STATYSTYKA - wykłady

L.Gruszczyński „Elementy statystyki dla socjologów”

Dr. Pactwa - pon. i wtorek 09:30 - 11:00 (pok. 217)

1. (08.X)

1. Statystyka - jest to nauka zajmująca się metodami ilościowymi badania prawidłowości zjawisk masowych

2. Badanie statystyczne - ogół prac mających na celu poznanie struktury badanej zbiorowości statystyczne.

3. Zbiorowość statystyczna - zbiór dowolnych elementów, osób, przedmiotów lub faktów, podobnych pod względem określonych cech, ale nie identycznych i poddanych badaniu statystycznemu

1. zbiorowość generalna (populacja) - wszystkie elementy, będące przedmiotem badania, co do których chcemy formułować wnioski

2. zbiorowość próbna (próba) - podzbiór populacji generalnej obejmujący część jej elementów wybranych w określony sposób. (wybór celowy i kwotowy lub losowo)

4. Rodzaje badania statystycznego:

1. całkowite (wyczerpujące) - gdy obserwacji poddane są wszystkie jednostki populacji generalnej (np. powszechny spis ludności)

2. częściowe (próba)

5. Rodzaje cech statystycznych - właściwości jednostek statystycznych:

1. mierzalne - (ilościowe, kwantyfikowalne) można je wyrazić przy pomocy odpowiednich jednostek fizycznych(cm, kg itp.)

• cechy quasi-ilościowe, wyrażające natężenie cechy

2. niemierzalne - (jakościowe) są zwykle określanie słownie(płeć, wykształcenie, wiek)

3. skokowe - (dyskretne) przyjmują skończony lub przeliczany zbiór wartości na danej skali liczbowej (ilość dzieci)

4. ciągłe - przyjmują każdą wartość z określonego przedziału liczbowego (waga)

6. Cele badania statystycznego -

• poznanie rozkładu zbiorowości pod względem wybranych cech

• ustalenie jakiego rodzaju związki występują między cechami (współzależność cech)

• porównywanie i porządkowanie obiektów wielorodnych

• poznanie dynamiki zbiorowości

7. Etapy badania statystycznego:

1. przygotowanie badań

• sformułowanie celu badawczego (postawienie pytań i hipotez)

• określenie rzeczowego, przestrzennego i czasowego zasięgu badań

• rodzaje wykorzystywanego materiału badawczego i metod jego gromadzenia

• określenie sposobu opracowania i prezentacji zebranego materiału

• określenie metod analizy tego materiału

• określenie reguł wnioskowania

2. gromadzenie materiału badawczego - materiał pierwotny (pozyskany przez nas) lub wtórny (już istniejący)

3. opracowanie i prezentacja zebranego materiału

• podział uporządkowanego materiału według kryteriów na podstawie interesujących nas cech

• zliczenie pogrupowanych danych

• interpretacja zebranego materiału i pogrupowanie wartości (tabele lub wykresy)

opis statystyczny (analiza badanej zbiorowości) - oblicznie miar czyli charakterystyk opisowych badanej zbiorowości (statystyka opisowa)

wnioskowanie statystyczne - zastosowanie testów na podstawie których dokonuje się uogólnień do całe zbiorowości

2. 15.X

1. Grupowanie statystyczne:

1. grupowanie typologiczne - ma na celu wyróżnienie jednorodnych grup jakościowych

2. grupowanie wariancyjne - ma na celu uporządkowanie badanej zbiorowości i poznanie jej struktury. Polega na łączeniu w klasy jednostek statystycznych o odpowiednich wartościach cech statystycznych

2. Szeregi statystyczne - występują przy użyciu grupowania wariancyjnego. Jest to ciąg wielkości statystycznych uporządkowanych według określonego kryterium. Rodzaje szeregów statystycznych:

1. szereg szczegółowy - uporządkowanych ciąg wartości badanej cechy statystycznej, w wypadku małej ilości danych. Można go uporządkować malejąco lub rosnąco.

2. szereg rozdzielczy - zbiorowość statystyczne podzielona na części (klasy) według określonej cechy mierzalnej jakościowej lub ilościowej, z podaniem liczebności dla każdej z wyodrębnionych klas (rozkład empiryczny)

• szereg rozdzielczy I typu - każdy wariant cechy stanowi osobną klasę

• szereg rozdzielczy II typu - występują przedziały „od/do”, które zawsze mają dolną granicę (x_d) i górną. Różnica między dolną a górną granicą to rozpiętość przedziału (l).

3. Przedstawienie graficzne wyników

1. histogram (wykres słupkowy)- zbiór prostokątów, których podstawy są wyznaczone na osi odciętych, stanowiąc rozpiętości poszczególnych przedziałów klasowych. Natomiast wysokości są określone na osi rzędnych, przez liczebności odpowiadające poszczególnym przedziałom klasowym

2. wielobok liczebności - linia łamana powstała z połączenia punktów, których współrzędnymi są środki przedziałów klasowych (x_i`), czyli średnia arytmetyczna (dolna granica +górna granica / 2)

3. szereg skumulowany - szereg powstały z szeregu rozdzielczego przez kolejne dodawanie (kumulowanie) przedziałów klasowych oraz odpowiadających im wartości (n_cum)

4. Opis struktury badanej grupy - opisujemy przy pomocy parametrów. Jednym z nich są miary tendencji centralnej:

1. średnie klasyczne:

• średnia arytmetyczne

• średnia harmoniczna

• średnia geometryczna

2. średnie pozycyjne (zajmują w szeregu szczególną pozycję)

• dominanta - wartość tej zmiennej, która w szeregu statystycznym występuje najczęściej

x_d = dolna granica przedziału najliczniejszego

l = rozpiętość przedziału najliczniejszego

n₀ = liczebność najliczniejszego przedziału

n_n-1 = liczebność przedziału poprzedzającego najliczniejszy

n_n+1 = liczebność przedziału po najliczniejszym

• kwartyle

Q₁ - wartość szeregu dzieląca zbiorowość na dwie części tak, że ¹\₄ ≤ Q₁ ≥ ³\₄

Q₃ - wartość szeregu dzieląca zbiorowość na dwie części tak, że ³\₄ ≤ Q₁ ≥ ¹\₄

• mediana - wartość środkowa, która dzieli szereg na dwie równe liczebnie części - część wartości równych i mniejszych niż mediana i część wartości równych i większych niż mediana

x_d = dolna granica przedziału mediany

ⁿ\₂ = wyraz środkowy

n_cum-1 = liczebność skumulowana w przedziale poprzedzającym przedział mediany

n_M = liczebność zwykła przedziału mediany

3. 22.X

1. Miary rozproszenia (zróżnicowania): Pozwalają na uogólnienie różnic w wartościach cechy, zaobserwowanych u jednostek w badanej zbiorowości. Klasyczne (odchylenie klasyczne, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności) i pozycyjne (rozstęp, odchylenie ćwiartkowe, współczynnik zmienności dla miar pozycyjnych)

1. klasyczne:

• odchylenie przeciętne (odchylenie średnie) - średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej szeregu. Kolejność postępowania:

• wyliczamy średnią arytmetyczną szeregu

• od poszczególnych wartości zmiennej odejmujemy obliczoną średnią

• obliczone odchylenia sumujemy ignorując znaki

• dzielimy przez liczebność szeregu

• wariancja - średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od ich średniej arytmetycznej

• odchylenie standardowe - pierwiastek kwadratowy wariancji, zmodyfikowany o poprawkę Sheparda, czyli o ile różnią się przeciętnie wartości cech od średniej arytmetycznej

l = rozpiętość przedziału klasowego

• współczynnik zmienności - wyraża się go w %, im więcej procent tym większe jest zróżnicowanie

2. pozycyjne:

• rozstęp:

• odchylenie ćwiartkowe - tu badamy tylko połowę ilości przypadków, ale dobre, gdy przedziały są niedomknięte

• współczynnik zmienności dla miar pozycyjnych - czyli stosunkowe odchylenie ćwiartkowe

M = mediana

Q = odchylenie ćwiartkowe

4. 29.X

1. Miary asymetrii

1. asymetria rozkładu- określana przez porównywanie x_A, m i D:

• jeżeli x_A=M=D - szereg symetryczny.

• jeżeli x_A>M>D - rozkład o asymetrii prawostronnej

• jeżeli x_A<M<D - rozkład o asymetrii lewostronnej

2. rozkłady symetryczne - to takie, w których obserwacje rozłożone są równomiernie po obu stronach osi symetrii.

3. rozkłady asymetryczne -

• I - większość obserwacji znajduje się w przedziałach położonych bliżej początku szeregu, większość cech ma wartości i niskich nominałach.

• II - przedział klasowy zawierający największą liczbę obserwacji przesunięty jest w prawo - w ostatnich przedziałach

• Rozkłady bimodalne - dwa wyraźne punkty skupienia

• rozkłady siodłowe - posiada dwa punkty skupienia obserwacji znajdujące się w krańcowych przedziałach (pierwszym i ostatnim)

• rozkład równomiarowy - we wszystkich przedziałach występuje ta sama liczba obserwacji.

• asymetria dodatnia - punkt skupienia znajduje się prze niskich wartościach cechy

• asymetria ujemna - punkt skupienia znajduje się przy wyższych wartościach cechy.

4. miernik skośności - jest podstawowym miernikiem asymetrii rozkładu

• M_s = 0 - symetria

• M_s >0 - asymetria prawostronna

• M_s <0 - asymetria lewostronna

5. współczynnik skośności - siła i kierunek skośności

W_s∈ (-1, 1)

S = odchylenie standardowe

W_s = 0 - symetria

6. pozycyjna miara asymetrii

As∈ (-1,1)

As∈ (-1,0> - asymetria lewostronna

As∈ <0,1) - asymetria prawostronna

7. moment centralny trzeci w jednostkach standardowych - najdokładniejsza miara, bo uwzględnia wszystkie wartości

α₃∈ (-2,2) - im bliższy 0 tym asymetria jest słabsza

2. Miary koncentracji - jak bardzo poszczególne obserwacje skupiają się wokół średniej arytmetycznej:

1. kurtoza

K∈(-3,3) - jeżeli K= 3 rozkład normalny

5. 5.XI.

1. Rozkład normalny

1. pole powierzchni pod krzywą wynosi 1, takie też jest prawdopodobieństwo, że zmienna znajdzie się w przedziale zawierającym się pod krzywą, czyli (-∞,+∞). Sigma (δ) to odchylenie standardowe w rozkładzie normalnym i od (-δ,+δ) znajduje się 68,26% przypadków (po 34,13% po każdej stronie osi symetrii)

2. Oś symetrii rozkładu normalnego to średnia arytmetyczna (= mediana = dominanta). Dany jest rozkład normalny X: N(x_A, δ)

6. 21.XI.

1. Estymacja parametrów - rodzaj wnioskowania polegający na szacowaniu parametrów populacji generalnej na podstawie statystyk z próby.

1. estymacja punktowa - znalezienie konkretnej liczby dla każdego szacowanego parametru.

D(Tn) - błąd standardowy szacunku

T - konkretna wartość statystyki tego parametru w próbie

2. estymacja przedziałowa - wyznaczenie przedziału, w którym z pewnym prawdopodobieństwem znajduje się parametr estymowany. Występuje tu przedział ufności i współczynnik ufności, a długość przedziału ufności wynosi:

Q - szacowany parametr

P = 1-α - współczynnik ufności

t +/-z_αD(Tn) - granice przedziału ufności

z_α - zmienna standaryzowana (wartość krytyczna)

7. Testy ℵ²

1. dla tabeli, dane ilościowe i jakościowe

1.

2.

n_e - liczebności empiryczne, rzeczywiście zaobserwowane w pomiarach

n_t - liczebności teoretyczne, oczekiwane w poszczególnych komórkach

k - kolumny

w - wiersze

ℵ²_obl > ℵ²_α - nie ma przesłanek do przyjęcia H₀, przyjmujemy H₁

2. dla szeregu, dane ilościowe (rozkład normalny)

ss = k - r - 1; gdzie r to liczba parametrów, a k to liczba kolumn

• Dla ostatniego wiersza nie obliczamy z;

• Dystrybuanta f(z_i) (z tablic) odejmowanie lub dodawania do z (w zależności od znaku)

• P_i w pierwszym wierszu = D (dystrybuanta)

• kolejne wiersze = D_n - D_n-1

• ostatni wiersz = 1- D_poprzedniego

• suma prawdopodobieństw musi być równa 0

8. Siła korelacji

1. Współczynnik korelacji c Pearsona. <-1;1> , siła związku:

2. Współczynnik korelacji r:

mniejsza z różnic (k - 1) lub (w - 1)

3. Współczynnik korelacji V²

mniejsza z różnic (k - 1) lub (w - 1)

4. Związek między cechami ilościowymi - współczynnik korelacji r Pearsona

r = 0 - nie ma związku

r = 1 - związek całkowity dodatni (jak jeden w rośnie to drugi też)

r = -1 - związek całkowity ujemny

0< r >1 - korelacja dodatnia niedoskonała

-1< r >0 - korelacja ujemna niedoskonała

0< r >0,2 - bardzo słaba

0,2< r >0,3 - słaba

0,3< r >0,5 - średnia

0,5< r >0,7 - silna

0,7< r >1 - bardzo silna

9. LICZENIE ZADANIA Z DANYMI ILOŚCIOWYMI W TABLICY KORElACJI

1. Wyznaczamy środki przedziałów klasowych x_i i y_i.

2. Wyznaczamy punkty wyjściowe (arbitralne) x₀ i y₀, czyli środki przedziałów przedziału środkowego (w przypadku liczby parzystej np.4 wziąć drugi lub czwarty).

3. Obliczamy wartości odchyleń u_i i v_i, poszczególnych środków przedziałów klasowych od ich punktów arbitralnych wg:
   

4. Obliczamy iloczyny odchyleń i właściwych im liczebności w przedziałach (n_iu_i i n_iv_i)

5. Obliczamy iloczyny kwadratów odchyleń i liczebności w przedziałach

6. Obliczamy iloczyny odchyleń cechy x i cechy y: u_iv_i (dla każdej komórki) a liczebności te zapisujemy w lewych górnych rogach komórki tablicy

7. Wpisany w lewym górnym roku iloczyn (u_iv_i) mnożymy przez liczebność a wynik mnożenia wpisujemy w prawym dolnym rogu komórki

8. Wpisany w prawych dolnych rogach komórek iloczyny - n_iu_iv_i - sumujemy w poziomie i pionie a wyniki sumowań zapisujemy w ostatnim wierszu i ostatniej kolumnie i to też sumujemy

9. Sprawdzamy poprawność obliczeń poprzez porównanie sumy w ostatnim wierszu i ostatniej kolumnie. Powinny się równać.

---