Ciało

Df. Ciałem nazywamy strukturę algebraiczną (X,⊕,) złożoną ze zb X i określonych w nim dwóch działań wewnętrznych ⊕ i  spełniających następujące warunki:

1. (X,⊕) jest grupą przemienną, przy czym 0 jest elementem neutralnym ze względu na ⊕ zwanym zerem ciała;

2. (X \ {0},) jest grupą przemienną, przy czym 1 jest elementem neutralnym ze względu na zwanym jednością ciała.

Λ [(x⊕y)z=xz⊕yz ∧ x(y⊕z)=xy⊕xz

x,y,z∈X

3. jest rozdzielne (obustronnie) względem ⊕, tzn.:

• Komentarz dydaktyczny:

1. Ciało musi posiadać co najmniej dwa elementy, bowiem zero i jedność ciała s różnymi elementami.

2. Jeśli (X,⊕,) jest ciałem, a X⊂R oraz ⊕, s działaniami liczbowymi w X, to ciało to nazywa si ciałem liczbowym.

• Ćwiczenia:

1. Zdefiniowanie pojcia: podciała homomorfizmu (izomorfizmu) ciał.

2. Zbudować ciało izomorficzne z ciałem (R,+,•) tak by ich izomorfizmem była funkcja f(x)=2x dla x∈R.

Wskazówka: Wykorzystać twierdzenie.:

funkcja f jest izomorfizmem ciał (A,∗, ) i (B,+,•) ⇔

x*y=f ^-1(f(x)+f(y)) dla x,y∈A;

xy=f ^-1(f(x)•f(y)) dla x,y∈A,

gdzie f jest bijekcj zbioru A na zbiór B, zaś *, s działaniami wewntrznymi w zbiorze A; +,­• s działaniami wewnętrznymi w zbiorze B.

• Przykład : Ciało liczb zespolonych

Niech C=R² oraz dla dowolnych:

z₁=(a,b)∈C, z₂=(c,d)∈C określamy działania ⊕ i :

z₁⊕ z₂=(a,b)⊕(c,d) (a+c,b+d)

z₁ z₂=(a,b)(c,d) (ac-bd,ad+bc).

Łatwo sprawdzić że: (C,⊕,) jest ciałem, które nazywamy ciałem liczb zespolonych (i bdziemy oznaczać C).

ISTOTNIE:

1. 0:=(0,0) - zero ciała C;

2. element przeciwny ze wzgldu na ⊕ do elementu z=(-a,-b)∈C: -z=(-a,-b)∈C, (tj. inwers elementu z=(a,b) ze wzgldu na dodawanie);

3. jedność ciała C : 1:=(1,0)∈C;

4. inwers elementu z=(a,b)∈C \ {(0,0)} ze wzgldu na : tj. element postaci:
   

Dowód: Niech z=(a,b)∈C \ {(0,0)}, oraz jego inwersem bdzie z ^-1 = (x,y) ze wzgldu na .

Wówczas z z ^-1 =(1,0)



(a,b)(x,y)=(ax-by,ay+bx)=(1,0);

std ax-by=1 ∧ ay+bx=0.

Zatem po rozwizaniu tego układu równań ze wzgldu na x i y otrzymujemy:

5. 
   
   Analogicznie, jak dla ciała liczb rzeczywistych, określa si odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych.
   Niech z₁=(a,b)∈C, z₂=(c,d)∈C:
   * z₁-z₂ z₁+(-z₂)=(a-c,b-d)
   *
   

6. W ciele (C,⊕,) liczb zespolonych zawarte jest jako podciało ciało liczb rzeczywistych

Dowód oczywisty: Niech z₁=(a,0)∈C, z₂=(c,0)∈C
Wówczas: z₁+z₂=(a + c,0); z₁ · z₂=(ac,0).

Λ a=(a,0>, tzn.: Każdą liczbę rzeczywistą

można utożsamić z liczbą zespoloną

postaci (a,0).

Stąd:

Wykazać, że: f :  a→(a,0) dla a∈R jest izomorfizmem ciał (R,+,•) i (X,⊕,), gdzie X={(a,0) : a∈R}.

7. 
   Df: Liczb zespolon z=(0,1) nazywamy jednostk urojon i oznaczamy symbolem i.
   Std z=(0,1)    i , przy czym: i²=1.
   Istotnie: i²=(0,1)(0,1)=(0 -1,0)=(-1,0)= -1

8. Postać kartezjańska liczby zespolonej:
   Df: Każd liczb zespolon z=(a,b) można przedstawić w postaci: z=a+bi nazywamy postacią kartezjańską tej liczby zespolonej.

z=a+bi=(a,0)⊕(b,0)(0,1)=(a,0)⊕(b•o-0•1,b)=
=(a,b)⊕(0,b)=(a,b)


Rez + i · Imz, gdzie a=Rez , b=Imz

9. Podsumowanie: opisane tutaj ciało C liczb zespolonych jest najmniejszym ciałem obejmujcym zbiór liczb rzeczywistych, w którym ma rozwizanie równanie: x²= -1.

Df: Jeśli z=a+bi, to liczb zespolon z=a-bi nazywamy liczb zespolon sprzżon z liczb zespolon z=a+bi.

Zadanie: Wykazać, że:

1. 
   
   z+z =2Re z, z-z =2i Imz

2. 
   z·z=|z|²=a²+b², gdy z=a+bi

3. 
   
   
   
   
   
   z₁+z₂= z₁+z₂, z₁·z₂₌ z₁·z₂

4. 
   
   z=z; z=z ⇔ z∈R

5. 
   
   λz = λz dla λ∈R ∧ z∈C

Df: Obrazem geometrycznym liczby zespolonej z=a+bi nazywamy punkt A(a,b).

Std: z∈C = a+bi→0A gdzie 0(0,0), A(a,b).

Df: Postać trygonometryczna liczby zespolonej:

Niech z=a+bi ∈C

1. Modułem liczby zespolonej z=a+bi nazywamy liczb rzeczywist |z| określon nastpujco:
   
   

2. Każdy kt ϕ spełniajcy równości:
   
   
   nazywamy argumentem liczby zespolonej z≠0 i oznaczamy ϕ=argz zaś argz=0 dla z=0. Przy czym ten spośród argumentów danej liczby z∈C spełniajcy warunek 0≤arg z=ϕ₀<2π nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej z i oznaczamy Argz.
   Std: argz=Argz + 2kΠ, k∈N

z=a+bi

z=|z|(cosϕ+isinϕ) to postać

trygonometryczna

liczby zespolonej z=a+bi

Zadanie:

1. Obliczyć z₁• z₂ oraz z₁² , gdy z₁=|z₁|(cosϕ₁+i sinϕ₁); z₂|(cosϕ₂+i sinϕ₂)

2. Udowodnić indukcyjnie wzór Moivre'a:
   zⁿ =|z|ⁿ (cosnϕ+i sinnϕ) dla n∈N,
   gdy z=|z|(cosϕ+i sinϕ)

Twierdzenie(o pierwiastkach liczby zespolonej, bdź rozwizaniu równania postaci: xⁿ =a w zbiorze C):

Jeśli a jest ustalon liczb zespolon w postaci:

a=|a|(cosϕ+i sinϕ) oraz n jest ustalon liczb naturaln, to:

liczby zespolone
'

gdzie k∈{0,1,2,…,n-1}, s w ciele liczb zespolonych wszelkimi rozwizaniami równania: xⁿ =a.

Dowód:Niech z∈C bdzie rozwizaniem równania: xⁿ=a

Przedstawiając liczb z postaci trygonometrycznej:

z=δ(cosα+i sinα) i po podstawieniu do równania: xⁿ =a otrzymujemy: δⁿ(cosnα+i sinnα)=|a|(cosϕ+i sinϕ).

Std: oraz nα=ϕ+2kπ, k∈Z;

czyli z jest jedn z liczb postaci:

, k∈Z,

przy czym:

1. dla k∈{1,2,...,n-1} otrzymujemy różne wartości argumentów głównych liczby ,

2. dla k<0 lub k ≥ n ∧ k∈C argumenty liczby różni si od argumentów głównych o wielokrotność 2π.

Zatem istnieje n różnych pierwiastków stopnia n liczby zespolonej z , przy czym:

1. maj one ten sam moduł, czyli leż na wspólnym okrgu o promieniu ,

2. maj one t sam odległość ktow midzy sob wynoszc .

Ćwiczenie:

1. Obliczyć: ,

2. W zbiorze C rozwizać równanie:

Podstawowe twierdzenie algebry: Każdy wielomian stopnia n, n∈N, o dowolnych współczynnikach zespolonych ma w dziedzinie zespolonej co najmniej jedno miejsce zerowe.

Wniosek: Każdy wielomian stopnia n, n∈N, ma n  pierwiastków w zbiorze C.

Uwaga!!!

Analogiczne twierdzenie w dziedzinie rzeczywistej nie musi być prawdziwe, np. W(x)=x²+15

Wzory Cardano, czyli pierwiastki równania

sześciennego x³+px+q=0

Rozważmy równanie x³+px+q=0, p≠0 [1]

Niech ,

wówczas otrzymujemy równanie:

[2]

Niech y³=z, wówczas otrzymujemy równanie:

[3]

Df.: Równanie postaci [3] nazywa si równaniem rozwizujcym, bdź rezolwent równania [1]

Twierdzenie (wzory Cardano):

Pierwiastki równania sześciennego x³+px+q=0 s dane wzorami (zwanymi wzorami Cardano):

; przy czym:

1. liczby y₁ i y₁^' spełniaj równości: y₁³=z; (y₁^') ³=z^'

2. liczby z i z^' s pierwiastkami równania rozwizujcego:
   ;

3. liczby y₁ i y₁^' s tak dobrane, że:
   ;

4. liczba ε jest jedn z wartości .

Przykład: Rozwizać równanie t³-3 t²+6t-2=0.

• Niech t=x+1, wówczas w/w równanie redukuje si do równania postaci:
  [2] x³+3x+2=0; p=3; q=2
  Równaniem rozwizujcym w/w równanie jest równanie
  [3] z²+2z-1=0
  Pierwiastkami równania [3] s liczby:
  

• y³=z : za y₁ i y₁^' możemy obrać liczby rzeczywiste:
  
  
  
  

• Ostatecznie za wzór Cardano otrzymamy pierwiastek równania postaci [2]: x³+3x+2=0,
  czyli:
  
  
  gdzie ε jest jedną z wartości
  

• Wobec powyższego pierwiastkami równania:
  t³-3 t²+6t-2=0
  s liczby:
  
  
  gdzie ε jest jedną z wartości
  .

z

•

X={(a,0): a∈R}

(X,⊕,) - jest podciałem ciała C

z=(a,0)

f

a•

C

R

b

z=a+ib

•

i

a

b

•z

|z|

i

a

ϕ

•

Imz

Rez

Imz

Rez

---