Mechanika płynów to dział mechaniki ośrodków ciągłych zajmujący się płynami. Rozwiązaniem zagadnień mechaniki płynów zwykle jest określenie własności występujących w płynie takich jak prędkość, ciśnienie, gęstość i temperatura w zależności od współrzędnych przestrzennych i czasu. Do mechaniki płynów można zastosować kryteria podziału obowiązujące w mechanice ciał stałych.

Wyróżnia się, zatem:

a) kinematykę - zajmującą się badaniem ruchu ciał bez uwzględnienia sił występujących

podczas ruchu,

b) dynamikę - badającą stan spoczynku lub ruchu ciał, będącą wynikiem oddziaływania

sił na ciało. Częścią dynamiki, dotyczącą stanu spoczynku ciał, jest statyka.

Inny podział mechaniki płynów wynika z przyjętego modelu płynu, którego kryterium

są właściwości płynów. Uwzględniając spośród cech fizycznych płynów

ściśliwość lepkość, można wyodrębnić różne modele płynu. Mechanika płynu doskonałego

wykorzystuje model płynu nielepkiego i nieściśliwego, a mechanika płynu rzeczywistego

- model płynu lepkiego i ściśliwego. Model płynu lepkiego i nieściśliwego jest

zbliżony do właściwości cieczy, model płynu nielepkiego i ściśliwego odpowiada

natomiast warunkom przepływu gazu z dużymi prędkościami.

Różnica pomiędzy płynem doskonałym i rzeczywistym występuje tylko w ruchu,

a więc w kinematyce i w dynamice płynu. W zagadnieniach statyki równania równowagi w odniesieniu do płynu doskonałego i rzeczywistego są jednakowe.

Pojęciem płynu obejmujemy zarówno ciecze, jak i gazy. Są to ciała, które maja wspólna cechę niezdolności utrzymania kształtu, a więc wielką łatwość zmiany wzajemnego położenia poszczególnych elementów płynu w obrębie jego rozpatrywanej masy. Cecha ta odróżnia płyny od ciał stałych, które mogą zmieniać swój kształt jedynie pod działaniem dużych sił zewnętrznych.

Ciecze różnią się od gazów tym, że nie przejawiają tendencji, do nieograniczonego

rozszerzania się; mają zatem samoistną objętość, nieznacznie zmieniającą się

pod wpływem sił zewnętrznych, charakteryzują się więc sprężystością objętościową.

Ciecze nie mają określonego kształtu, lecz przyjmują kształt naczynia, do którego zostały wlane. Ciecze są bardzo mało ściśliwe, gazy natomiast odznaczają się dużą

ściśliwością i w zwykłych warunkach zajmują całą przestrzeń, w której się znajdują. Ciśnienie w gazie rozchodzi się we wszystkich kierunkach jednakowo (Prawo Pascala).

Czasami można również i gazy uważać za płyny nieściśliwe, a mianowicie podczas przepływów gazów z małymi i umiarkowanymi prędkościami w stosunku do prędkości dźwięku. W tym przypadku zachodzą niewielkie zmiany ciśnień w odniesieniu do średniej wartości, zmiany zaś objętości, a zatem i gęstości, są tak małe, że zwykle się je pomija.

Zawsze, kiedy nie występuje swobodna powierzchnia cieczy i można nie uwzględniać ściśliwości gazu, równania mechaniki płynów rządzące ich ruchem i równowagą są te same dla cieczy i gazów.

W mechanice płynów, podobnie jak w mechanice ciała stałego, płyn rzeczywisty

zastępuje się modelem teoretycznym. Przez nieuwzględnianie struktury

cząsteczkowej i nieuporządkowanych ruchów cząsteczek przyjmuje się, że model teoretyczny płynu jest ośrodkiem ciągłym (continuum). Rozumie się przez to, że płyn ten jest materią

ciągłą, wypełniającą przestrzeń w sposób doskonale ciągły. Założenie ciągłości

wprowadza jednak pewne ograniczenia dotyczące najmniejszej masy płynu w której obowiązują ogólne prawa mechaniki. Najmniejsza objętość musi być dostatecznie wielka w stosunku do długości swobodnych dróg międzycząsteczkowych, a równocześnie dużo mniejsza w stosunku do wymiarów liniowych ciał stałych ograniczających rozpatrywaną masę płynu lub poruszających się w płynie. Objętość ta będzie nazywana elementem płynu.

Istnieje zasadnicza różnica w działaniu sił na powierzchnię płynu i ciała stałego.

Siła działająca na powierzchnię ciała stałego może mieć dowolny kierunek, natomiast dla nieruchomego płynu siła powierzchniowa musi być zawsze prostopadła do jego powierzchni. Jakakolwiek nieznikająca składowa styczna siły przyłożonej do powierzchni płynu powodowałaby ślizganie się warstw płynu po sobie, a w konsekwencji zmianę kształtu lub płynięcie.

Siły działające na płyn wygodnie jest opisywać za pomocą ciśnienia, zdefiniowanego jako wartość siły prostopadłej działającej na element powierzchni płynu:

Ciśnienie jest wielkością skalarną. W układzie SI jednostka ciśnienia jest paskal (Pa) - jest to ciśnienie wywierane przez siłę 1N działającą prostopadle na powierzchnię 1 m² (1Pa=1N/m²).

Ciśnienie hydrostatyczne ( p_h ) zależy od gęstości cieczy (
_c ) i głębokości zanurzenia (h) względem powierzchni swobodnej cieczy, zgodnie ze wzrostem w postaci :

p_h =

Jeżeli ciśnienie zewnętrzne (p_z) działa na powierzchnie swobodną cieczy, np. ciśnienie atmosferyczne, wtedy ciśnienie całkowite (p_c) na głębokości (h) mierzonej do swobodnej cieczy jest zawsze wyrażone wzorem:

P_c = p_z +

Wyznaczenie ciśnienia aerostatycznego (p_a) jest bardziej złożone ze względu na zmiany gęstości gazu zależne od wysokości nad powierzchnią ziemi.

Zakładając jednakową temperaturę powietrza, można podać wzór na p_a panujące na wysokości nad ziemią, w postaci:

p_a =

Inną wielkością fizyczną charakteryzującą własności płynów jest ich gęstość. Dla płynów jednorodnych gęstość zdefiniowana jest jako masa płynu podzielona przez objętość (jednostką jest kg/m³ lub g/cm³). Gęstość płynu może zależeć od szeregu czynników takich jak temperatura czy ciśnienie. Dla cieczy, nawet przy stosunkowo dużych zmianach ciśnienia i temperatury, gęstość zmienia się nieznacznie, dlatego określamy je mianem płynów nieściśliwych. Gęstość gazów, natomiast, jest bardzo czuła na zmiany ciśnienia i temperatury.

=

Opór aerodynamiczny:

To składowa siły powstająca podczas ruchu ciała w płynie (w szczególności w powietrzu) przyłożona do tego ciała, równoległa do kierunku ruchu względnego tego ciała w płynie. Opór aerodynamiczny jest wypadkową siła wynikającą z nierównomiernego rozkładu ciśnienia na powierzchni ciała oraz z istnienia sił statycznych (tarcia) do tej powierzchni które są wynikiem lepkości.

Opływ płynu wokół ciała powoduje zmiany rozkładu ciśnienia. W uproszczeniu powstaje nadciśnienie na powierzchni natarcia i podciśnienie na stronie przeciwnej.

Ogólnie siłę oporu w dowolnym przypadku oblicza się z zależności:

Gdzie:

- siła oporu- jest skierowana przeciwnie do prędkości ciała względem płynu

- współczynnik siły oporu

- powierzchnia jaka jest wystawiona w kierunku przepływu

- ciśnienie dynamiczne

- prędkość ciała względem płynu

- gęstość płynu

Opór hydrodynamiczny - w zilustrowaniu oporu hydrodynamicznego pomoże nam jedno z praw. W tym wypadku skorzystamy z prawa Hagena - Poiseuille'a.

Prawo Hagena-Poiseuille'a określa zależność pomiędzy strumieniem objętości cieczy a jej lepkością, różnicą ciśnień
powodującą przepływ, oraz wielkościami geometrycznymi naczynia. Prawo to formułuje się przy następujących założeniach :

-ciecz jest nieściśliwa

-ciecz nie jest lepka

-przepływ jest laminarny

-ściany naczyń muszą być sztywne

Wówczas prawo Hagena-Poiseuille'a ma postać:

Gdzie:
- strumień objętości cieczy przepływającej przez przewód naczyniowy pod wpływem
.

Przepływ to opis ruchu płynu, podstawowe pojęcie z zakresu kinematyki płynów. W ujęciu ogólnym przepływ można scharakteryzować tzw. metodą Eulera przez podanie pola prędkości płynu, czyli zależności prędkości od współrzędnych przestrzennych i czasu

Rozważmy na początku pewne ogólne parametry charakteryzujące ruch (przepływ) płynów:

1. Przepływ może być ustalony (laminarny) lub nieustalony (turbulentny, burzliwy). Ruch płynu jest ustalony, jeśli w dowolnym punkcie przestrzeni prędkość płynu nie zależy od czasu. Warunki takie mogą być spełnione tylko przy niewielkich prędkościach przepływu. Dla każdego układu (przewodu, rury, koryta rzeki) można określić graniczną prędkość, powyżej której przepływ będzie zawsze turbulentny.

2. Przepływ może być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest wirowy jeśli w jakimś punkcie przestrzeni element płynu ma niezerową wypadkową prędkość kątową. Dla ilustracji tych pojęć wyobraźmy sobie kółko z łopatkami zanurzone w poruszającym się płynie. Jeśli kółko nie obraca się podczas ruchu mamy do czynienia z przepływem bezwirowym.

3. Przepływ może być ściśliwy lub nieściśliwy. Jeśli można przyjąć, że gęstość płynu jest stała, niezależna od czasu i współrzędnych przestrzennych, wówczas mówimy o przepływie nieściśliwym. Zazwyczaj przyjmuje się, że przepływ cieczy jest nieściśliwy, a gazów ściśliwy.

4. Przepływ może być lepki lub nielepki.

Lepkość jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych, dlatego nazywa się ją także tarciem wewnętrznym. Powodowana jest przez siły styczne działające pomiędzy warstwami cieczy przesuwającymi się względem siebie. Lepkość powoduje stopniowe rozpraszanie (dyssypację) energii mechanicznej w ośrodku. W niektórych zagadnieniach (np. związanych ze smarowaniem) lepkość odgrywa bardzo istotna rolę, jednak czasem można zaniedbać opory ruchu związane z lepkością, mówimy wówczas o przepływie nielepkim.

Równanie definiujące współczynnik lepkości podał Newton, odnosząc je do przepływu laminarnego płynów:

F=

Gdzie:

- współczynnik lepkości.

Jednostka lepkości jest [
]= 1

*Szybkość ścinania jest to stosunek
=
. Dla płynów zwanych newtonowskimi (np.woda, osocze krwi itp.) spełniona jest zależność :

Gdzie:

-naprężenie ścinania

Krew stanowi przykład płynu niespełniającego warunków Newtona. Należy do płynów plastyczno-lepkich.

Ruch burzliwy płynów:

W pewnych warunkach przepływ laminarny płynów przechodzi w przepływ burzliwy. Przejście zachodzi po przekroczeniu pewnej prędkości granicznej, zależnej od rodzaju płynu i przewodu naczyniowego.

Przepływ burzliwy charakteryzuje się tym, że cząstki płynów wykonują ruchy chaotyczne o różnych kierunkach prędkości. Takiemu przepływowi towarzyszy powstanie wirów.

Kryterium przejścia przepływu laminarnego w burzliwy zostało podane przez Reynoldsa przez wprowadzenie pewnej liczby bezwymiarowej, nazwanej liczbą Reynoldsa (Re). Liczba Re w przypadku przewodu naczyniowego przekroju kołowym jest określana równaniem:

Re =

Gdzie:

gęstość płynu

lepkość płynu

prędkość przepływu płynu

d - średnica przekroju kołowego

Ruch płynu jest laminarny, gdy Re < 2300, natomiast, gdy Re > 3000 przepływ jest burzliwy.

Przepływ laminarny

Przepływ burzliwy

Wykorzystując liczbę Reynoldsa można wyznaczyć prędkość krytyczną v_k przepływu płynu, po której przekroczeniu przepływ może stać się burzliwy. v_k odpowiada krytyczna wartość Re_k= 2300.

Prędkość krytyczna płynu jest odwrotnie proporcjonalna do średnicy przewodu naczyniowego.

W ilościowym ujęciu przepływu płynów przydatne są pojęcia strumienia masy, strumienia objętości i strumienia energii.

Strumień masy (
_m ) jest to stosunek masy płynu (m) przenikającej przez powierzchnię prostopadłą do kierunku transportu w jednostce czasu (t) :

_m =
, [
_m]= 1

Strumień objętości (
_V)

_V =
, [
v]= 1

Strumień energii (
_E)

_E =
, [
_E]= 1

Prawo ciągłości strumienia

Założenia:

- przepływ płynu odbywa się w naczyniu tak, że płyn wypływa wyłącznie przez jeden koniec naczynia, a wpływa przez drugi,

- wewnątrz naczynia nie ma źródeł płynu ani dodatkowego jego upływu

Gdzie:

S₁ - pole przekroju poprzecznego wpływy płynu

v₁ -prędkość w przekroju S₁

S₂ i v₂ - pole przekroju poprzecznego wypływu i jego prędkości

i
- gęstość płynów w przekroju S₁ i S₂

W tych warunkach strumień masy płynu wpływający przez S₁ równa się strumieniowi masy płynu wypływającemu przez powierzchnię S₂, czyli:

Równanie stanowi tak zwane równanie ciągłości masy. Ponieważ zakładaliśmy, że płyn jest nieściśliwy (wtedy
), równanie przechodzi w równanie ciągłości strumienia objętości w postaci:

Wynika z tego, że im większy jest przekrój naczynia, tym większa jest prędkość przepływu płynu.

Równanie Bernoulliego

Prawo Bernoulliego jest podstawowym prawem hydrodynamiki, sformułowanym przez szwajcarskiego matematyka Daniela Bernoulliego. Dotyczy ono prawidłowości rządzącej przepływem stacjonarnym wyidealizowanej cieczy ( nielepkiej , nieściśliwej). Przepływ stacjonarny to taki, podczas którego w każdym miejscu w cieczy prędkość ruchu pozostaje stała.

Treść prawa Bernoulliego jest następująca:

W czasie przepływu cieczy, suma ciśnień statycznego i dynamicznego jest stała wzdłuż każdej linii przepływu.

Prawo Bernoulliego ma matematyczna postać równania:

p +

Gdzie:

p- ciśnienie cieczy

- gęstość cieczy

- prędkość przepływu cieczy

g- przyspieszenie ziemskie

h- wysokość rurki z cieczą nad powierzchnią ziemi

Pierwsze dwa człony możemy ująć ogólną nazwą:

Ciśnienie statyczne P_s=
, natomiast trzeci człon to ciśnienie dynamiczne P_d =
.

Wnioski wynikające z prawa Bernoulliego :

- ciśnienie statyczne jest takie samo w różnych punktach przewodu naczyniowego stałym przekroju

- w przewodzie naczyniowym o różnych przekrojach ciśnienie statyczne jest większe w przekroju o większym polu, a mniejsze w przekroju o mniejszym polu powierzchni.

Prawo Bernoulliego stosuje się również do gazów, uwzględniając ich ściśliwość.

Bibliografia:

[1] Jaroszyk F., „Biofizyka. Podręcznik dla studentów” Wydawnictwo Lekarskie PZWL, Warszawa

[2] Jeżowiecka-Kabsch K., Szewczyk H., „Mechanika płynów” Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2001

1

---