SPRAWOZDANIE
z laboratorium z Fizyki
Flakus Piotr, Korniak Mateusz
Wydział:
AEiI, semestr 2, grupa 1, sekcja 9
Temat:
Wahadło matematyczne.
I. Częœć teoretyczna.
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozcišgliwej nici, umieszczony w polu siły ciężkoœci . Układ taki nie istnieje w rzeczywistoœci, ale przybliżonym modelem wahadła matematycznego może być ciężkie ciało zawieszone na lekkiej nici, której długoœć jest znacznie większa od wymiarów tego ciała .
Korzystajšc z drugiej zasady dynamiki Newtona możemy zapisać równanie ruchu w postaci:
Dla małych wychyleń (sin a ~ a ! s=a*l) równanie przyjmuje postać równania harmonicznego:
Okres wahań wahadła możemy zapisać w postaci wyrażenia:
Oznacza to, że dla małych wychyleń okres wahań nie zależy od amplitudy.
Jednak wzór ten to tylko przybliżenie równania, które jest jednak kłopotliwe w analizowaniu.
Celem naszego ćwiczenia jest sprawdzenie właœnie tego przybliżonego wzoru na okres wahań wahadła matematycznego dla małych wychyleń.
II. Stanowisko pomiarowe.
Wahadło matematyczne jest konstrukcjš idealnš, złożonš z punktu materialnego oraz nieskończenie długiej, nieważkiej nici. Dla doœwiadczenia zbudowano model składajšcy się z ciężarka o niewielkich wymiarach, pomijalnie małych w stosunku do cienkiej i lekkiej nici, na której jest zawieszony ciężarek. Taka realizacja wystarczajšco dobrze naœladuje stan idealny. Pomiarów dokonujemy za pomocš: linijki (długoœć wahadła), kštomierza (wychylenie ciężarka z punktu równowagi) oraz cyfrowego stopera wraz z fotokomórkš (do mierzenia okresu ruchu wahadła).
III. Przebieg ćwiczenia.
Po ustaleniu minimalnej długoœci wahadła (30 cm), odczytano okresy drgań dla wychyleń co 5° poczšwszy od 5°, a kończšc na 45°. Następnie zwiększano długoœć wahadła o 10 cm, aż do 140 cm, mierzšc tylko okresy
dla wychyleń 5°.
IV. Opracowanie i analiza wyników pomiarów.
Zależnoœć okresu wahadła od długoœci wahadła
Seria pomiarów wykonanych dla małych amplitud ( 5° ) sugeruje liniowy wzrost wartoœci okresu ruchu zgodnie ze wzorem:
Obliczone metodš regresji liniowej współczynniki prostej (na komputerze laboratoryjnym):
a = 1,9920 0,0062
b = 0,0090 0,0057
pozwalajš wykreœlić prostš doœć dokładnie ilustrujšcš zależnoœć między okresem ruchu wahadła, a jego długoœciš. Wykres 1 obrazuje tš zależnoœć. A więc potwierdza się fakt liniowej zależnoœci tych wielkoœci dla niedużych amplitud.
Otrzymawszy wartoœci charakteryzujšce zależnoœć okresu ruchu od długoœci wahadła można okreœlić wartoœć przyspieszenia ziemskiego:
Aby uproœcić powyższy wzór, można przyjšć b = 0, przyspieszenie g będzie niezależne od długoœci l :
Błšd przyspieszenia ziemskiego wyznaczamy ze wzoru:
Przyspieszenie ziemskie przyjmuje następujšcš wartoœć:
g = 9,949 0,06 [m/s2]
po zaokršgleniu:
g = 9,95 0,06 [m/s2]
Zależnoœć okresu wahadła od amplitudy wychyleń
Na wykresie 2, okres drgań wahadła zależy od amplitudy wychyleń.
Im amplituda jest większa tym większy jest okres wahadła. Możemy też zauważyć, że dla większych amplitud zmiany okresu sš dużo większe niż dla małych (przy przejœciu z 40 na 45 zmiana okresu wynosi 1,3*10-2[s] natomiast przy przejœciu z 5 na 10 tylko 10-3[s]). Obserwacje potwierdzajš wzór na okres wahadła:
IV. Wnioski i uwagi.
Uzyskane wyniki pomiarów wyznaczania przyspieszenia ziemskiego odbyło się z doœć dużš dokładnoœciš. Różnica wartoœci tablicowej i otrzymanej uzyskanego przyspieszenia ziemskiego jest mniejsza od potrojonego błędu uzyskanego przyspieszenia. Wpływ na końcowy wynik miały przede wszystkim pomiary długoœci nici dokonywane z dokładnoœciš 0,4 cm, ponieważ nie wiadomo, gdzie znajduje się œrodek ciężkoœci ciężarka o wysokoœci 0,8 cm. Wykorzystywana w doœwiadczeniu nić była trochę rozcišgliwa, co czasami zmieniało długoœć wahadła. Dużš trudnoœć stanowiło również poprawne odczytanie kšta wychylenia wahadła. Przyjęto, że kšt odczytywano z błędem 0,5.