WYKŁAD 8

Przestrzenie euklidesowe

Tematem wykładu są przestrzenie euklidesowe - przestrzenie wektorowe z iloczynem skalarnym. Przedstawimy podstawowe definicje i ich właściwości. Zdefiniujemy pojęcie ortogonalności wektorów i pojęcie baz ortogonalnych. Jako zastosowanie określimy rzut ortogonalny oraz wyjaśnimy pojęcie ortogonalności w przypadku macierzy.

ILOCZYN SKALARNY

Definicja Niech V bedzie rzeczywistą przestrzenią wektorową. Funkcję, która uporządkowanej parze wektorów przyporządkowuje liczbę rzeczywistą nazywamy iloczynem skalarnym wektorów, gdy spełnione są następujące warunki: (1) (2) (3) (4) (równość zachodzi tylko dla )

Warunek (1) mówi o symetryczności iloczynu skalarnego, natomiast warunki (2) i (3) o tym, że iloczyn skalarny
jest funkcją liniową

ze względu na pierwszą współrzędną
.

Pytanie kontrolne: Czy iloczyn skalarny jest funkcją liniową ze względu na drugą współrzędną?

Przykład-1

W przestrzeni Rⁿ wprowadzamy pojęcie iloczynu skalarnego dwóch wektorów
jako:

W szczególności w przestrzeni R³ możemy określić iloczyn skalarny
następująco:

Okazuje się że w przestrzeni R³ możemy określić inny niż poprzednio iloczyn skalarny, na przykład:

gdzie:

Charakterystyka iloczynów skalarnych w Rⁿ

Niech oraz będzie macierzą kwadratową stopnia n. Wówczas funkcja jest iloczynem skalarnym w Rⁿ wtedy i tylko wtedy gdy macierz A jest symetryczna i dodatnio określona. Każdy iloczyn skalarny w Rⁿ ma taką postać.

Przykład-2

W przestrzeni B[0, 1] funkcji ograniczonych na odcinku [0, 1] iloczyn skalarny możemy określić jako:

Przykład-3

W przestrzeni macierzy M_nxn iloczyn skalarny macierzy

A, B ∈ M_nxn określiliśmy jako:
= trace ( AB^T ),

gdzie trace (C) ( ślad macierzy C ) oznacza sumę wszystkich elementów głównej przekątnej macierzy kwadratowej C. .

Uwaga

Z pierwszej części przykładu wynika, że często można w jednej przestrzeni wektorowej V wprowadzić kilka różnych iloczynów skalarnych.

Definicja Rzeczywistą przestrzeń wektorową z wprowadzonym iloczynem skalarnym nazywamy przestrzenią euklidesową

Przestrzeń Rⁿ z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jako:

gdzie

jest przestrzenią euklidesową i oznaczana jest jako Eⁿ.

Wprowadzimy pojęcie normy (długości) wektora wykorzystując ogólną definicję iloczynu skalarnego.

Definicja Niech będzie wektorem przestrzeni euklidesowej E . Wówczas normą (długością) wektora nazywamy liczbę:

Przykład-1

Dla

Przykład-2

Funkcja f ( x ) = x² -1 w przestrzeni B[0, 1] z iloczynem skalarnym określonym poprzednio ma normę:

Kąt między wektorami

Dla normy w przestrzeni euklidesowej Eⁿ

w przypadku ogólnym spełnione są:

Nierówności trójkąta:

Nierówność Schwarza:

Z nierówności Schwarza wynika że :

Zatem możemy zdefiniować kąt między wektorami:

tak że zachodzi następujące równanie:

Kosinusy kierunkowe: kosinusy kątów jakie tworzy wektor

z wersorami układu współrzędnych.

Spełniona jest także równość równoległoboku,

Stwierdzenie Dla dowolnych wektorów należących do przestrzeni euklidesowej E zachodzi:

Interpretując wektor
jako jedną przekątną równoległoboku a
jako drugą przekątną równoległoboku otrzymamy interpretację graficzną tego stwierdzenia.

Definicja Odległością wektorów nazywamy liczbę określoną jako:

Zauważmy, że w przestrzeni euklidesowej Eⁿ odlegość między wektorami
zaczepionymi w punkcie 0 jest równa odległości punktów odpowiadających końcom tych wektorów:

ORTOGONALNOŚĆ I BAZY ORTOGONALNE

Definicja Wektory są ortogonalne(prostopadłe) jeśli . Jeżeli dodatkowo wektory są znormalizowane tzn.: to nazywamy wektorami ortonormalnymi.

Ortogonalność zapisujemy symbolicznie jako:
.

Przykład

Sprawdź, czy podane wektory są ortonormalne:

Mamy:
zatem
.

Łatwo sprawdzić, że
, zatem

wektory
są ortogonalne, ale nie są ortonormalne.

Definicja Zbiór wektorów przestrzeni euklidesowej E nazywamy ortogonalnym (ortonormalnym) jeśli każde dwa różne wektory tego zbioru są ortogonalne (ortonormalne)

Ortogonalność wektorów można wykorzystać do konstrukcji bazy w przestrzeni euklidesowej. Podstawą do tego jest następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie Każdy ortogonalny układ niezerowych wektorów przestrzeni euklidesowej jest liniowo niezależny

Dowód

Dowód przeprowadzimy metodą niewprost. Niech B ⊂ E bedzie ukadem ortogonalnym i załóżmy, rozumując przez sprzeczność, że istnieją
i
nie wszystkie równe zeru i takie, że:

Policzmy iloczyn skalarny dowolnego wektora
,

1 ≤ i ≤ n z lewej i prawej strony powyższej równości. Wykorzystując własności ( 1 ) i ( 2 ) iloczynu skalarnego otrzymamy:

Wektory są ortogonalne stąd:
,

a ponieważ
(dlaczego?) to
.

Ponieważ rozumowanie to możemy przeprowadzić dla każdego

1 ≤ i ≤ n, przeczy to założeniu, że jakieś
.

Wektory układów ortogonalnych będziemy oznaczać przez:

Przykład

Rozpatrzmy przestrzeń E³ ze standardową bazą:

Jak łatwo sprawdzić, wektory
są ortogonalne i wszystkie mają długość = 1, zatem są ortonormalne.

Jeśli rozpatrzymy w przestrzeni euklidesowej bazę ortogonalną tj. taką, która składa się z wektorów ortogonalnych, możemy prosto wyznaczyć współrzędne dowolnego wektora w tej bazie.

Stwierdzenie

Niech będzie bazą ortogonalną przestrzeni euklidesowej E i . Wówczas: gdzie

W szczególności, gdy jest bazą ortonormalną to wtedy .

Dowód:

Obliczmy iloczyn skalarny wektora
z wektorem
.

Otrzymamy:

czyli
dla każdego i .

Przykład

W przestrzeni E³ rozpatrujemy wektor

oraz wektory ortogonalne:

Współrzędne wektora
w podanej bazie mają postać:

Zatem wektor

Niech
będą dowolnymi niezerowymi wektorami przestrzeni euklidesowej E. Jeśli
byłby elementem bazy przestrzeni E, to współrzędna wektora
odpowiadająca wektorowi
miałaby postać:

Rozpatrzmy wektor
po pominięciu „wkładu” od
:

Zauważmy, że
, co oznacza, że wektory

są ortogonalne.Tę procedurę możemy uogólnić

na pojęcie rzutu ortogonalnego.

Rzut ortogonalny na podprzestrzeń

Definicja Niech F ⊂ E będzie podprzestrzenią wektorową przestrzeni euklidesowej E. Wektor jest ortogonalny do podprzestrzeni F (co zapisujemy ) jeżeli jest ortogonalny do każdego tzn. dla każdego .

Definicja Niech F będzie podprzestrzenią liniową E . Rzutem ortogonalnym wektora na podprzestrzeń F, nazywamy wektor taki, że:

Rzut ortogonalny w przestrzeni E² i E³ pokrywa się z rzutem prostokątnym wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni.

Jak wyznaczyć rzut ortogonalny w przypadku ogólnym?

Jest to łatwe, jeśli w podprzestrzeni F , na którą rzutujemy jesteśmy w stanie wyznaczyć bazę ortogonalną.

Twierdzenie

Niech będzie dowolną bazą podprzestrzeni F. Wtedy rzut ortogonalny wektora na podprzestrzeń F istnieje i jest określony wzorem : gdzie jest rozwiązaniem układu równań:

Niech będzie bazą ortogonalną podprzestrzeni F . Wówczas rzut ortogonalny dowolnego wektora na podprzestrzeń F jest określony wzorem:

W przypadku, gdy jest bazą ortonormalną przestrzeni F , to rzut wektora jest określony wzorem:

Twierdzenia tego nie będziemy dokładnie udowadniać i ograniczymy się tylko do zauważenia, że wektor
jest ortogonalny do wszystkich wektorów bazowych
.

Przykład

Znajdź rzut ortogonalny wektora

na prostą wyznaczoną równaniem y = ½ x.

Wektorem leżącym na prostej y = ½ x jest na przykład

wektor [2, 1].

Po znormalizowaniu otrzymujemy wektor
,

który oczywiście rozpina rozpatrywaną podprzestrzeń.

Rzut ortogonalny wektora
ma postać:

Mając zdefiniowane pojęcie rzutu ortogonalnego możemy określić procedurę mającą na celu uzyskanie z danego zbioru wektorów nieortogonalnych zbioru wektorów tworzacych zbiór wektorów ortogonalnych.

Jedną z metod jest ortogonalizacja Grama-Schmidta.

Twierdzenie (ortogonalizacja Grama-Schmidta) Niech będzie zbiorem niezerowych wektorów liniowo niezależnych. Wówczas na bazie tych wektorów można utworzyć ortogonalny układ wektorów : ...................................................................

Przykład

Dokonać ortogonalizacji układu wektorów w E³:

Łatwo zauważyć że

Macierze ortogonalne

Rozpatrzmy wektory
ortonormalne w Eⁿ . Zapiszmy je w bazie kanonicznej tej przestrzeni

tzn. w bazie
dla i = 1, 2, ..., n

i kolejne wektory potraktujemy jako wiersze macierzy U,

gdzie
1 ≤ i, j ≤ n.

Mamy
, zatem dowolne dwa różne wiersze macierzy U są ortogonalne i każdy z nich ma długość= 1.

Macierze o tej własności nazywamy ortogonalnymi.

Definicja Macierz U wymiaru nxn nazywamy macierzą ortogonalną gdy jej wektory wierszowe tworzą układ ortonormalny.

Przykład

Przedstawiona poniżej macierz jest ortogonalna:

Z definicji wynika następujące stwierdzenie:

Stwierdzenie Macierz U jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy gdy: ( 1 ) UU^T = U^TU = I; ( 2 ) wektory kolumnowe tworzą bazę ortonormalną E^n ; ( 3 ) dla dowolnych wektorów zapisanych jako kolumny.

Zauważmy, że ze stwierdzenia wynikają ważne wnioski.

Jeśli U potraktujemy jako macierz przekształcenia przestrzeni Eⁿ , to przekształcenie to

• zachowuje wartość iloczynu skalarnego,

• zachowuje długości wektorów

• zachowuje kąty między nimi.

Ponadto, z własności ( 1) wynika, że każda macierz ortogonalna U jest odwracalna i U^-1 = U^T. Ponadto:

zatem: |det( U )| = 1.

Przykład

Rozpatrzmy macierz obrotu o kąt α w przestrzeni E².

Macierz ta jest macierzą ortogonalną.

Macierzą do niej odwrotną jest macierz obrotu o kąt - α:

ILOCZYN WEKTOROWY W R³

Definicja-1

Iloczynem wektorowym pary wektorów
nazywamy:

- wektor zerowy

w przypadku, gdy wektory
są liniowo zależne,

- wektor prostopadły do
, w przeciwnym przypadku ,

o długości równej iloczynowi długości tych wektorów

i sinusa kąta miedzy nimi zawartego tzn;

90

90

Zwrot iloczynu wektorowego - reguła śruby prawoskrętnej

(obracając prawoskrętnie wektor
do wektora
przez mniejszy kąt,

ruch śruby wyznacza zwrot iloczynu wektorowego
)

Interpretacja geometryczna iloczynu wektorowego Moduł iloczynu wektorowego wektorów
jest równy polu równoległoboku „rozpiętego” na tych wektorach.

Własności iloczynu wektorowego

(1) (2) (3) (4)

Definicja-2

Iloczynem wektorowym pary wektorów w przestrzeni R³

nazwiemy wektor
który w symbolicznej postaci można zapisać następująco:

=

gdzie
są wektorami bazy kanonicznej w R³

(wersorami osi kartezjańskiego ukladu wspólrzędnych).

Przykład

Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów:

= [-10, 11, 8]

Przykład

Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów:
i

gdzie i=[1,0,0] j=[0,1,0] k=[0,0,1]

Stąd:

Przykład

Obliczyć kąt
między wektorami

• obliczamy długości wektorów a i b

a =
, b =

• obliczamy iloczyn wektorowy

• określamy moduł iloczynu wektorowego

• ze wzoru
  znajdujemy

sin

0,6334

stąd:

39
18', lub

140
42'

rozwiązaniem jest drugi kąt gdyż iloczyn skalarny tych wektorów jest ujemny (-11).

Przykład

Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach:

A = (2, 7, -1), B = (0, 3, 5), C = (-1, 4, 3)

Korzystamy z geometrycznej interpretacji iloczynu

dwóch wektorów, np.

B

A

C

Stąd

Prostopadłość i równoległość wektorów w R³

Korzystając z tego że:

Możemy sformułować warunki na prostopadłość i równoległość wektorów

Prostopadłość wektorów: czyli:

Równoległość wektorów: czyli:

Wzory te można uogólnić na przestrzenie wyższych wymiarów.

Iloczyn mieszany wektorów w R³

Iloczyn mieszany trójki wektorów oznaczamy jako

i definiujemy za pomocą iloczynu skalarnego i wektorowego

Można wykazać że dla trzech wektorów:

iloczyn mieszany można wyrazić za pomocą wyznacznika

Geometryczna interpretacja iloczynu mieszanego

Moduł iloczynu mieszanego jest równy objętości V równoległościanu rozpiętego na wektorach
tzn.

Własności iloczynu mieszanego (1) (2) (3) (4) (5)

Nasze dotychczasowe rozważania można uogólnić wprowadzając pojęcie k-objętości jako miary obszaru rozpiętego na k-wektorach
np.

1. objętość : długość wektora

2. objętość : pole równoległoboku

3. objętość : objętość równoległościanu

W celu określenia uniwersalnego wzoru na k-objętość zdefinujemy najpierw macierz Grama układu wektorów
jako:

Wówczas k-objętość daje się wyrazić wzorem:

13