektorów jest kombinacją

trywialną.

Rząd macierzy: Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy tej macieży;

Rząd macierzy jest równy maksymalnemu stopniowi nie zerowych minorów wyjętych z macierzy A;

Przekształ.Ukł.Równ.: Tw.Cramera: Jeżeli A∈M_nxn, det A≠0,to układ AX=B jest ukł. Oznaczonym i jego rozwiązanie

Wyraża się wzorem: x_i=^{det A ( j )}/_{det A} , j=1,2,...n, A(j)=[ A¹A²....B....Aⁿ ];

Tw. Kroneckera,Capellego: Układ AX=B,A ∈ M _mxn,B należy R^m,x=[x1x2.....xn](to wszystko w kolumnie)

jest niesprzeczny rzA=rz~A; rzA=rz~A=n -ukł. Oznaczony, rzA=rz~A=k <n -ukł.nieoznaczony;

---