Wykład 8. Układy równa´

n liniowych, układ Cra-

mera.

8.1. Układy równa´n liniowych

Definicja 8.1.1. Uogólnionym układem równa ´n
liniowych nazywamy układ o postaci

AX

= B,

gdzie A =

h

a

ij

i

m×n

(dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,

m, n ∈

N

oraz a

ij

∈

K

) jest macierz ˛

a współczyn-

ników (zwan ˛

a macierz ˛

a główn ˛

a), X =

h

x

jk

i

n×p

(dla 1 ≤ k ≤ p, p ∈

N

oraz x

jk

∈

K

) jest macie-

rz ˛

a niewiadomych i B = [b

ik

]

m×p

(dla b

ik

∈

K

)

jest macierz ˛

a wyrazów wolnych.

Dygresja: Równie ˙z uogólnionym układem rów-
na ´n b ˛edziemy nazywa ´

c układ o postaci

X

′

A

′

= B

′

,

gdzie nazwy poszczególnych macierzy s ˛

a to˙z-

same z def. 8.1.1., natomiast ich rozmiary wyno-
sz ˛

a odpowiednio A

′

=

h

a

ji

i

n×m

, X

′

=

h

x

kj

i

p×n

,

B

′

= [b

ki

]

p×m

.

Twierdzenie 8.1.1. Ka˙zdy układ X

′

A

′

= B

′

mo˙zna

zamieni ´

c na posta ´

c AX = B.

Dowód: Wykorzystajmy własno´s ´

c 6.1.4. - pkt. 4.

Na mocy tej własno´sci mamy



X

′

A

′



T

=



B

′



T

i dalej



A

′



T



X

′



T

=



B

′



T

,

przy czym



A

′



T

= A,



B

′



T

= B,



X

′



T

= X

(prosz ˛e spojrze ´

c na rozmiary po-

szczególnych macierzy). Podstawiaj ˛

ac otrzymu-

jemy AX = B.



Dygresja: W dalszych rozwa˙zaniach b ˛edziemy
posługiwa ´

c si ˛e zapisem AX = B. Rozpisuj ˛

ac

nasz uogólniony układ równa ´n w zapisie ma-
cierzowym otrzymujemy






a

11

. . .

a

1n

...

. ..

...

a

m

1

. . . a

mn











x

11

. . . x

1p

...

. . .

...

x

n

1

. . . x

np






=






b

11

. . .

b

1p

...

. . .

...

b

m

1

. . . b

mp






lub rozpisuj ˛

ac na poszczególne równania



















a

11

x

11

+ a

12

x

21

+ . . . + a

1n

x

n

1

= b

11

a

11

x

12

+ a

12

x

22

+ . . . + a

1n

x

n

2

= b

12

...

a

m

1

x

1p

+ a

m

2

x

2p

+ . . . + a

mn

x

np

= b

mp

.

W konsekwencji mamy n·p niewiadomych i m·p
równa ´n.

Definicja 8.1.2. Macierz X nazywamy rozwi ˛

aza-

niem uogólnionego układu równa ´n AX = B
wtedy, gdy spełnia ten układ.

Własno´s ´

c 8.1.1. Układ równa ´n AX = B, który:

1. ma dokładnie jedno rozwi ˛

azanie jest ukła-

dem oznaczonym,

2. nie ma rozwi ˛

azania jest układem sprzecz-

nym.

Definicja 8.1.3. Je˙zeli w układzie zadanym de-
finicj ˛

a 8.1.1. macierz B jest niezerowa to taki

układ nazywamy układem niejednorodnym. Na-
tomiast je ˙zeli B = 0

m×p

to taki układ nazywamy

układem jednorodnym.

Dygresja: Jednym z rozwi ˛

aza ´n układu jedno-

rodnego AX = 0

m×p

jest X =






0 . . . 0

... ... ...

0 . . . 0






.

Definicja 8.1.4. Układ równa ´n liniowych

AX

= B

b ˛edziemy nazywa ´

c uogólnionym układem Cra-

mera wtedy, gdy A =

h

a

ij

i

n×n

b ˛edzie macie-

rz ˛

a kwadratow ˛

a, X =

h

x

jk

i

n×p

, B

= [b

ik

]

n×p

oraz dodatkowo macierz A b ˛edzie nieosobliwa.

Dygresja: Uogólniony układ Cramera jest ukła-
dem oznaczonym.

Definicja 8.1.5. W uogólnionym układzie Cra-
mera przyjmuj ˛

ac p = 1 otrzymujemy układ rów-

na ´n Cramera o postaci AX = B, gdzie
A

=

h

a

ij

i

n×n

jest nieosobliw ˛

a macierz ˛

a współ-

czynników, X =

h

x

j

i

n

jest wektorem niewiado-

mych i B = [b

i

]

n

jest wektorem wyrazów wol-

nych.

8.2. Rozwi ˛

azywanie układów równa´n Cramera

Twierdzenie 8.2.1. Je˙zeli układ równa ´n

AX

= B

jest układem równa ´n Cramera (lub uogólnio-
nym układem równa ´n Cramera) to posiada on
dokładnie jedno rozwi ˛

azanie w postaci

X

= A

−

1

B.

Dowód: (na wykładzie zostawi ´

c miejsce)



Twierdzenie 8.2.2. Rozwi ˛

azanie układu równa ´n

AX

= B,

który jest układem Cramera mo˙zna równie ˙z okre-
´sli ´

c wzorem

X

=








x

1

x

2

...

x

n








=

1

det A








det C

1

det C

2

...

det C

n








,

gdzie det C

j

(dla 1 ≤ j ≤ n) oznacza wyznacz-

nik macierzy A, w której j-t ˛

a kolumn ˛e zast ˛

apiono

wektorem wyrazów wolnych B.

Dygresja: Konstrukcja macierzy C

j

jest nast ˛epu-

j ˛

aca:

C

j

=








a

11

a

12

. . . b

1

. . . a

1n

a

21

a

22

. . . b

2

. . . a

2n

...

...

. .. ... ...

...

a

n

1

a

n

2

. . . b

n

. . . a

nn








.

Natomiast wzory

x

1

=

det C

1

det A

,

x

2

=

det C

2

det A

, . . . ,

x

n

=

det C

n

det A

nazywamy wzorami Cramera.

Literatura

•

Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometri ˛

a, PWN,

Warszawa 1976.

•

Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ˛e-
stochowa 2001.

•

Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-
nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS,
Wrocław 2000.

•

Kiełbasi ´nski A., Schetlick H., Numeryczna algebra li-
niowa, PWN, Warszawa 1992.

•

Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, War-
szawa 1968.

•

Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ˙zszej, PWN,
Warszawa 1975.

•

Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.