Rudolf Carnap - „Struktura przestrzeni”

Rudolf Carnap - „Struktura przestrzeni”

Postulat równoległych Euklidesa

Zagadnienie charakteru geometrii w fizyce jest bardzo istotne dla filozofii nauki, gdyż wiedzie do analizy systemu czasoprzestrzennego. Co więcej, dwa rodzaje geometrii: matematyczna i fizyczna, stanowią wzorce dwóch sposobów zdobywania wiedzy: apriorycznego i empirycznego.

Geometria matematyczna stanowiła jeden z najwcześniej rozwiniętych systemów matematycznych. Jednym z podstawowych aksjomatów geometrii euklidesowej był aksjomat o równoległych:

Na każdej płaszczyźnie, na której istnieje prosta L oraz punkt P, który nie należy do L, istnieje dokładnie jedna prosta L', która przechodzi przez P i jest równoległa do L.

Wokół tego aksjomatu rozpoczęły się debaty: czy można nazwać go aksjomatem, skoro nie wydaje się tak prosty jak pozostałe aksjomaty Euklidesa. Wielu matematyków uznało, że jest to twierdzenie wyprowadzane z innych aksjomatów.

Immanuel Kant uważał, że władza wyobraźni, nazwana później intuicją, jest niezawodna. Jeżeli prawdę geometryczną ujrzeliśmy jasno w umyśle, to widzieliśmy ją z absolutną pewnością. Kantyści tak właśnie interpretowali aksjomat Euklidesa o równoległych.

Wielu matematyków uznało, że udało się im wyprowadzić ten „aksjomat” z innych aksjomatów - popełniali oczywiście błędy, ale były one trudne do wykrycia. Działo się tak, gdyż w pewnym momencie wywodu pojawiało się lepiej lub gorzej ukryte odwołanie do wyobraźni. Metody odróżniania czysto logicznego wywodu od wywodu wprowadzającego pozalogiczne składniki, bazujące na intuicji, zaczęła być znana dopiero w drugiej połowie XIX wieku, dzięki rozwojowi logii systematycznej. Przed powstaniem współczesnej logiki nie istniał żaden system logiczny zawierający reguły odpowiednie, by radzić sobie z geometrią (logika tradycyjna zajmowała się tylko predykatami jednoargumentowymi, podczas gdy geometria opiera się na relacjach zachodzących pomiędzy wieloma argumentami). Logika współczesna zdemaskowała ukryte, intuicyjne przesłanki w wyżej wymienionych dowodach. Okazało się, że te przesłanki są niczym innym, jak tylko zamaskowanym aksjomatem o równoległych. Dopiero w XIX wieku, dzięki rygorystycznej logice, pokazano, że aksjomat o równoległych jest niezależny od pozostałych aksjomatów Euklidesa.

Badanie konsekwencji tego odkrycia doprowadziło do postępu w matematyce XIX wieku: jeżeli aksjomat o równoległych jest niezależny od pozostałych aksjomatów Euklidesa, to można zastąpić go niekompatybilnym z nim zdaniem, nie powodując jednocześnie sprzeczności z pozostałymi aksjomatami. Próbując różnych alternatyw, stworzono nowe systemy aksjomatyczne - geometrie nieeuklidesowe.

Geometrie nieeuklidesowe

W poszukiwaniu nowego aksjomatu można wybrać jeden z dwóch kierunków:

Przez dowolny punkt na płaszczyźnie, nie należący do danej prostej, przechodzi nieskończona ilość prostych równoległych do danej (Łobaczewski).

Przez dowolny punkt na płaszczyźnie, nie należący do danej prostej, nie przechodzi ani jedna prosta równoległa do danej (Riemann).

Geometrię Łobaczewskiego nazywa się technicznie geometrią hiperboliczną. Istnieje w niej nieskończona liczba równoległych. W geometrii Riemanna, geometrii eliptycznej, proste równoległe nie istnieją. Taki system geometryczny można sobie wyobrazić, podając przykład sfery - dwa „południki” są prostopadłe do „równika” - powinny być więc w stosunku do siebie równoległe. A jednak przecinają się na „biegunach”.

Dalej, w geometrii euklidesowej suma kątów w trójkącie równa jest 180 stopni. W geometrii Łobaczewskiego suma kątów w trójkącie wynosi mniej, a w geometrii Riemanna - więcej od 180 stopni. W geometrii eliptycznej odchylenie od 180 stopni łatwo zrozumieć na przykładzie sfery. Dwa kąty leżące przy podstawie („równiku) trójkąta, którego wierzchołkami są: miejsca przecięcie „południków” z „równikiem” oraz biegun, mają po 90 stopni. Suma wszystkich kątów musi więc przekroczyć 180 stopni.

Pytanie o to, czy przestrzeń jest Euklidesowa, postawił w XIX wieku Gauss. Jednakże jego współczesnym każda próba empirycznego badania twierdzeń geometrycznych wydawała się niedorzeczna. Sądzili za Kantem, że ludzka intuicja nie popełnia geometrycznych pomyłek.

Należy uważać, by nie przekroczyć granicy analogii pomiędzy płaszczyzną Riemannowską a powierzchnią sfery. Dwie dowolne proste na płaszczyźnie Riemanna posiadają tylko jeden punkt wspólny, podczas, gdy odpowiadające im proste na sferze posiadają dwa takie punkty. Model sferyczny odpowiada płaszczyźnie Riemannowskiej tylko wtedy, gdy ograniczamy się do części powierzchni sfery, która nie zawiera punktów naprzeciwległych (jak bieguny). Jeżeli naszym modelem jest sfera, to trzeba założyć, że każdy punkt przestrzeni Riemannowskiej jest reprezentowany na powierzchni sfery przez parę naprzeciwległych punktów.

Z pomocą modelu sferycznego widzimy, że w przestrzeni Riemannowskiej stosunek obwodu koła do jego średnicy jest zawsze mniejszy niż π. W przestrzeni Łobaczewskiego jest wprost odwrotnie.

Wszystkie powierzchnie, tak euklidesowe, jak i nieeuklidesowe, mają w każdym ze swoich punktów pewną miarę, zwaną „miarą krzywizny”. Geometria Łobaczewskiego charakteryzuje się tym, że w dowolnym punkcie dowolnej płaszczyzny miara krzywizny przestrzeni jest ujemna i stała. Istnieje nieskończona liczba różnych geometrii Łobaczewskiego. Każdą cechuje ustalony parametr - liczna ujemna - który jest miarą krzywizny przestrzeni w tej geometrii. Dla każdej przestrzeni Riemannowskiej istnieje pewna wartość dodatnia, która jest miarą krzywizny w dowolnym punkcie dowolnej płaszczyzny w tej przestrzeni. Poprzez dobór różnych wartości promienia krzywizny k (dla przestrzeni Riemannowskiej, k>0, dla przestrzeni Łobaczewskiego, k<0, dla przestrzeni euklidesowej, k=0) otrzymuje się różne przestrzenie.

Fakt, że Einstein zastosował geometrię nieeuklidesową w ogólnej teorii względności, przeniósł tę dyscyplinę z czystej matematyki w dziedzinę fizyki, gdzie stała się ona opisem rzeczywistego świata.

Poincaré kontra Einstein

Henri Poincaré poświęcił wiele uwagi problemowi geometrycznej struktury przestrzeni. Postawił następujące pytanie: Jeżeli fizycy odkryją, że struktura rzeczywistej przestrzeni rzeczywiście różni się od geometrii euklidesowej, staną przed wyborem jednej z dwóch możliwości:

mogliby zaakceptować geometrię nieeuklidesową jako opis przestrzeni fizycznej;

lub przyjąć nowe prawa, w których stwierdza się, że wszystkie ciała stałe podlegają kontrakcjom oraz dylatacjom, i zachować geometrię euklidesową;

Przy wyborze drugiej z opcji, należałoby wprowadzić nowe prawa w optyce, gdyż fizyczną geometrię badamy także za pomocą promieni świetlnych. Poincaré przewidywał, że fizycy zawsze wybraliby tę właśnie możliwość - woleliby zachować prostszą geometrię euklidesową. Jednak już kilka lat później Einstein opracował ogólną teorię względności, w której zastosował geometrię nieeuklidesową.

Stosując zwykłe procedury pomiarowe można by dojść do konkluzji, że przestrzeń ma nieeuklidesową strukturę.

Jeśli odkryjemy empiryczne świadectwa nieeuklidesowości przestrzeni, to możemy zachować geometrię euklidesową, o ile jesteśmy skłonni wprowadzić do praw rządzących zachowaniem ciał stałych oraz promieni świetlnych pewne komplikacje. Mając do czynienia z przestrzenią naszego wszechświata, bezsensowne jest pytanie, czy przestrzeń jest nieeuklidesowa lub czy należy zmodyfikować nasze prawa, by zachować geometrię euklidesową. Te dwie teorie są po prostu dwoma opisami tych samych faktów - są obserwacyjnie równoważne.