Sprawozdanie do ćw. 6

Elementy RLC w obwodach prądu zmiennego.

Ćwiczenie wykonali (I4b/2), dnia 04.11.2005:

Natalia Bartol

Kamil Serwus

jakub Staszak

1. Cel ćwiczenia:

Analiza zachowania się elementów rezystancyjnych, indukcyjnych i pojemnościowych w obwodach prądu zmiennego. Badanie wpływu zmian częstotliwości wymuszenia na elementy reaktancyjne oraz sprawdzenie praw Kirchoffa dla obwodów prądu zmiennego.

1. Wyprowadzenie wzorów:

a)

Wiemy, że
oraz
. Zatem w wyniku podstawienia otrzymujemy:
. Dalej, wykorzystując
otrzymujemy równanie
. Wykorzystując poniższą tożsamość:
. Otrzymujemy równanie końcowe:
. gdzie U i I są liczbami zespolonymi.

b)

Wiemy, że
oraz
. Zatem w wyniku podstawienia otrzymujemy:
. Dalej, wykorzystując
otrzymujemy równanie
. Wykorzystując poniższą tożsamość:
. Otrzymujemy równanie końcowe:
,gdzie U i I są liczbami zespolonymi.

2. Schemat badanego układu: obwód szeregowy RLC

2.1. Opis elementów układu:

• Vin - źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego o wartości skutecznej U=5V, częstotliwość przyjęto raz 2kHz, a za drugim razem 4kHz

• R1 - opornik o rezystancji R = 1kΩ

• R2 - rezystor symbolizujący rezystancję cewki w układzie R = 54 Ω (wyznaczona z pomiarów wykonanych przy użyciu miernika RLC)

• L1 - cewka indukcyjna o indukcyjności L = 33 mH

• C1 - kondensator o pojemności C = 100nF

2.2 Przebieg pomiarów:

f	Vin	UR	UL	UC
[kHz]	[V]	[V]	[V]	[V]
2,00	5,00	4,35	1,76	3,37
4,00	5,00	4,37	3,46	1,76

2.3. Analiza teoretyczna układu:

a) dla f = 2kHz

• Impedancja wypadkowa dla obwodu szeregowego:

Z_w = Z_R + Z_L + Z_C = R_R + R_L + jωL - j/(ωC)

Z_w = 1000 + 54 + j(2Л*2000)*0,033 - j/[(2Л*2000)*100*10^-9]

Z_w = 1054 + 414,48j - j/(1,256*10^-3 ) = 1054 + (414,48 - 1/(1,256*10^-3 ))j

Z_w =1054 - 381,69j [Ω]

Z_w = 1120 [Ω]

• Prąd w obwodzie:

I= V_in/ Z_W

I= [5/ (1054 - 381,69j )] * [(1054 + 381,69j )/ (1054 +381,69j )] =

I= (5270 + 1908,45j)/ (1110916 + 145687,26) = (5270 + 1908,45j)/ 1256603,3 =

I= 4,19*10^-3 + 1,52*10^-3 j [A]

A= 4,19*10^-3, B= 1,52*10^-3, |F|= √(A² + B²) ,

φ= arctg (b/a) ,

φ= 19,94°,

I = 4,46*10^-3 *e^-j19,94° [A]

• Spadki napięć na poszczególnych elementach obwodu:

U_R = I* R = (4,19*10^-3 + 1,52*10^-3 j) * 1000 = 4,19 + 1,52j [V]

U_R = 4,46*10^-3 * 1000 = 4,46 [V]

U_RL = I* R_L = (4,19*10^-3 + 1,52*10^-3 j) * 54 = 226,26*10^-3 +82,08*10^-3 j [V]

U_RL = 0,24 [V]

U_L = I* Z_L = (4,19*10^-3 + 1,52*10^-3 j) * 414,48j = 1736,7 *10^-3j - 630*10^-3 [V]

U_L = 1,84 [V]

U_C = I* Z_C = (4,19*10^-3 + 1,52*10^-3 j)*[ - j/(1,256*10^-3 )]=

= (- 4,19*10^-3 j + 1,52*10^-3 )/ /(1,256*10^-3 ) = 1,21 - 3,34j [V]

U_C = 3,55 [V]

Suma: U_R + U_RL +U_L +U_C = 4,19 + 1,52j +0,226 + 0,082j- 0,63+1,736j+ 1,21 - 3,34j = 5V

• Sprawdzenie prawa Kirchoff'a dla napięć w oczku:

Napięciowe prawo Kirchoff'a: suma spadków napięć na wszystkich elementach obwodu jest równa napięciu wejściowemu V_{in .} W związku z rezystancją strat cewki, spadek napięcia na tym elemencie ma dwie składowe: reaktancyjną oraz rezystancyjną, z czego skorzystamy dokonując następującego przekształcenia:

Wiedząc, że obwód jest szeregowy, stwierdzamy, że natężenie prądu w nim jest stałe. W związku z tym wyznaczamy U_RL:
.

Podstawiamy powyższe równania do wzoru opisującego napięciowe praw Kirchoff'a:

Podstawiając wartości otrzymane w wyniku pomiarów, otrzymujemy wartość V_in = (4,67 - 1,881j) = 5,034 [V], co jest wynikiem poprawnym biorąc pod uwagę niedokładności pomiarowe.

• Określenie charakteru obwodu:

Przy częstotliwości 2kHz obwód RLC prądu zmiennego ma charakter pojemnościowy, ponieważ prąd wyprzedza napięcie.

• Wykres wskazowy:

b) dla f = 4kHz

• Impedancja wypadkowa dla obwodu szeregowego:

Z_w = Z_R + Z_L + Z_C = R_R + R_L + jωL - j/(ωC)

Z_w = 1000 + 54 + j(2Л*4000)*0,033 - j/[(2Л*4000)*100*10^-9]

Z_w = 1054 + 828,96j - j/(2,512*10^-3 ) = 1054 + (828,96- 1/(2,512*10^-3 ))j

Z_w =1054 +430,87j [Ω]

Z_w = 1138,67[Ω]

• Prąd w obwodzie:

I= V_in/ Z_W

I= [5/ (1054 +430,87j )] * [(1054 - 430,87j )/ (1054 - 430,87j )] =

I= (5270 - 2154,35j)/ (1110916 + 185648,96) = (5270 - 2154,35j)/ 1296565 =

I= 4,06*10^-3 - 1,66*10^-3 j [A]

φ= -22,24°,

I= 4,39 *10^-3 * e^-j22,14° [A]

• Spadki napięć na poszczególnych elementach obwodu:

U_R = I* R = (4,06*10^-3 - 1,66*10^-3 j) * 1000 = 4,06 - 1,52j [V]

U_R = 4,34[V]

U_RL = I* R_L = (4,06*10^-3 - 1,66*10^-3 j) * 54 = 219,24*10^-3 -89,64*10^-3 j [V]

U_RL = 0,24 [V]

U_L = I* Z_L = (4,06*10^-3 - 1,66*10^-3 j) * 828,96j = 3365,58 *10^-3j +1376,07*10^-3 [V]

U_L = 3,64 [V]

U_C = I* Z_C = (4,06*10^-3 - 1,66*10^-3 j)*[ - j/(2,512*10^-3 )]=

= (- 4,06*10^-3 j + 1,66*10^-3 ) /(2,512*10^-3) = -0,66 - 1,62j [V]

U_C = 1,75 [V]

Suma: U_R + U_RL +U_L +U_C =

=4,06 - 1,52j +219,24*10^-3 -89,64*10^-3 j +3365,58 *10^-3j +1376,07*10^-3 - 0,66 - 1,62j =

= 4,995V

• Sprawdzenie prawa Kirchoff'a dla napięć w oczku:

Podobnie, jak przy częstotliwości 4 kHz, wykorzystujemy zależność:

i podstawiając wartości otrzymane w wyniku pomiarów, otrzymujemy wartość

V_in = (4,53 + 2,08j) = 4,98[V] , która jest zbliżona do wartości 5V

• Określenie charakteru obwodu:

Przy częstotliwości 4kHz obwód RLC prądu zmiennego ma charakter pojemnościowy, ponieważ prąd wyprzedza napięcie.

• Wykres wskazowy:

3. Schemat badanego układu: obwód szeregowo-równoległy RLC

3.1. Opis elementów układu:

• Vin - źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego o wartości skutecznej U=5V, częstotliwość przyjęto raz 2kHz, a za drugim razem 4kHz

• R1 - opornik o rezystancji R = 1kΩ

• R2 - rezystor symbolizujący rezystancję cewki w układzie R = 54 Ω (wyznaczona z pomiarów wykonanych przy użyciu miernika RLC)

• L1 - cewka indukcyjna o indukcyjności L = 33 mH

• C1 - kondensator o pojemności C = 100nF

3.2 Przebieg pomiarów:

f	Vin	IR	IL	IC
[kHz]	[V]	[A]	[A]	[A]
2,00	5,00	4,59	2,04	3,62
4,00	5,00	4,51	3,91	1,98

3.3. Analiza teoretyczna układu:

a) dla f = 2kHz

• Impedancja wypadkowa dla obwodu szeregowo - równoległego:

Z_L = j(2Л*2000)*0,033 = 0,414j [kΩ]

Z_C = - j/(1,256*10^-3 ) = -0,796j [kΩ]

Z_R = 1 [kΩ]

Z_RL = 0,054 [kΩ]

Y_L = 1/(0,054+0,414j) = (0,054 - 0,414j)/0,175 = 0,31 - 2,37j [kS]

Y_C = 1/-0,796j= j/0,796 = 1,256 j [kS]

Y_r = Y_L + Y_C = 0,31 - 2,37j + 1,256j= 0,31 - 1,474j [kS]

Z_r = 1/ (0,31 - 1,474j) = (0,31 + 1,474j)/ 2,17 = 0,14 + 0,68j [kΩ]

Z_w = Z_r + R = 0,14 + 0,68j + 1 = 1,14 + 0,68j [kΩ]

• Prąd wypływający ze źródła:

I= V_in/ Z_W

I= 5/ (1,14 + 0,68j) = 5(1,14 - 0,68j)/ 1,76 = 3,25 - 1,95j

I = 3,79 * 10^-3 * e^-j30,96° [A]

φ= -30,96°

U_R = Z_R * I = 3,25 - 1,95j= 3,79 [V]

U_r = Z_r * I = (0,14 + 0,68j)*( 3,25 - 1,95j)= (1,781 +1,94j) [V]

I_L = Y_L * U_r = (0,31 - 2,37j) *(1,781 +1,94j)= (5,15 -3,62j) [mA]

I_C = Y_C * U_r = 1,256 j *(1,781 +1,94j) = (2,24j - 2,44) [mA]

I_C +I_L = I = (2,71 - 1,38j) [mA]

• Sprawdzenie prawa Kirchoff'a dla prądów w węźle `a'

Pierwsze prawo Kirchoff'a: algebraiczna suma prądów wchodzących i wychodzących z jednego węzła jest równa zero. W naszym przypadku (obwodu szeregowo-równoległego RLC) prądem wpływający nazwiemy prąd I_R, a prądami wypływającymi będą prądy I_L oraz I_C:

Wartości z pomiarów:

I_R=4,51 mA

I_L=3,9 mA

I_C=3,62 mA

4,59-2,04-3,62 = -1,07*10^-3 [A] ≈ 0

• Określenie charakteru obwodu:

Dla częstotliwości 2kHz prąd wyprzedza w fazie napięcie, co oznacza, ze obwód ma charakter pojemnościowy.

• Wykres wskazowy:

b) dla f = 4kHz

• Impedancja wypadkowa dla obwodu szeregowo - równoległego:

Z_L = j(2Л*4000)*0,033 = 0,828j [kΩ]

Z_C = - j/(2,512*10^-3 ) = -0,398j [kΩ]

Z_R = 1 [kΩ]

Z_RL = 0,054 [kΩ]

Y_L = 1/(0,054+0,828j) = (0,054 - 0,828j)/0,6885 = 0,078 - 1,21j [kS]

Y_C = 1/-0,398j= j/0,398 = 2,512 j [kS]

Y_r = Y_L + Y_C = 0,078 - 1,21j + 2,512 j = 0,078 + 1,3j [kS]

Z_r = 1/ (0,078 + 1,3j) = (0,078 - 1,3j)/ 2,17 = 0,035 - 0,6j [kΩ]

Z_w = Z_r + R = 0,035 - 0,6j + 1 = 1,035 - 0,6j [kΩ]

• Prąd wypływający ze źródła:

I= V_in/ Z_W

I= 5/ (1,035 - 0,6j) = 5(1,035 + 0,6j)/ 1,43 = 3,62 + 2,1j [mA]

I = 4,19 * 10^-3 * e^j30,12° [A]

φ= 30,12°

U_R = Z_R * I = 3,62 + 2,1j = 4,19 [V]

U_r = Z_r * I = (0,035 - 0,6j)*( 3,62 + 2,1j)= (1,387 -2,1j) [V]

I_L = Y_L * U_r = (0,078 - 1,21j) *(1,387 -2,1j)= (-2,43 -1,84j) [mA]

I_C = Y_C * U_r = 2,512 j *(1,387 -2,1j) = (5,27+3,48j) [mA]

I_C +I_L = I = (2,84 + 1,64j) [mA]

• Sprawdzenie prawa Kirchoff'a dla prądów w węźle `a'

I_R=4,51 mA

I_C=3,91 mA

I_L=1,98 mA

4,51 -3,91-1,98= -1,38*10^-3 [A] ≈ 0

• Określenie charakteru obwodu:

Przy częstotliwości 4kHz obwód RLC prądu zmiennego ma charakter indukcyjny, ponieważ napięcie wyprzedza prąd.

• Wykres wskazowy:

4. Znaczenie rezystancji strat w cewce:

Rezystancja ta ma w połączeniu szeregowym wpływ na wartość przesunięcia fazowego, ponieważ:
, czyli zwiększenie rezystancji cewki powoduje zmniejszenie bezwzględnej wartości kąta fazowego.

Przesunięcie fazowe ma wynosić 45 stopni:

Przesunięcie fazowe cewki jest równe 45°, gdy:

5. Wpływ częstotliwości na parametry elementów reaktancyjnych.

Wzór na reaktancję indukcyjności:

Wzór na reaktancję pojemności:

6. Wnioski:

• Gdy częstotliwość rośnie, reaktancja indukcyjna rośnie, a reaktancja pojemnościowa maleje,

• gdy częstotliwość maleje, reaktancja indukcyjna maleje, a reaktancja pojemnościowa rośnie,

• cewka ma niewielki wpływ na prąd w obwodzie przy niskich częstotliwościach, a duży przy wysokich częstotliwościach; odwrotnie jest w przypadku kondensatora.

Różnice między wynikami pomiarów, a obliczeniami są spowodowane błędem pomiarowym, wynikającym z niedoskonałości i oporów wewnętrznych mierników, oraz przewodów.

9

I

U_r

Poznań, 18.11.2005

U_r

φ

U_R

V_in

I_C

φ

U_R

V_in

I_C

I_L

φ

U_R

V_in

U_C

U_L

U_RL

U_RL

φ

U_R

V_in

U_C

U_L

I_L

I

---