SPRAWOZDANIE

z laboratorium z Fizyki

Izabela CIEPAŁ

Monika PĘCIKIEWICZ

Wydział:

Budownictwo, semestr 2, grupa 1, sekcja 3

Temat:

Wahadło matematyczne.

I. Część teoretyczna.

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici, umieszczony w polu siły ciężkości . Układ taki nie istnieje w rzeczywistości, ale przybliżonym modelem wahadła matematycznego może być ciężkie ciało zawieszone na lekkiej nici, której długość jest znacznie większa od wymiarów tego ciała .

Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona możemy zapisać równanie ruchu w postaci:

Dla małych wychyleń (sin a ~ a ⇒ s=a*l) równanie przyjmuje postać równania harmonicznego:

Okres wahań wahadła możemy zapisać w postaci wyrażenia:

Oznacza to, że dla małych wychyleń okres wahań nie zależy od amplitudy.

Jednak wzór ten to tylko przybliżenie równania, które jest jednak kłopotliwe w analizowaniu.

Celem naszego ćwiczenia jest sprawdzenie właśnie tego przybliżonego wzoru na okres wahań wahadła matematycznego dla małych wychyleń.

II. Stanowisko pomiarowe.

Wahadło matematyczne jest konstrukcją idealną, złożoną z punktu materialnego oraz nieskończenie długiej, nieważkiej nici. Dla doświadczenia zbudowano model składający się z ciężarka o niewielkich wymiarach, pomijalnie małych w stosunku do cienkiej i lekkiej nici, na której jest zawieszony ciężarek. Taka realizacja wystarczająco dobrze naśladuje stan idealny. Pomiarów dokonujemy za pomocą: linijki (długość wahadła), kątomierza (wychylenie ciężarka z punktu równowagi) oraz cyfrowego stopera wraz z fotokomórką (do mierzenia okresu ruchu wahadła).

III. Przebieg ćwiczenia.

Po ustaleniu minimalnej długości wahadła (30 cm), odczytano okresy drgań dla wychyleń co 5° począwszy od 5°, a kończąc na 45°. Następnie zwiększano długość wahadła o 10 cm, aż do 140 cm, mierząc tylko okresy
dla wychyleń 5°.

IV. Opracowanie i analiza wyników pomiarów.

Zależność okresu wahadła od długości wahadła

Seria pomiarów wykonanych dla małych amplitud ( 5° ) sugeruje liniowy wzrost wartości okresu ruchu zgodnie ze wzorem:

Obliczone metodą regresji liniowej współczynniki prostej (na komputerze laboratoryjnym):

a = 1,943 * 0,036

b = 0,045 * 0,032

pozwalają wykreślić prostą dość dokładnie ilustrującą zależność między okresem ruchu wahadła, a jego długością. Wykres 1 obrazuje tą zależność. A więc potwierdza się fakt liniowej zależności tych wielkości dla niedużych amplitud.

Otrzymawszy wartości charakteryzujące zależność okresu ruchu od długości wahadła można określić wartość przyspieszenia ziemskiego:

Aby uprościć powyższy wzór, można przyjąć b = 0, przyspieszenie g będzie niezależne od długości l :

Błąd przyspieszenia ziemskiego wyznaczamy ze wzoru:

Przyspieszenie ziemskie przyjmuje następującą wartość:

g = 10,457 * 0,387 [m/s²]

po zaokrągleniu:

g = 10,46 * 0,4 [m/s²]

Zależność okresu wahadła od amplitudy wychyleń

Na wykresie 2, okres drgań wahadła zależy od amplitudy wychyleń.
Im amplituda jest większa tym większy jest okres wahadła. Możemy też zauważyć, że dla większych amplitud zmiany okresu są dużo większe niż dla małych (przy przejściu z 40 na 45 zmiana okresu wynosi 1,3*10^-2[s] natomiast przy przejściu z 5 na 10 tylko 10^-3[s]). Obserwacje potwierdzają wzór na okres wahadła:

IV. Wnioski i uwagi.

Uzyskane wyniki pomiarów wyznaczania przyspieszenia ziemskiego odbyło się z dość dużą dokładnością. Różnica wartości tablicowej i otrzymanej uzyskanego przyspieszenia ziemskiego jest mniejsza od potrojonego błędu uzyskanego przyspieszenia. Wpływ na końcowy wynik miały przede wszystkim pomiary długości nici dokonywane z dokładnością 0,4 cm, ponieważ nie wiadomo, gdzie znajduje się środek ciężkości ciężarka o wysokości 0,8 cm. Wykorzystywana w doświadczeniu nić była trochę rozciągliwa, co czasami zmieniało długość wahadła. Dużą trudność stanowiło również poprawne odczytanie kąta wychylenia wahadła. Przyjęto, że kąt odczytywano z błędem 0,5.

---