Zdanie w sensie logicznym - jest to takie zdanie oznajmujące, któremu można przyporządkować jedną wartość logiczną. (0,1)

Logika jest nauka normatywną - obowiązuje na pewnych zasadach.

Klasyczny rachunek zadań

Znaki :

~ - negacja

^ - koniunkcją (i)

v - alternatywa (lub)

→ - implikacja (jeżeli ... to...)

↔ - równoważność ( wtedy i tylko wtedy gdy)

symbole postaci p,q, r , s, t - zwane zmiennymi zdaniowymi. (reprezentują zdania w sensie logicznym.)

Znaki pomocnicze - (, ), [, ], {, }

Wyrażenie sensowne:

P,q,r,s,t....itp.

~p, pvq , p→q, p ↔q ... itp.

(pvq) →r, [~pv(p→q)]

Sama negacja stoi przed zdaniem jednym, a nie przed wieloma.

Negacja ~ odnosi się do zdania ale nie tylko do pojedynczego, także i do złożonego.

Dowolne dwa zdania proste połączone spójnikiem dają zdanie sensowne.

WL (p)	WL (~p)
1	0
0	1

WL (p)	WL (q)	WL (p^q)
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

WL (p)	WL (q)	WL (pvq)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

WL (p)	WL (q)	WL (p→q)
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

WL (p)	WL (q)	WL (p↔q)
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Implikacja

p → q

p- poprzednik

q - następnik

Zdania równoważne to takie , które mają jednakową wartość logiczną.

Wartościowanie - jest to przyporządkowanie wszystkim zmiennym zdaniowym w danej formule Wartości Logicznych ze zbioru (0,1)

p	q	r
1	1	1
1	0	0
1	1	0
0	0	0
0	1	1
0	0	1
0	1	0
1	0	1

Tautologia - prawo logiczne - jest to taki schemat (formuła) w języku KRZ, że przy dowolnym (każdym) wartościowaniu przechodzi w zdanie prawdziwe.

(p →q) _{^ ~ r}

p	q	r	~r	p→q	(p →q) ^ ~ r
1	1	1	0	1	0
1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	0	0	1	1	1
0	1	1	0	1	0
0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	1	1
1	0	1	0	0	0

p	q	p→q	~q	~p	~q→ ~p	(p→q) ↔ (~q→ ~p)
1	1	1	0	0	1	1
0	0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	1	0
0	1	1	0	1	1	1

Jak zdania wszystkie są prawdziwe to mamy do czynienia z prawem logicznym (prawo transpozycji)

Prawo wyłączonego środka p v ~p

Prawo (zasada) niesprzeczności - ~ (p v ~p)

Prawo transpozycji - (p→q) ↔ (~q→ ~p)

Prawo tożsamości - p→q

Prawo podwójnej negacji - ~~ p→q, p→ ~ ~q ,

Prawo sylogizmu hipotetycznego - (p→q) → [(q→r) → (p→r)]

Prawo de Morgana - ~ (p _^ q) ↔ ~ p v ~ q

~ (p v q) ↔ ~ p _^ ~ q

Prawo przemienności koniunkcji - (p _^ q) ↔ (q _^ p)

Prawo przemienności alternatywy (p v q) ↔ (q v p)

Prawo przemienności równoważności - (p ↔q) ↔ (q ↔ p )

Prawo poprzedzania - p → (q → p)

Prawo przepełnienia - p→ (~ p → q)

Paradoks implikacji - (p → q) v (q → p)

p v (p → q)

Modus ponens - [ p _^ ( p → q)] → ~ q

Mkodus tallens - [( p→ q) _^ ~ q ] → ~ p

Prawo Dunka Scotta - ~ p → ( p → q)

Prawo Pierce`a - [(p → q) → p] → p

Prawda logiczna - zdanie logicznie prawdziwe - jest to takie zdanie , którego schemat w języku KRZ jest Tautologią.

Np. Jeżeli dzisiaj jest czwartek, to jutro będzie piątek.

p → q implikacja q

Jest to zdanie prawdziwe - po pierwsze z tego powodu, że po czwartku zawsze jest piątek i że znaczenie słów czwartek, piątek.

Tego typu zdania, których prawdziwość wynika wyłącznie ze znaczenia słów w danym języku nazywamy zdaniem analitycznie prawdziwym.

Nie jest to prawda logiczna ponieważ to zdanie nie jest tautologią.

Czy zdanie jest prawdą logiczną:

1. Jeżeli Kolumb odkrył Amerykę lub Marco Polo był w Ameryce, to jeśli Kolumb odkrył Amerykę , to Marco Polo nie był w Ameryce.

(p v q) → ( p → ~ q)

2. Jeżeli nieprawda, że logika jest działem matematyki a matematyka jest nauką o liczbach, to logika jest działem matematyki lub matematyka jest nauka o liczbach.

~ (p v q) → p v q

3. Jeżeli Brutus zabił Cezara lub Kasjusz zabił Cezara to Brutus zabił Cezara a kasjusz nie zabił Cezara

( p v q) → (p v ~ q)

Wynikanie logiczne - ze zdaniaZ1 wynika logicznie zdanie Z2 wtedy gdy zdanie w postaci Z1 → Z2 jest Prawdą Logiczną

Np. Jeżeli dzisiaj jest czwartek, jutro będzie piątek

p → q

1 1 1

0 1 0

Niezależnie kiedy wypowiemy, to zdanie wynika

Z1 → Z2

p → q

Zw zdania Z1 wynika zdanie Z2, jeśli zdanie postaci Z1 → Z2 jest prawdziwe i między zdaniami Z1 i Z2 zachodzi pewien związek treściowy.

Zadanie

Z1 - Jeśli Jan jest bogaty to jest inteligentny

Z2 - Jeżli Jan nie jest inteligentny to nie jest bogaty

Z1 → Z2

Z1 (p →q) → (~ q → ~ p)

1	0
p→ q	~ q → ~ p
~ q	~ p
p	q

Sprzeczność

Wniosek:

Schemat jest tautologią, a zatem ze zdania Z1 wynika zdanie Z2

Z2 → Z1

(~ q → ~ p) → ( p → q)

1	0
~ q → ~ p	p→ q
p	q
~ q	p

Sprzeczność

Ze zdania Z2 wynika logicznie zdanie Z1.

Def. Zdania Z1, Z2, są równoważne Logicznie wtedy gdy zdanie postaci Z1 → Z2 jest Prawdą Logiczną.

Def. Zdania Z1 i Z2 Wykluczają się logicznie wtedy gsdy zdanie postaci Z1 → Z2 jest prawdą logiczną.

Def. Zdania Z1 i Z2 są Sprzeczne logicznie wtedy gdy zdanie Z1 ↔ ~ Z2 jest /?Prawdą Logiczną.

Sprzeczność (Z1 → ~Z2, ~ Z2 → Z1)

Def. Zdanie Z1 i Z2 Dopełniają się Logicznie wtedy gdy zdanie ( ~ Z1 → Z2) jest Prawdą Logiczną.

Zdania sprzeczne logicznie to są takie zdania, które jednocześnie się dopełniają i wykluczają.

Sylogistyka Arystotelesa

Zdania kategoryczne:

Każdy czł. Jest śmiertelny

Żaden bocian nie jest ssakiem

Niektórzy filozofowie nie są logikami.

Zdanie ogólno twierdzące

Każde S jest P S a P

Zdanie S nie jest P S e P

Niektóre S są P S i P

Niektóre S nie są P S o P

Nazwa jest wyrażeniem , które w zdaniu podmiotowo - orzeczeniowym A jest B może pełnić rolę podmiotu A lub orzecznika B.

Desygnat nazwy - jest to obiekt oznaczony daną nazwy ( tj. o tym obiekcie można wypowiedzieć daną nazwę zgodnie z prawdą. Nazywamy nie tylko obiekty materialne ale też abstrakcyjne,.

Nazwy których desygnatami są obiekty , nazwy abstrakcyjne nazywają się nazwami abstrakcyjnymi. W odróżnieniu od nazw konkretnych.

Ze względu na liczbę desygnatów dzielimy nazwy na

- ogólne - więcej niż 1 desygnat

- jednostkowe - 1 desygnat

- puste - 0 desygnatów

Spór o powszechniaki bardzo głośny w średniowieczu jest to spór o nazwy abstrakcyjne ( czy SA puste czy nie)

Do nazw pustych należą nazwy wewnętrzne, sprzeczne np. czerwona zieleń, dwuletni starzec, syn bezdzietnej matki.

Nazwy mające jeden desygnat, kosmos, stolica Polski.

Kwadrat logiczny:

SaP ↔ ~ (SoP)
SeP ↔ ~ (SiP)

SaP → SiP

SeP → SoP

SaP → ~ (SeP)

~ (SiP) → SoP

SiP ^ Sap → SiP

SiP ^ SeP → SoP

SiP ^ Sap → Sep

SiS ^ ~ (SiP) → SoP

Zdania wykluczające się - oba fałszywe lub jedno zdanie fałszywe - zdanie przeciwne

Zdanie podprzeciwne - dopełniające się

Np.

Moektóre ptaki nie są ssakami

Pewne ptaki SA ssakimi

Istnieja takie ptaki, które nie są ptakami.

Kwalifikator → V * p(x)

V - istnieje

Daigrammy Venna

Prawdziwe Fałszywe

SaP

SeP

SiP

SoP

---