W(3-4)SEM1, Politechnika Warszawska- Ochrona Środowiska, matematyka- wykłady


UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

I UKLADY CRAMERA

1) Rozwiązywanie metodą macierzową układu równań Cramera (n równań z n niewiadomymi i nieosobliwą macierzą współczynników A):

0x01 graphic

2) Rozwiązywanie za pomocą gotowych wzorów Cramera :

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic

- wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B.

Szkic dowodu:

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

II UKLADY OGÓLNE (twierdzenie Kroneckera-Capelliego)

Podamy teraz warunki rozwiązalności ogólnego układu równań liniowych, zapisanego w symbolice macierzowej, tzn. 0x01 graphic
0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
jest zadaną macierzą współczynników układu, 0x01 graphic
- zadanym wektorem kolumnowym wyrazów wolnych, 0x01 graphic
- wektorem kolumnowym niewiadomych.

Zdefiniujmy w tym celu macierz utworzoną z macierzy A przez dołączenie do niej dodatkowej 0x01 graphic
kolumny wyrazów wolnych B . Będziemy ją oznaczać przez U i nazywać macierzą uzupełnioną (rozszerzoną), czyli

0x01 graphic
.

Twierdzenie (Kroneckera-Capelliego). Mogą zajść dwa przypadki:

  1. układ rozwiązalny: 0x01 graphic
    ,

  2. układ sprzeczny: 0x01 graphic

(ściślej: 0x01 graphic
)

W przypadku 1):

układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie 0x01 graphic
,

układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 0x01 graphic
parametrów

0x01 graphic

Podamy algorytm uzyskania rozwiązań w przypadku 1):

  1. Niech M jest podmacierzą kwadratową stopnia r macierzy współczynników A o wyznaczniku różnym od 0, zwaną macierzą bazową (istnieje, bo 0x01 graphic
    ). Zmienne, których współczynniki występują w tej macierzy nazywamy zmiennymi bazowymi (jest ich r).

  2. Usuwamy z układu te równania, których współczynniki nie wchodzą w skład macierzy M, otrzymując układ równań równoważny wyjściowemu.

  3. Przyjmujemy jako dowolne parametry rzeczywiste te zmienne niebazowe (jest ich 0x01 graphic
    ), których współczynniki nie występują w macierzy bazowej M i składniki z tymi parametrami przenosimy do kolumny wyrazów wolnych.

  4. Rozwiązujemy otrzymany w ten sposób układ Cramera stopnia r ze zmiennymi bazowymi i macierzą współczynników M oraz z kolumną wyrazów wolnych zawierających parametry.

METODA ELIMINACJI GAUSSA I JORDANA -GAUSSA

Idea:

Rozwiązywanie układów równań liniowych w oparciu o twierdzenie Kroneckera-Capelliego dla dużej liczby równań i niewiadomych staje się na ogół kłopotliwe. Dlatego w obliczeniach numerycznych stosuje się metodę opartą na sukcesywnej eliminacji (rugowaniu) niewiadomych zwaną metodą elimimacji Gaussa lub metodą Jordana -Gaussa.

Idea tej metody polega na przekształcaniu równoważnym wyjściowego dowolnego układu 0x01 graphic
za pomocą operacji na równaniach (inaczej operacji na wierszach macierzy 0x01 graphic
nie zmieniających jej rzędu) do postaci

0x01 graphic
(w metodzie Gaussa)

gdzie

0x01 graphic
jest tzw. macierzą trójkątną (z zerami pod główną przekątną) oraz

0x01 graphic
(w metodzie Jordana-Gaussa)

z macierzą jednostkową 0x01 graphic
.

Przykład: (skrócony zapis układu: 0x01 graphic
)

0x01 graphic

Tw. K-C: 0x01 graphic
, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie 0x01 graphic

Przykłady:

1) Rozwiązać układy równań (lub stwierdzić, że układ jest sprzeczny):

a) 0x01 graphic
b) 0x01 graphic
.

2) Dany jest układ równań z parametrem 0x01 graphic
:

0x01 graphic
.

Zbadać istnienie rozwiązań i podać rozwiązania, gdy istnieją, w zależności od

parametru m .

3



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
W(5-6)SEM1, Politechnika Warszawska- Ochrona Środowiska, matematyka- wykłady
pytania oczyszczanie wody egz (3), Politechnika Wrocławska, Ochrona Środowiska W7, Semestr V, SOW- w
Materiały do wykładów z Aparatury w ochronie środowiska Wykład I i II (1), Politechnika Wrocławska,
7. Formy ochrony przyrody, Studia, Polibuda Politechnika Warszawska, chemia środowiska
chemia organiczna w biochemii, Politechnika Wrocławska, Ochrona Środowiska W7, Semestr III, Biochemi
Ochrona Środowiska 2012 wyklad 3
II O- Biochemia cwiczenie 5, Politechnika Wrocławska - ochrona środowiska, biochemia - laboratorium
II O- Biochemia cwiczenie 1, Politechnika Wrocławska - ochrona środowiska, biochemia - laboratorium
ochrona srodowiska test 2A, iś pw, semestr I, Ochrona Środowiska, zaliczenie wykładów
ochrona srodowiska test 1B, iś pw, semestr I, Ochrona Środowiska, zaliczenie wykładów
zagrożenia bhp przy robotach, Politechnika Warszawska, Organizacja Placu Budowy, Wykład
plac konsp folie, Politechnika Warszawska, Organizacja Placu Budowy, Wykład
Ochrona środowiska (2), Studia Wnig Gig, semestr 2, ochrona środowiska, OŚ wykłady
II O- Biochemia cwiczenie 4, Politechnika Wrocławska - ochrona środowiska, biochemia - laboratorium
Zagrożenia i ochrona środowiska abiotycznego Wykład 1
Ochrona Środowiska 2012 wyklad 1
Ochrona Środowiska 2012 wyklad 2
ochrona środowiska przyrodniczego - wykład - 30.10.2006, semestr V
sciaga (2), Studia Wnig Gig, semestr 2, ochrona środowiska, OŚ wykłady

więcej podobnych podstron