Ćw.15 : Liniowy splot dyskretny - badanie właściwości

Rys. 1 Prezentacja działania splotu. (a) ciąg delt h[n], (b) impuls prostokątny x[n], (c) splot tych ciągów y[n] = x[n]*h[n].

Celem ćwiczenia jest nauczenie rozumienia liniowego splotu dyskretnego i zapoznanie z jego podstawowymi właściwościami, kojarzenia splotu dwóch ciągów z mnożeniem ich widm zespolonych, amplitudowych i mocy, a dodawaniem widm opóźnieniowych, oraz kojarzenia filtracji ze splotem dwóch ciągów jak również zapoznanie z metodą analizy filtrów liniowych opartą o charakterystykę częstotliwościową rozumianą jako transformata ich odpowiedzi impulsowej.

Splot y[n] dwóch ciągów x[n] oraz h[n], zapisuje i definiuje się następująco:

(1)

W przypadku, gdy oba splatane ciągi są przyczynowe i ograniczone (, , gdzie M > N) to splot można zapisać wzorem

(2)

który jest algorytmem implementacji w dziedzinie czasu.

Kolejność, w jakiej splata się dwa ciągi, nie jest ważna, zachodzi więc równość

(3)

Ważną właściwością operacji splotu jest jego liniowość, spełnia on bowiem, dla dowolnego a i b, zasadę superpozycji:

(4)

Inną ciekawą właściwością splotu jest fakt, że splot przesuniętej delty Kroneckera z dowolnym ciągiem, daje nam w wyniku ten sam ciąg, jedynie przesunięty o wielkość przesunięcia delty

(5)

Zapisując więc ciąg h[n] jako sumę odpowiednio przeskalowanych delt

(6)

można opierając się o właściwości (4) i (5) zaproponować następującą interpretację operacji splotu, przedstawioną na rys. 1: splot x[n]*h[n] jest sumą odpowiednio przesuniętych i przeskalowanych (ważona superpozycja) replik ciągu x[n] (ew. h[n])

(7)

Jeżeli h[n] potraktować jako odpowiedź impulsową filtru cyfrowego, x[n] jako ciąg poddawany filtracji, a y[n] jako odpowiedź filtru na pobudzenie ciągiem x[n], łatwo zauważyć, że zależność (7) jest równaniem różnicowym tego filtru, a y[n] rozwiazaniem tego równania przy zerowych warunkach początkowych. Możemy więc powiedzieć, że filtracja ciągu x[n] jest równoważna jego splotowi z odpowiedzią impulsową filtru. Odpowiedź impulsowa filtru jest jego odpowiedzią na pobudzenie deltą Kroneckera d[n], przy zerowych warunkach początkowych, patrz (5).

Rozpatrując kolejną właściwość splotu mówiącą, że widmo zespolone splotu dwóch ciągów jest iloczynem widm zespolonych splatanych ciągów:

, gdzie oraz

(8)

oczywisty staje się fakt, że jedna z metod badania filtrów polega na fourierowskiej analizie ich odpowiedzi impulsowej (transformata Fouriera odpowiedzi impulsowej filtru jest charakterystyką częstotliwościową tego filtru). Do tego typu analizy służy FRECH (Frequency REsponses CHaracterograph), dokładniej omówiony w innym ćwiczeniu.

1. Badanie podstawowych właściwości splotu

a) Zaobserwować zjawisko przesuwania i rozmnażania impulsu w wyniku jego splotu z ciągiem rzadkich delt. (Wykorzystać ciągi delt Delta1, Delta2, Delta3 oraz impulsy Impuls1 oraz Impuls2.)

b) Na podstawie wielokrotnego splatania impulsu prostokątnego, zaobserwować efekt wydłużania czasu trwania impulsu w wyniku splotu.

2. Splatanie ciągów a mnożenie ich widm zespolonych.

a) Sprawdzić eksperymentalnie, wykorzystując zadane ciągi (Pr - ciąg o widmie prostokątnym i S1 - ciąg szerokopasmowy z wyraźnymi harmonicznymi), czy widmo zespolone (amplitudowe) splotu tych ciągów jest iloczynem widm zespolonym (amplitudowych) ciągów składowych, oraz czy widmo opóźnieniowe splotu jest sumą widm opóźnieniowych jego składowych.

b) Splatając zadane ciągi (x1a oraz x2a) można się przekonać, że splot nie zawsze wydłuża czas trwania impulsu (patrz punkt 1b). Wyjaśnić ten efekt w oparciu o doświadczenie z poprzedniego podpunktu.

c) Zbadać dla jakiego minimalnego stosunku sygnału do szumu, możliwe jest jeszcze wykrycie zadanego impulsu w szumie, przy zastosowaniu filtracji dopasowanej (odpowiedź impulsowa filtru w takim przypadku ma postać , gdzie jest zadanym impulsem).

3. Badanie zależności pomiędzy filtracją a splotem.

a) Wykorzystując zadany filtr (Filtr - zadany przyczynowy filtr cyfrowy) odfiltrować szerokopasmowy ciąg (S1 - ciąg szerokopasmowy z wyraźnymi harmonicznymi). Porównać otrzymany wynik filtracji, ze splotem tego ciągu z odpowiedzią impulsową tego filtru.

b) Wykorzystując FRECH'a przebadać na podstawie odpowiedzi impulsowej używany w poprzednim podpunkcie filtr.

4. Zaobserwować stany przejściowe w splocie (filtracji). Do badań wykorzystać 8-próbkowy impuls prostokątny oraz 64-próbkowy stały przebieg lub sygnał sinusoidalny o pulsacji w  = p/8 i fazie początkowej j = p/2.

Zadanie dodatkowe:

5. W oparciu o zaobserwowane w poprzednich punktach zjawiska, zinterpretować efekt obserwowany w wyniku splotu 8-próbkowego impulsu prostokątnego z 64-próbkowym sygnałem sinusoidalnym o pulsacji w = 3/4p oraz fazie początkowej j  = p/2.

6. Sprawdzić doświadczalnie, że z wszystkich ciągów o jednakowym widmie amplitudowym, a różnych widmach fazowych/opóźnieniowych tylko jeden ciąg splatany z ciągiem ma największy prążek w chwili n = N-1 (filtracja dopasowana, odbiór korelacyjny). Spróbować omówić zaobserwowane zjawisko w oparciu właściwości splotu. Do eksperymentu można wykorzystać ciągi o wymaganych właściwościach widmowych przygotowane przez prowadzącego.

Pomoc do DSPS'a

1) FRECH h.re h.im MdB Faz Grup N

h.re + jh.im - odpowiedź impulsowa badanego filtru

MdB - charakterystyka amplitudowa filtru [dB]

Faz - charakterystyka fazowa filtru [rad]

Grup - charakterystyka opóźnieniowa filtru [Sa]

N - wielkość zeropadingu (powinna być przynajmniej czterokrotnie większa od długości odpowiedzi impulsowej filtru)

2) MULC Wej1.Re Wej1.Im Wej2.Re Wej2.Im Wyj.Re Wyj.Im - multiplikator (funktor mnożenia) dwóch ciągów zespolonych

Wej1.Re + jWej1.Im, Wej2.Re + jWej2.Im - mnożone ciągi zespolone

Wyj.Re + jWyj.Im - wyjściowy ciąg zespolony, iloczyn (wynik mnożenia) ciągów wejściowych

3) WIDMO Wej Widmo.Re Widmo.Im Widmo.Ampl Widmo.Opóź N - N-próbkowy fourierowski analizator widma sygnałów rzeczywistych

Wej - sygnał wejściowy

Widmo.Re + jWidmo.Im - N-prążkowe widmo zespolone ciągu wejściowego

Widmo.Ampl - N-prążkowe widmo amplitudowe ciągu wejściowego

Widmo.Opóź - N-prążkowe widmo opóźnieniowe ciągu wejściowego (w Sa)

N - liczba prążków wyznaczanego widma sygnału wejściowego, powinna być większa od długości ciągu wejściowego oraz potęgą dwójki

---