Wektory, Skalary - wprowadzenie

W fizyce mamy najczęściej do czynienia z dwoma rodzajami wielkości fizycznych: 

wielkościami skalarnymi (zwykłymi liczbami)

wielkościami wektorowymi (opisywanymi albo przez kilka lub więcej liczb, albo rysowanymi jako strzałki)

Wektory są używane do opisu wielkości mających kierunek - np. siła działa w jakimś kierunku, prędkość też wyróżnia określony kierunek ruchu itp.Skalary stosowane są do opisu wielkości bezkierunkowych - np. czas, temperatura itp...

Jak poznać, czy symbol literowy wielkości oznacza wielkość wektorową, czy skalarną?

Wektory	Skalary
Wektory zapisuje się w podręcznikach najczęściej na dwa sposoby: jako literę oznaczającą wielkość fizyczną ze strzałką. - drukiem pogrubionym (często też pochyłym). - np. F (wektor siły F).	Skalary w tekście, to po prostu zwykłe litery, drukowane zazwyczaj czcionką pochyłą - np. m, t, q - czyli masa, czas, ładunek.

Wektory - ujęcie graficzne i ujęcie analityczne

Wektory przedstawia się zazwyczaj na dwa sposoby

ujęcie graficzne: uzyskujemy przez narysowanie strzałki na płaszczyźnie lub w przestrzeni.

ujęcie analityczne: układ dwóch liczb - współrzędnych (na płaszczyźnie), lub trzech liczb (w przestrzeni)

związek między dwoma ujęciami wektora - strzałką wektora (ujęcie graficzne) i liczbami opisującymi położenie początku i końca strzałki.Współrzędne wektora otrzymujemy odejmując od współrzędnych końca wektora, współrzędne początku tego wektora. Współrzędna x - owa wektora na rysunku ma wartość 7 (znajdujemy różnicę współrzędnych końca i początku wektora: 8 - 1 = 7).Współrzędna y - owa w naszym wypadku ma wartość 4(bo 6 - 2 = 4).Ostatecznie więc na powyższym rysunku mamy wektor (7,4).

Oba ujęcia - graficzne i analityczne - są równoważne, tzn. dają zgodne ze sobą wyniki. Zaletą ujęcia graficznego jest lepsze działanie na wyobraźnię, zaletą ujęcia analitycznego jest łatwość obliczeń matematycznych oraz możliwość tworzenia wektorów o więcej niż trzech wymiarach (znacznie trudniej byłoby wyobrazić sobie np. sześciowymiarowe wektory jako strzałki).

Otrzymaliśmy tu wektor o współrzędnych (7,4). Pojawia się jednak pytanie:
Ile takich wektorów jest na płaszczyźnie?

Oczywiste jest, że różnica (7,4) mogła powstać nie tylko jako odejmowanie 8 - 1 i 6 - 2. Mogłoby być przecież 10 - 3 i 155 - 151, -5 - (-12) i 2,5 - (-1,5) itp....

Wektorów (7,4) jest na całej płaszczyźnie wykresu nieskończenie wiele, ponieważ mogą być one zaczepione w różnych punktach (a punktów na płaszczyźnie jest nieskończenie wiele). 

Wszystkie te wektory są sobie równe.

Dwa wektory są sobie równe wtedy, gdy mają równe wszystkie swoje współrzędne.

Wszystkie równe wektory mają takie samo: nachylenie do osi X (albo Y - co na jedno wychodzi) i długość (wartość). Mogą różnić się jednak punktem przyłożenia (zaczepienia). 

Wektory przeciwne

Dwa wektory są przeciwne wtedy, gdy jeden z nich powstaje przez "odwrócenie" drugiego - tzn. koniec pierwszego wektora staje się początkiem drugiego, a początek pierwszego wektora końcem drugiego.

Cechy wektorów przeciwnych: są do siebie równoległe (mają takie same kierunki) i mają takie same długości (wartości), ale posiadają przeciwne zwroty

Suma dwóch wektorów przeciwnych równa jest zero (jest wektorem zerowym).

W + ( -W ) = 0

Jeżeli mamy tylko dwie siły działające na jeden punkt i siły te mają przeciwne wektory, to o siłach takich mówimy, że się równoważą

Wartość wektora

na płaszczyźnie

:

Wartość wektora w przypadku zwykłych wektorów położenia jest po prostu długością tego wektora. Dla wektorów innych (np. prędkości, wektora natężenia pola) jest to liczba symbolizująca tę "długość" jednak w odpowiedniej przestrzeni - np. w przestrzeni prędkości, przestrzeni natężeń pól itp.

Operację pobierania z wektora jego wartości (tzw. modułu wektora) zapisuje się symbolicznie za pomocą kresek otaczających symbol wektora.

Wartość jest szczególnym typem skalara, gdyż:

wartość wektora NIE może być liczbą ujemną!  

Patrząc na wektor graficznie, wartość wektora to liczba mówiąca nam ile wektorów jednostkowych mieści się w naszym wektorze.

W przypadku gdy znamy współrzędne wektora, wtedy jego wartość obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

Czyli:

1. podnosimy wszystkie współrzędne do kwadratu

2. sumujemy uzyskane kwadraty współrzędnych

3. wyciągamy pierwiastek kwadratowy z sumy.

i już mamy długość (wartość) wektora .

Z powyższej recepty na obliczanie długości wektora wynika stąd w sposób oczywisty, że wektor będzie miał wartość (długość) równą zero tylko wtedy, gdy wszystkie jego składowe będą równe zero.

Wektor jednostkowy

Bardzo ważnym rodzajem wektora jest wektor jednostkowy.

Jest to wektor którego długość wynosi 1, a ustawienie w przestrzeni (ew. na płaszczyźnie) jest dowolne. Jest on najczęściej oznaczany literą - jako
, lub  e, czasem i, niekiedy jako jedynka ze strzałką na górze -
  .Wektor jednostkowy jest to idealnym narzędziem matematycznym do wskazywania kierunku, ponieważ zawiera w sobie całą informację o kierunku, przy pominięciu informacji o wartości.

Dowolny wektor w jest równy wektorowi jednostkowemu skierowanemu zgodnie z w pomnożonemu przez długość (wartość) w.

Działania na wektorach

rodzaj działania	zapis i typ wielkości wynikowej	opis wielkości wynikowej
Dodawanie wektorów	Żeby dodać dwa wektory, gdy znamy ich współrzędne, należy dodać odpowiednie współrzędne - x-owe  do x-owych, a y-owe do y-owych (ew. z-owe do z-owych). Na płaszczyźnie (wx, wy) + (ux, uy) =  (wx+ux, wy+uy) W przestrzeni (wx, wy, wz ) + (ux, uy, uz) =  (wx+ux, wy+uy, wz + uz)	W odróżnieniu od dodawania liczb całkowitych wektor-suma wcale nie musi być dłuższy od któregoś z wektorów wyjściowych, a często bywa krótszy. Suma dwóch wektorów może być też wektorem zerowym (mimo, że wektory wyjściowe miały długości różne od zera) Zachodzi to  w dwóch przypadkach: - oba sumowane wektory są zerowe - dodawane wektory są przeciwne - tzn. mają ten sam kierunek i wartość, ale przeciwne zwroty.
Odejmowanie wektorów	Żeby odjąć dwa wektory, gdy znamy ich współrzędne, należy odjąć odpowiednie współrzędne - x-owe  od x-owych, a y-owe od y-owych (ew. z-owe od z-owych). Na płaszczyźnie (wx, wy) - (ux, uy) =  (wx - ux, wy - uy) W przestrzeni (wx, wy, wz ) - (ux, uy, uz) =  (wx - ux, wy - uy, wz - uz)	Wektor-różnica wcale nie musi być krótszy od pierwszego z wektorów wyjściowych. Może być dłuższy. Różnica dwóch wektorów jest równa zero (jest wektorem zerowym) w dwóch przypadkach: oba odejmowane wektory są zerowe odejmowane wektory są równe - tzn. mają ten sam kierunek, zwrot i wartość.
mnożenie wektora przez liczbę Tak samo dzielenie przez liczbę.	otrzymujemy nowy wektor Aby wektor podzielić przez liczbę, mnożymy go przez odwrotność tej liczby	powstaje wektor a razy dłuższy od wektora wyjściowego. Zwrot wektora wynikowego jest: - taki sam jak wyjściowy, gdy a jest dodatnie - przeciwny do wyjściowego, gdy a jest ujemne Wynik może być równy zero (będzie tzw. wektorem zerowym) gdy: - wektor wyjściowy jest równy zero, lub - liczba a jest równa zero
mnożenie skalarne wektorów	otrzymujemy skalar	Powstaje liczba (skalar) o wartości równej iloczynowi wartości obu wektorów razy kosinus kąta między nimi zawartego. Lub inaczej: Iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości jednego wektora mnożonego przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek wyznaczony przez pierwszy wektor (skomplikowane jest to zdanie, ale prościej chyba się nie da...). Iloczyn skalarny stanie się równy Zero, gdy którykolwiek z wektorów wyjściowych jest zerowy, lub wektory są do siebie prostopadłe.
mnożenie wektorowe wektorów (stosuje się  wyłącznie do wektorów w trzech  wymiarach)	otrzymujemy nowy wektor prostopadły do obu wektorów wyjściowych. Długość (wartość) tego wektora wynosi: Uwaga: tak naprawdę efektem mnożenia wektorowego wektorów jest tensor... Ale w uproszczeniu możemy go traktować jako wektor a właściwie tzw. "pseudowektor".	- wartość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych razy sinus kąta między nimi zawartego (ma to sens tylko w trzech wymiarach); - kierunek wektora wynikowego jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory wyjściowe; - zwrot ustalamy w oparciu o regułę śruby prawoskrętnej Interpretacja iloczynu wektorowego 2: Wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora. Wektor zerowy otrzymamy, gdy jeden z wektorów wyjściowych jest zerowy, lub gdy wyjściowe wektory są równoległe.
znajdowanie wartości (długości) wektora gdy znamy jego współrzędne	Długość wektora na płaszczyźnie obliczamy stosując twierdzenie Pitagorasa.  Żeby obliczyć wartość wektora trójwymiarowego trzeba zastosować to twierdzenie dwa razy.	Długość wektora jest równa zero tylko wtedy, gdy wszystkie współrzędne wektora są równe zero Jeśli wektor podany jest w postaci rysunkowej, to trzeba zmierzyć długość strzałki tego wektora, a następnie pomnożyć przez skalę w jakiej został narysowany - np. jeśli centymetr oznacza 3 m/s, to wektor 5 centymetrowy oznacza prędkość o wartości 15 m/s.

Rodzaj działania	zapis	Przykład i komentarz
Dodawanie wektorów		(2 + 3, 5 + (-7)) = (5, -2) Dodajemy odpowiednie współrzędne. Z = (5, -2)
Odejmowanie wektorów		(2 - 3, 5 - (-7)) = (-1, 5 + 7) = (-1, 12) Odejmujemy odpowiednie współrzędne. Z =  (-1, 12)
mnożenie wektora przez liczbę		3 ∙ (2,5) = (6,15) mnożymy przez liczbę, każdą ze współrzędnych wektora. Z = (6,15)
Mnożenie skalarne wektorów	c = wx ∙ vx + wy∙ vy	(2,5) ∙ (3,-7) = 6+(-35)=-29 mnożymy przez siebie współrzędne obu wektorów, a otrzymane iloczyny dodajemy
mnożenie wektorowe wektorów	Wartość wektora Z można obliczyć ze wzoru:	Wartość iloczynu wektorowego wektorów (2,5) i (3,-7) |(2,5) x (3,-7)| = |-14 -15|=|-29|=29 Aby otrzymać wartość iloczynu wektorowego, mnożymy współrzędne "na krzyż", otrzymane iloczyny odejmujemy i wyciągamy wartość bezwzględną z wyniku.
znajdowanie wartości wektora	na płaszczyźnie: w przestrzeni: otrzymujemy skalar	Podnosimy współrzędne do kwadratu, wyniki dodajemy, a otrzymaną sumę pierwiastkujem

---