2. LISTA ZADAŃ ZE STATYSTYKI. WSB OPOLE. TRYB NIESTACJONARNY.

1. Dany jest uporządkowany zbiór wartości zmiennej:

X= {21, 35, 49, 63, 77, 91}.

oraz hipotetyczne wartości średniej tej zmiennej: 15, 20, 25, 40, 56, 60, 100, 105.

a) Które z hipotetycznych wartości średniej należy od razu (bez liczenia) wykluczyć?

b) Która z podanych wartości jest właściwa?

2. Wskazać, o ile to możliwe, średnią arytmetyczną, jeśli wiadomo, że została wyznaczona z populacji N-elementowej i jest nią jedna z pięciu liczb: 8, 9, 10, 11 i 12, a ponadto zachodzą następujące równania:

3. Piętnastoosobowa grupa studencka pisała pracę kontrolną z matematyki.
   A oto wyniki sprawdzianu: 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5.

1. Obliczyć średnią ocenę ze sprawdzianu.

2. Wyznaczyć dominantę, medianę i kwartyle.

3. Obliczyć % studentów, którzy:

- nie zdali egzaminu,

- zdali na 3,

- zdali na 4,

- zdali na 5,

- zdali, co najmniej na 3,

- zdali, co najmniej na 4.

4. Która z miar przeciętnych najlepiej charakteryzuje następujący zbiór danych:

{1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 100}?

Wyznaczyć wartość tej miary.

5. Która z miar przeciętnych najlepiej opisuje poniższy zbiór danych:

{2, 4, 10, 12, 14, 14, 18, 20, 22, 24, 25}?

Wyznaczyć wartość tej miary.

6. W pewnej małej firmie zarobki 3 zatrudnionych pracowników kształtowały się na poziomie 5 tys. zł miesięcznie. Księgowa i kierownik otrzymywali po 10 tys. zł, a właściciel wypłacał sobie pensję w wysokości 60 tys. zł.

1. Obliczyć średnią arytmetyczną zarobków wszystkich pracowników.

2. Wyznaczyć dominantę i medianę zarobków.

3. W następnym roku właściciel firmy utrzymał płace pracowników na tym samym poziomie a swoją pensję podniósł do 120 tys. zł. Jak ta zmiana wpływa na średnią arytmetyczną, a jak na medianę?

7. Gęstość zaludnienia trzech miast o powierzchni 100 km², 200 km² i 300 km² wynosi odpowiednio:

100 osób/km², 200 osób/km² i 300 osób/km². Obliczyć:

a) średnią liczbę ludności,

b) średnią powierzchnię,

c) średnią gęstość zaludnienia,

tych miast.

8. Przeciętny kurs akcji spółki „AGA” z ostatnich 15 sesji giełdowych wynosił 200 zł. Na kolejnych 5 sesjach kurs akcji tej spółki ulegał zmianom i wynosił (w zł): 225, 245, 250, 225, 215. Wyznaczyć przeciętny kurs akcji tej spółki z ostatnich 20 sesji.

9. Gęstość zaludnienia w trzech stutysięcznych miastach wynosiła: w pierwszym 1000 osób/km², a w drugim i trzecim 2000 osób/km². Ile wynosiła średnia gęstość zaludnienia w tych trzech miastach?

10. Gęstość zaludnienia w mieście 60 tys. wynosi 1000 osób/km², w mieści 40 tys. - 500 osób/km², a w 120 tys. - 1500 osób/km². Ile wynosiła średnia gęstość zaludnienia w tych trzech miastach?

11. Temperaturę powietrza w styczniu przedstawiono w tabeli:

Liczba dni	10	8	6	4	3
Temperatura (w ^oC)	-4	-10	-14	-7	+2

Jaka była mediana, a jaka średnia temperatura w styczniu?

12. W grupie 200 słuchaczy studium podyplomowego przeprowadzono badanie liczby papierosów wypalanych dziennie. Na podstawie danych:

Liczba wypalanych papierosów	0	5	10	15	20	25	30
Liczba słuchaczy	10	20	40	60	40	20	10

a) obliczyć średnią arytmetyczną, medianę i dominantę liczby wypalanych papierosów,

b) określić przedział zmienności liczby wypalanych papierosów.

13. Zakład obuwniczy składa się z trzech wydziałów produkujących różny asortyment obuwia. Element wadliwie wytworzony jest kwalifikowany przez brakarzy jako brak. Przeciętne odsetki braków na poszczególnych wydziałach kształtują się odpowiednio: 4, 2 i 4 procent. Dzienna produkcja wydziału I wynosi 500 par, wydziału II - 400 par obuwia. Nie posiadamy informacji o dziennej produkcji wydziału III, wiadomo jednak, że średni odsetek braków w całym zakładzie ukształtował się na poziomie 3,5%. Należy uzupełnić informację o wielkości produkcji wydziału III.

14. Podczas jednej z sesji giełdowych portfel akcji w skład którego wchodzą akcje 5 spółek charakteryzował się tym, że: kurs akcji pierwszej spółki był niższy od średniego kursu portfela o 80 zł, kurs akcji drugiej spółki był niższy od średniego kursu portfela o 220 zł, kursy akcji trzeciej i czwartej spółki były wyższe od średniego kursu portfela odpowiednio o 180 zł i 250 zł. O ile różnił się kurs akcji piątej spółki od średniego kursu portfela podczas tej sesji?

15. Wskazać średnią arytmetyczną, jeśli wiadomo, że została wyznaczona z populacji N-elementowej i jest nią jedna z liczb: 6, 8 lub 9. Ponadto prawdziwe są następujące równania:




16. Pewnego dnia dostarczono do punktu skupu 60 tuczników o średniej wadze 132,5 kg oraz 60 sztuk bydła o przeciętnej wadze 367,5 kg. Celem dostarczenia zwierząt do uboju zamówiono wcześniej środki transportu o łącznej ładowności 25 t. Czy wystarczą one do przewiezienia zakupionego żywca, czy też należy powiększyć liczbę środków transportowych?

17. Liczbę strzelonych goli w jednym meczu w ciągu rundy rozgrywek wiosennych I ligi piłkarskiej w Polsce w 2007 roku przedstawia poniższa tabela:

Liczba goli w meczu	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Liczba meczów ( ni )	12	12	25	9	3	2	1	1	1

1. Obliczyć przeciętną liczbę goli przypadającą na 1 mecz w rundzie wiosennej 2007 roku.

2. Wskazać dominantę, medianę i kwartale.

3. Ocenić stopień zróżnicowania strzelonych bramek w tej rundzie rozgrywek.

4. Wyznaczyć typowy przedział zmienności liczby strzelonych bramek.

5. Wyznaczyć typowy przedział zmienności, jeśli nie uwzględnimy skrajnych liczb strzelonych goli.

6. Określić siłę i kierunek asymetrii.

18. W firmie pracuje 25 osób. Zapytane o wysokość miesięcznych zarobków odpowiedziały w sposób być może trochę wykrętny, ale dla statystyka zrozumiały. Cztery z nich zarabiają nie więcej niż 400 zł, osiem zarabia nie więcej niż 800 zł, piętnaście otrzymuje nie więcej niż 1200 zł oraz dwadzieścia jeden dostaje nie więcej niż 1600 zł. Pozostałe osoby stanowią ścisłe kierownictwo firmy, jednak
    żadna z nich nie zarabia więcej niż 3000 zł. Jaka jest wysokość przeciętnej płacy miesięcznej w tej firmie?

19. Dzienne obroty sklepów spożywczych przedstawia poniższa tabela:

Obroty sklepów spożywczych (w tys. zł)	Liczba sklepów
10 - 30 30 - 50 50 - 70 70 - 90 90 - 110	4 20 49 18 9
Ogółem	100

Obliczyć:

1. średnią badanej cechy,

2. wartość dominującą badanej cechy,

3. procent sklepów, których obroty wynoszą 50 - 70 tys. zł,

4. procent sklepów, których obroty nie przekraczają 50 tys. zł,

5. obroty sklepów: 25-tego, 50-tego, 75-tego,

6. odchylenie przeciętne,

7. odchylenie standardowe,

8. typowy obszar zmienności,

9. względną miarę rozproszenia (klasyczny współczynnik zmienności),

10. siłę i kierunek asymetrii oraz naszkicować przybliżony kształt krzywej liczebności.

20. Liczbę wadliwie wyprodukowanych wyrobów w ciągu jednego dnia przedstawia tabela:

Liczba wadliwie wyprodukowanych wyrobów w ciągu dnia	Liczba pracowników
0 1 2 3 4 i więcej	10 40 30 20 13
Ogółem	113

A. Obliczyć:

1. średnią badanej cechy i uzasadnić jej wybór,

2. dominantę i medianę,

3. kwartyle.

B. Scharakteryzować rozproszenie badanej cechy.

C. Określić siłę i kierunek asymetrii.

21. Nowo powstała Wyższa Szkoła Biznesu zatrudnia: 30 magistrów, 20 doktorów, 5 doktorów habilitowanych i 5 profesorów. Szkoła płaci średnio miesięczne gaże w następujących wysokościach: magistrom 1600 zł, doktorom 2000 zł, doktorom habilitowanym 2400 zł i profesorom 4000 zł.

1. Ile wynosi średnie miesięczne uposażenie pracownika naukowego w Wyższej Szkole Biznesu?

2. Jaki jest stopień zróżnicowania płac pracowników tej szkoły?

22. Wynagrodzenie miesięczne brutto w pewnym przedsiębiorstwie kształtowało się następująco:

Płace (w zł)	1000-1200	1200-1400	1400-1600	1600 i więcej
Odsetek pracowników	26,50%	53,50%	14,90%	5,10%

Obliczyć dominantę i kwartyle oraz ocenić zróżnicowanie pracowników pod względem płac.

23. Trójskoczek Zstartował w ciągu sezonu letniego na sześciu zawodach uzyskując następujące wyniki: 16,05 m, 15,75 m, 16.20 m, 15,40 m, 16,40 m i 15,60 m. U schyłku sezonu odbędą się mistrzostwa okręgu. Według prognoz ekspertów do tytułu mistrzowskiego wystarczy wynik w granicach 16,30 m, do zajęcia drugiego miejsca 16,00 m, natomiast do zdobycia brązowego medalu 15,70 m. Do którego (których) z medali może, realnie oceniając wyniki, aspirować zawodnik Z?

24. Na III roku bankowości, złożonym z 20 studentów i 10 studentek, przeprowadzono test pisemny ze statystyki. Z testu można było uzyskać maksymalnie 100 punktów. A oto wyniki w obu podgrupach:

Studenci Studentki


₁ = 66
₂ = 60

Me₁ = 68 Me₂ = 58

D₁ = 70 D₂ = 58

S₁(x) = 14 S₂(x) = 10

1. Która podgrupa wypadła lepiej i dlaczego?

2. Wyznaczyć średnią uzyskanych punktów dla całego roku.

25. Czas oczekiwania na wizytę w poczekalni u internisty ilustruje poniższa tabela:

Czas oczekiwania w minutach	0 - 4	4 - 8	8 - 12	12 - 16	16 - 20
Liczba pacjentów	5	10	20	10	5

a) Wyznaczyć:
, D oraz Me. Znaleźć również Q₁, Q₃ oraz Q.

b) Określić s²(x), s(x) oraz współczynnik zmienności V_s.

c) Zapisać typowy przedział czasu oczekiwania na przyjęcie przez lekarza.

d) Zbadać symetrię rozkładu czasu oczekiwania w poczekalni u internisty.

26. Średnia wzrostu koszykarzy zespołu NBA „Chicago Bulls” wynosi 200 cm. Dominanta wzrostu koszykarzy wynosi 205 cm. Zróżnicowanie koszykarzy pod względem wzrostu wynosi 4% wzrostu średniego.

a) O ile średnio różni się wzrost każdego koszykarza od średniego wzrostu koszykarzy?

b) Czy sytuacja w drużynie jest korzystna, jeśli chodzi o wzrost koszykarzy?

27. Pracowników pewnego przedsiębiorstwa zbadano ze względu na średni staż pracy na zajmowanym stanowisku (w latach) i wysokość miesięcznych zarobków (w zł). Otrzymano następujące dane:

1. średni staż pracy wynosił 2 lata, odchylenie standardowe 0,5 roku,

2. średni miesięczny zarobek wynosił 2800 zł, odchylenie standardowe 200 zł.

Ze względu, na którą badaną cechę pracownicy byli mniej zróżnicowani?

28. W pewnym przedsiębiorstwie płace kształtowały się następująco: średnia płaca wy­nosiła 2050 zł, połowa osób miała płacę wyższą niż 2050 zł. Różnica między średnią aryt­metyczną a dominantą wynosiła 75 zł, a odchylenie standardowe 150 zł. Obliczyć współczynnik skośności, sporządzić schematyczny wykres i zaznaczyć na nim te parametry, których położenie jest bezsporne.

29. W zakładzie A odchylenie standardowe płac wyniosło 400 zł, a względna dy­spersja 20%, w zakładzie B odchylenie standardowe płac wynosiło 400 zł, względna dys­persja zaś 15%. Dominująca płaca w zakładzie A wynosiła 2 400 zł, a w zakładzie B 2 500 zł. Co można powiedzieć o kierunku i sile asymetrii płac w obu zakładach? Sporządzić sche­matyczne wykresy rozkładu.

30. W pewnej prywatnej firmie wypłacono miesięczne premie uznaniowe wg następującego klucza: 10% ogółu zatrudnionych pracowników otrzymało po 200 zł, 60% dostało po 300 zł, 20% po 400 zł i 10% po 500 zł. Obliczyć średnią premię przypadającą na jednego zatrudnionego w firmie.

---