Równania ciągłości

Przy przepływie płynu ściśliwego zakładamy, że płyn wypełnia całkowicie przestrzeń, albo jej określoną część. Warunek ten nazywany jest warunkiem ciągłości przepływu.

Jeżeli w pewnym określonym odcinku czasu wydatek objętościowy płynu wypływającego przez pewną określoną zamkniętą powierzchnią przestrzenną będzie większy od wydatku płynu dopływającego, wówczas w obszarze wewnątrz tej powierzchni nastąpi zmiana gęstości ρ.

Powyższe możemy przedstawić analitycznie w postaci równania różniczkowego zwanego równaniem ciągłości przepływu

(1)

Rozważmy określoną w przestrzeni, zamkniętą elementarną objętość w kształcie prostokątnego równoległościanu o bokach dx, dy, dz (np.) przez którą przepływa dowolny płyn ściśliwy.

Rys.1

Niech w jednostce czasu przepływa w kierunku osi x przez elementarną powierzchnię dy dz lewej ścianki masa płynu ρv_x

Rys. 2

Ponieważ ρv_x jest funkcją współrzędnych i czasu tzn.

, (2)

więc dla określenia masy płynu przepływającego w kierunku osi x w jednostce czasu przez elementarną objętość dy dz prawej ścianki trzeba współrzędną x w funkcji f( x, y, z, t) powiększyć o dx, czyli

tzn. że w jednostce czasu przez elementarną objętość prawej ścianki przepływa w kierunku osi x masa płynu równa
(3)

Rys.3

Różnica pomiędzy masą płynu wypływającego i dopływającego jest równa

(4)

W czasie dt przez ścianki o powierzchni dy dz wypływa w kierunku osi x masa płynu

(5)

Analogicznie, różnicą pomiędzy wypływającym i dopływającym w czasie dt wydatkiem masowym płynu w kierunku osi y i z określają zależności:

(6)

. (7)

Jeżeli zsumujemy wyrażenia (5), (6) i (7) otrzymamy całkowitą różnicę pomiędzy masą płynu, która wypłynęła i dopłynęła w czasie dt. Mamy:

. (8)

Od różnicy mas płynu wypływającego i dopływającego zależy masa płynu znajdującego się wewnątrz równoległościanu. Istotnie jeżeli w chwili t gęstość była
wówczas w chwili t+dt gęstość będzie równa

(9)

a zatem masa płynu wewnątrz równoległościanu zmieni się w czasie dt od wartości
do

(10)

czyli o wielkość

(11)

Zgodnie z warunkiem ciągłości różnica pomiędzy masą wypływającego wpływającego płynu powinna być zmianie masy płynu w równoległościanie.

Przyrównując odpowiednie wyrażenia otrzymamy

(12)

lub

(13)

Równanie (13) nazywamy równaniem różniczkowym ciągłości dla płynu ściśliwego.

Jeśli przepływ jest ustalony to
i równanie ciągłości przyjmuje postać

(14)

lub w formie wektorowej

(15)

Równanie ciągłości (13) lub (14) można przedstawić w innej postaci. Postać tą możemy otrzymać przez wykonanie różniczkowania w równaniu (13). Otrzymujemy wówczas

(16)

Stwierdzając, że pierwsze cztery składniki stanowią pochodną zupełną (substancjalną) gęstości ρ(x,y,z,t) względem czasu t otrzymamy równanie ciągłości w postaci

(17)

Jeśli względną zmianę objętości płynu w jednostce czasu wyrazić przez współczynnik rozszerzalności objętościowej

(18)

Podstawiając równanie (18) do (17) znajdujemy

(19)

Niech masa małego poruszającego się elementu płynu o objętości
będzie
(20)

Zgodnie z prawem zachowania masy (Łomonosov 1748r)

(21)

Wówczas różniczkując zależność (20) mamy

(22)

Stąd przy uwzględnieniu równania (19)

(23)

co oznacza, że Θ charakteryzuje prędkość rozszerzania się jednostki objętości i dlatego nazywamy ją współczynnikiem rozszerzalności objętościowej.

Przy użyciu tego oznaczenia równanie ciągłości (17) przyjmuje postać:

(24)

W przypadku szczególnym, gdy płyn jest nieściśliwy, tzn.
, współczynnik rozszerzalności objętościowej Θ jest równy zero, czyli

Otrzymujemy wtedy najprostszą postać równania ciągłości:

(25)

lub w formie wektorowej

(26)

Równanie (25) i (26) nazywamy równaniem ciągłości dla płynu nieściśliwego.

Dla przepływów ustalonych jednowymiarowych w przewodach o zmiennym przekroju warunek ciągłości można napisać w postaci:

(27)

lub

(28)

gdzie A₁, A₂ powierzchnia w przekrojach 1 i 2 przewodu hydraulicznego.

Zestawienie postaci równania ciągłości przepływu płynu możemy porównać ich stopień złożoności.

(13)

(14)

(15)

(17)

(24)

(25)

(26)

---