Wykład 8. Układy równa´

n liniowych, układ Cra-

mera.

8.1. Układy równań liniowych

Definicja 8.1.1. Uogólnionym układem równa ń liniowych nazywamy układ o postaci AX = B,

h

i

gdzie A = aij

(dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,

m×n

m, n ∈ N oraz aij ∈ K) jest macierz ˛

a współczyn-

h

i

ników (zwaną macierz ˛

a główn ˛

a), X = xjk n×p

(dla 1 ≤ k ≤ p, p ∈ N oraz xjk ∈ K) jest macierz ˛

a niewiadomych i B = [bik]m×p (dla bik ∈ K) jest macierz ˛

a wyrazów wolnych.

Dygresja: Równie ż uogólnionym układem rów-na ń b ędziemy nazywa ć układ o postaci

′

′

′

X A = B ,

gdzie nazwy poszczególnych macierzy są toż-

same z def. 8.1.1. , natomiast ich rozmiary wyno-

′

h

i

′

h

i

szą odpowiednio A = aji

, X = x

,

n

kj

×m

p×n

′

B = [bki]p×m .

′

′

′

Twierdzenie 8.1.1. Każdy układ X A = B można zamieni ć na posta ć AX = B.

Dowód: Wykorzystajmy własnoś ´

c 6.1.4. - pkt. 4.

Na mocy tej własności mamy

′

′T

′T

′T

′T

′T

X A

= B

i dalej A

X

= B

,

′T

′T

przy czym A

= A, B

= B,

′T

X

= X (prosz ę spojrze ć na rozmiary poszczególnych macierzy). Podstawiając otrzymujemy AX = B.

Dygresja: W dalszych rozważaniach b ędziemy posługiwa ć si ę zapisem AX = B. Rozpisując nasz uogólniony układ równa ń w zapisie ma-cierzowym otrzymujemy



a

 







11

. . .

a1n

x11 . . . x1p

b11 . . . b1p

.

.

.



..

. ..

..   .

. . .

..  =  .

. . .

.. 



 







am1 . . . amn

xn1 . . . xnp

bm1 . . . bmp

lub rozpisując na poszczególne równania



a



11x11 + a12x21 + . . . + a1nxn1 = b11







a11x12 + a12x22 + . . . + a1nxn2 = b12

.

.

.









am1x1p + am2x2p + . . . + amnxnp = bmp

W konsekwencji mamy n·p niewiadomych i m·p równa ń.

Definicja 8.1.2. Macierz X nazywamy rozwi ˛

aza-

niem uogólnionego układu równa ń AX = B

wtedy, gdy spełnia ten układ.

Własnoś ć 8.1.1. Układ równa ń AX = B, który: 1. ma dokładnie jedno rozwiązanie jest układem oznaczonym,

2. nie ma rozwiązania jest układem sprzecz-nym.

Definicja 8.1.3. Jeżeli w układzie zadanym de-finicj ˛

a 8.1.1. macierz B jest niezerowa to taki układ nazywamy układem niejednorodnym. Natomiast je żeli B = 0m×p to taki układ nazywamy układem jednorodnym.

Dygresja: Jednym z rozwiąza ń układu jedno-



0 . . . 0 

rodnego AX = 0

..

m×p jest X = 

. . . ..  .





0 . . . 0

Definicja 8.1.4. Układ równa ń liniowych AX = B

b ędziemy nazywa ć uogólnionym układem Cra-h

i

mera wtedy, gdy A = aij

b ędzie macie-

n×n

h

i

rzą kwadratową, X = xjk

, B = [b

n

ik]

×p

n×p

oraz dodatkowo macierz A b ędzie nieosobliwa.

Dygresja: Uogólniony układ Cramera jest układem oznaczonym.

Definicja 8.1.5. W uogólnionym układzie Cramera przyjmując p = 1 otrzymujemy układ rów-na ń Cramera o postaci AX = B, gdzie h

i

A = aij

jest nieosobliwą macierzą współ-

n×n

h

i

czynników, X = xj

jest wektorem niewiado-

n

mych i B = [bi]n jest wektorem wyrazów wolnych.

8.2. Rozwiązywanie układów równań Cramera Twierdzenie 8.2.1. Jeżeli układ równa ń AX = B

jest układem równa ń Cramera (lub uogólnionym układem równa ń Cramera) to posiada on dokładnie jedno rozwiązanie w postaci X = A−1B.

Dowód: ( na wykładzie zostawi ´

c miejsce)

Twierdzenie 8.2.2. Rozwiązanie układu równa ń AX = B,

który jest układem Cramera można równie ż okre-

śli ć wzorem



x







1

det C1



x



1



det C 

X =

2

2



.  =



.

 ,



.. 

det A 

..











xn

det Cn

gdzie det Cj (dla 1 ≤ j ≤ n) oznacza wyznacz-nik macierzy A, w której j-tą kolumn ę zastąpiono wektorem wyrazów wolnych B.

Dygresja: Konstrukcja macierzy Cj jest nast ępu-jąca:



a



11

a12 . . . b1 . . . a1n



a



C

21

a22 . . . b2 . . . a2n

j = 

.

 .



..

..

. .. .. ...

.. 





an1 an2 . . . bn . . . ann

Natomiast wzory

det C1

det C2

det Cn

x1 =

,

x2 =

, . . . ,

xn =

det A

det A

det A

nazywamy wzorami Cramera.

Literatura

• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-

stochowa 2001.

• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

• Kiełbasi ński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.

• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.

• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ższej, PWN, Warszawa 1975.

• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.