Wykład 8

Rzutem ortogonalnym wektora u na wektor v nazywamy wektor u

v

∈

Lin(v) taki, że u − u

v

⊥v.

Twierdzenie 1 W każdej przestrzeni euklidesowej dla dowolnych wektorów
u, v istnieje dokładnie jeden rzut wektora u na wektor v.

Dowód Jeśli u = 0 lub v = 0 to twierdzenie jest oczywiste. Niech u i v będą
wektorami niezerowymi. Wektor u

v

ma postać kv. Ponieważ (u − u

v

|v) = 0

to 0 = (u − kv|v) = (u|v) − k(v|v) i mamy k =

(u|v)
(v|v)

. To dowodzi istnienia i

jednoznaczności.



Twierdzenie 2 Niech v

1

, v

2

, . . . , v

n

będzie bazą ortonormalną przestrzeni eu-

klidesowej V . Wtedy każdy wektor v ∈ V może być przedstawiony w postaci
v = (v|v

1

)v

1

+ (v|v

2

)v

2

+ . . . + (v|v

n

)v

n

.

Dowód Ponieważ v

1

, v

2

, . . . , v

n

jest bazą przestrzeni V to dla dowolnego

wektora v istnieją skalary k

1

, k

2

, . . . , k

n

, takie że:

v = k

1

v

1

+ k

2

v

2

+ . . . + k

n

v

n

Obliczmy (v|v

1

) = (k

1

v

1

+ k

2

v

2

+ . . . + k

n

v

n

|v

1

) = k

1

(v

1

|v

1

) + k

2

(v

2

|v

1

) + . . . +

k

n

(v

n

|v

1

), ponieważ baza jest ortonormalna to ostatnie wyrażenie jest równe

k

1

, a więc:

(v|v

1

) = k

1

Podobnie udowadnia się, że k

i

= (v|v

i

).



Rzutem ortogonalnym wektora v na podprzestrzeń U < V nazywamy

wektor v

U

, taki że v

U

∈ U i v − v

U

∈ U

⊥

.

Twierdzenie 3 Niech U będzie podprzestrzenią skończenie wymiarowej, unor-
mowanej przestrzeni euklidesowej V . Wtedy dla dowolnego wektora v ∈ V
istnieje wyznaczony jednoznacznie rzut wektora v na podprzestrzeń U .

Dowód Niech v

1

, . . . , v

n

będzie bazą ortonormalną przestrzeni U . Wtedy

poszukiwany wektor v

U

da się zapisać w postaci v

U

= k

1

v

1

+ k

2

v

2

+ . . . + k

n

v

n

.

Na podstawie poprzedniego twierdzenia mamy: k

i

= (v

U

|v

i

). Ponieważ v −

v

U

∈ U

⊥

to mamy (v − v

U

|v

i

) = 0 dla i ∈ {1, . . . , n}, zatem (v

U

|v

i

) = (v|v

i

).

Zatem poszukiwanym rzutem wektora v na podprzestrzeń U jest wektor:

k

1

v

1

+ k

2

v

2

+ . . . + k

n

v

n

taki, że k

i

= (v|v

i

).



Dowody powyższych Twierdzeń dają również algorytmy szukania rzutów.

1

Nierówność Bessela

Twierdzenie 4 Niech v

1

, v

2

, . . . , v

n

będzie bazą ortonormalną podprzestrzeni

U przestrzeni euklidesowej V . Wtedy dla każdego wektora v ∈ V zachodzi
nierówność Bessela:

(v|v

1

)

2

+ (v|v

2

)

2

+ . . . + (v|v

n

)

n

¬ kvk

2

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy v ∈ U .

Dowód Wiemy, że (v − v

U

|v − v

U

) ­ 0. Z poprzedniego twierdzenia mamy:

(v − v

U

|v − v

U

) = (v −

n

X

i=1

(v|v

i

)v

i

|v −

n

X

i=1

(v|v

i

)v

i

) = (v|v) −

n

X

i=1

(v|v

i

) ­ 0

a stąd mamy rządaną nierówność.



Nierówność Bessela mówi, że norma rzutu ortogonalnego jest mniejsza

bądź równa od normy wektora.
Metoda najmniejszych kwadratów

Rozważmy układ m równań liniowych z n niewiadomymi o współczynni-

kach rzeczywistych:



















a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

= b

1

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

= b

2

. . . . . . . . .
a

m1

x

1

+ a

m2

x

2

+ . . . + a

mn

x

n

= b

m

Założymy, że m > n, a rząd macierzy współczynników jest równy n. Mo-
że się zdarzyć, że w wyniku pewnych pomiarów fizycznych pojawi się taki
układ równań. Z powodu niedokładności pomiarów taki układ może nie mieć
rozwiązań. Trzeba więc znaleźć rozwiązanie przybliżone. Jedną z metod roz-
wiąznia przybliżonego jest tak zwana metoda najmniejszych kwadratów to
znaczy znalezienie takich elementów y

1

, y

2

, . . . , y

n

, żeby suma kwadratów:

m

X

i=1





n

X

j=1

a

ij

y

j

− b

i





2

była najmniejsza. Niech f = (b

1

, b

2

, . . . , b

m

), h

i

= (a

1i

, a

2i

, . . . , a

mi

), i =

1, 2, . . . , n będą wektorami z przestrzeni R

m

. Wtedy powyższa suma przyj-

muje najmniejszą wartość jeśli (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) jest rzutem wektora f na pod-

przestrzeń rozpiętą na wektorach h

1

, h

2

, . . . , h

n

. Zatem elementy y

1

, y

2

, . . . , y

n

2

spełniają układ:



















(h

1

|h

1

)y

1

+ (h

1

|h

2

)y

2

+ . . . + (h

1

|h

n

)y

n

= (h

1

|f )

(h

2

|h

1

)y

1

+ (h

2

|h

2

)y

2

+ . . . + (h

2

|h

n

)y

n

= (h

2

|f )

. . . . . . . . .
(h

n

|h

1

)y

1

+ (h

n

|h

2

)y

2

+ . . . + (h

n

|h

n

)y

n

= (h

n

|f )

gdzie (|) oznacza standardowy iloczyn skalarny w przestrzeni R

n

(jest to

również sposób wyznaczania rzutu wektora na podprzestrzeń). Wyznacznik
macierzy współczynników tego układu nazywamy wyznacznikiem Grama.
Zadanie Rozwiązać metodą najmniejszych kwadratów układ:











x + y = 3
2x + y = 5
x − y = 2

Rozwiązanie Układ ten jest sprzeczny. Poszukamy więc takiego rozwiązania
przybliżonego x

1

, y

1

aby wyrażenie:

(x

1

+ y

1

− 3)

2

+ (2x

1

+ y

1

− 5)

2

+ (x

1

− y

1

− 2)

2

przyjmowało najmniejszą wartość. Do tego wykorzystamy metodę najmniej-
szych kwadratów. Przyjmijmy f = (3, 5, 2), h

1

= (1, 2, 1), h

2

= (1, 1, −1).

Obliczmy:

(h

1

|h

1

) = 6, (h

1

|h

2

) = 2, (h

1

|f ) = 15,

(h

2

|h

1

) = 2, (h

2

|h

2

) = 3,

(h

2

|f ) = 6

Zatem przybliżone rozwiązanie (w sensie najmniejszych kwadratów) spełnia
układ:

(

6x

1

+ 2y

1

= 15

2x

1

+ 3y

1

= 6

Formy dwuliniowe

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K (=R lub C). Funkcję:

f : V × V → K

nazywamy formą dwuliniową jeśli ∀u, v, w ∈ V, ∀k ∈ K mamy:
(i) f (u + v, w) = f (u, w) + f (v, w),
(ii) f (ku, v) = kf (u, v),
(iii) f (u, v + w) = f (u, v) + f (u, w),
(iv) f (u, kv) = ¯

kf (u, v).

3

Przykładem formy dwuliniowej może być iloczyn skalarny w przestrzeni eu-
klidesowej.

Przyjmijmy teraz V = R

n

, u = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

), v = (y

1

, y

2

, . . . , y

n

) wtedy

jeśli f jest formą dwuliniową to istnieją współczynniki g

ij

, i, j ∈ {1, . . . , n},

że:

f (u, v) =

n

X

i=1

n

X

j=1

g

ij

x

i

y

j

dla każdych u, v. Wtedy dla macierzy G = [g

ij

] mamy:

f (u, v) = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

)G









y

1

y

2

..

.

y

n









Można zauważyć, że jeśli e

1

, e

2

, . . . , e

n

oznacza bazę kanoniczną to g

ij

=

f (e

i

, e

j

).

Formę f nazywamy formą symetryczną jeśli ∀u, v ∈ V mamy f (u, v) =
f (v, u).

Stwierdzenie 1 Forma f jest symetryczna wtedy i tylko wtedy gdy macierz
G tej formy jest symetryczna (to znaczy G = G

T

).

Niech A = [a

ij

] będzie macierzą nad ciałem liczb zespolonych. Wtedy

A

∗

= A

T

= [a

ij

]

T

. Macierz A nazywamy macierzą hermitowską jeśli A

∗

=

A.
Formę f nazywamy formą hermitowską jeśli jej macierz współczynników G
jest hermitowska. Zatem forma hermitowska spełnia tożsamość: ∀u, v ∈ V :
f (u, v) = f (v, u).
Macierz A nazywamy macierzą ortogonalną (unitarną) jeśli A

T

A = I (AA

∗

=

I).
Macierz A nazywamy macierzą normalną jeśli AA

T

= A

T

A (AA

∗

= A

∗

A).

Forma kwadratowa

Funkcję:

g : V → R

nazywamy formą kwadratową jeśli istnieje forma dwuliniowa f : V × V →

R, taka że ∀v ∈ V,

g(v) = f (v, v).

Twierdzenie 5 Jeśli g jest formą kwadratową w przestrzeni V = R

n

to

istnieje dokładnie jedna symetryczna forma dwuliniowa f , że dla każdego
v ∈ V mamy g(v) = f (v, v).

4

Symetryczną formę dwuliniową f nazywamy formą biegunową formy kwa-
dratowej g.
Dowód Wystarczy przyjąć:

f (u, v) =

1

2

(g(u + v) − g(u) − g(v))



Zadanie Niech

g(x

1

, x

2

, x

3

) = (x

1

, x

2

, x

3

)






1

2

3

1 −1 2
2

1

0














x

1

x

2

..

.

x

n









Znaleźć biegunową formę dwuliniową tej formy kwadratowej.

Można zauważyć, że jeśli g jest formą kwadratową w przestrzeni R

n

to:

g(x

1

, x

2

, . . . , x

n

) =

n

X

i=1

g

ii

x

2
i

+ 2

n

X

i=1,j=1,i<j

g

ij

x

i

x

j

= (x

1

, x

2

, . . . , x

n

)G









x

1

x

2

..

.

x

n









gdzie G jest macierzą symetryczną, o współczynnikach g

ij

. Wtedy biegunowa

forma dwuliniowa ma postać:

f (u, v) = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

)G









y

1

y

2

..

.

y

n









Każdą formę kwadratową możemy skojarzyć z pewną macierzą symetryczną
G.
Oznaczmy przez G

i

macierz wymiaru i×i, która powstaje z macierzy G przez

wykreślenie wierszy i kolumn o numerach i + 1, i + 2, . . . , n. Wtedy det G

i

nazywamy minorem głównym macierzy G.
Formę kwadratową g : R

n

→ R nazywamy dodatnio określoną jeśli ∀v ∈

R

n

\ {(0, 0, . . . , 0)} mamy g(v) > 0.

Twierdzenie 6 Forma g wyznaczona przez macierz symetryczną G jest do-
datnio określona wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie minory główne det G

i

są

dodatnie.

5