WYKŁAD 12 .

1.Drgania skrętne wału z krążkami jako układu o kilku stopniach swobody .

Wiele zagadnień dotyczących dynamiki silników spalinowych ( samochodowych , lotniczych ) , turbin parowych , pomp odśrodkowych , maszyn elektrycznych , silników okrętowych , można sprowadzić przy dopuszczalnym uproszczeniu do przypadku drgań skrętnych wału z dowolną liczbą krążków sztywno na nim osadzonych ( rys.12.1.) .

Rys.12.1.Rysunek uproszczony wału z osadzonymi na nim krążkami .

W odróżnieniu od omówionych wcześniej zagadnień drgań skrętnych wału o jednym stopniu swobody ( rys.12.2.) , utwierdzonym jednostronnie , przeanalizujemy teraz układ z dowolną liczbą stopni swobody .

Rys.12.2.Wał utwierdzony o 1 stopniu swobody (a) i jego model (b) .

Przyjmijmy dla opisania układu następujące oznaczenia :

• masowe momenty bezwładności krążków I₁ , I₂ , I₃ , ... , I_n-1 , I_n ;

• kąty obrotu krążków ϕ₁ , ϕ₂ , ϕ₃ , ... , ϕ_n-1 , ϕ_n ;

• stałe sprężystości ( sprężyste sztywności skręcania ) χ₁ , χ₂ , χ₃ , ... , χ_n-2 , χ_n-1 ;

Równania różniczkowe ruchu można napisać wychodząc z równań Lagrange'a , albo wprost , stosując zasadę Newtona - d'Alemberta , uwzględniając odpowiednie sprzężenia w układzie .

UWAGA : Układy wirujące nazywamy układami półokreślonymi - bo pierwsza częstość drgań jest przyporządkowywana prędkości ruchu obrotowego .

Układ n równań ruchu tarcz :

(12.1)

Dodając stronami równania ze sobą , stwierdzamy , że zachodzi równość :

(12.2)

Równanie (12.2) wyraża , że moment pędu układu względem osi wału pozostaje w czasie ruchu stały : jeśli scałkować równanie (12.2) , to :

(12.3)

Z (12.3) wynika , że suma krętów względem osi wału jest stała .

Przyjmując takie warunki początkowe , aby moment pędu znikał , czyli zakładając , że tylko poszczególne krążki wykonują małe drgania wokół osi , zakładamy rozwiązania w postaci funkcji harmonicznych .

(12.4)

Po wstawieniu przewidywanych rozwiązań (12.4) do (12.1) otrzymujemy układ równań algebraicznych ze względu na nieznane amplitudy .

Z warunków rozwiązalności układu algebraicznego otrzymujemy równanie częstości n-tego stopnia względem λ² .Ma ono postać :

(12.5)

Otrzymujemy wyznacznik :

(12.6)

Rozwiązując wyznacznik ze względu na λ² otrzymujemy w ogólnym przypadku n pierwiastków , czyli n różnych częstości dla n postaci drgań podstawowych układu .

To samo zagadnienie można ująć w nieco inny sposób , wychodząc z jednostki równań ruchu , tzn. z przyrównania do zera sił sprężystości i bezwładności dla poszczególnych krążków przy analogicznych założeniach jak poprzednio . W metodzie tej posługujemy się zasadą Bettiego-Maxwella ( patrz : wytrzymałość materiałów ) , która upraszcza nieco rachunki . W metodzie tej wprowadza się liczbę wpływową α_ij , która oznacza kąt skręcenia krążka wywołany jednostkowym momentem , ale przyłożonym do drugiego krążka . A więc kąt skręcenia ϕ₁ wywołany momentem M przyłożonym do krążka o momencie bezwładności I₂ oznaczamy przez α₁₂ . Według powyższych założeń mamy n prostych liczb wpływowych α_ii oraz 2n liczb wpływowych krzyżowych α_ij i α_ji . Wiemy z wytrzymałości materiałów , że przemieszczenie uogólnione jest funkcją sił uogólnionych , a więc

(12.7)

przy czym w/g Bettiego-Maxwella

(12.8)

Dla każdego układu można znaleźć liczby wpływowe , stosując jedną z metod z wytrzymałości materiałów .

Newtonowskie równania ruchu układamy z warunku przyjmowania wartości zerowej przez sumę sił bezwładności

(12.9)

oraz sił sprężystości , wyrażających się za pomocą współczynników, którymi są liczby wpływowe . Przyjmijmy więc , że w położeniach masy krążków mają przyspieszenia . Z d'Alemberta i zasady superpozycji ciąg przyjmuje postać :

(12.10)

Równania te określają poszukiwane odkształcenia . Jeśli założyć rozwiązanie szczególne w postaci :

(12.11)

to :

(12.12)

Podstawiając (12.11) do (12.10) po uproszczeniu otrzymamy :

(12.13)

Otrzymany układ równań jest jednorodny ze względu na poszczególne amplitudy A₁ , A₂

, A₃ , ..., A_n i jego rozwiązanie jest możliwe , jeżeli wyznacznik charakterystyczny równy

jest zeru :

(12.14)

UWAGA : Otrzymamy stad równanie cząstkowe n-tego stopnia względem λ² , które da nam ( jak poprzednio ) n różnych postaci drgań , określonych za pomocą n różnych ilorazów znajomych amplitud , czyli :

(12.15)

Jako przykład rozważymy układ trzech mas wirujących . Układ ten przedstawiony jest

na rysunku 12.3:

Rys.12.3.Układ trzech mas .

Poszukiwane odkształcenia mają postać :

(12.16)

Przyjmując rozwiązanie szczególne typu (12.11) i podstawiając je do układu równań

(12.16) otrzymujemy układ trzech równań jednorodnych

(12.17)

(12.18)

W wyniku rozwiązania wyznacznika (12.18) otrzymujemy w przypadku pierwszej meto-

dy równanie częstości w postaci :

(12.19)układ półokreślony , -dwie częstości rezonansowe.

(12.20)

Postacie drgań :

(12.21)

I₁

I₂

I₃

I_n-1

I_n

χ₁

χ₂

χ_n-1

ϕ₁

ϕ₂

ϕ₃

ϕ_n-1

ϕ_n

...

...

G,B,χ

c

b

a)

b)

I₁

I₂

I₃

χ₁

χ₂

ϕ₁

ϕ₂

ϕ₃