EKONOMIA MATEMATYCZNA

„PRZEPŁYWY LEONTIEFA”

Rakoczy Tomasz

OE3Z2

Model nakładów i wyników jest nazywany w literaturze także modelem Leontiefa, modelem przepływów międzygałęziowych lub modelem input-output. Ponadto termin "model" często jest zastępowany słowem "analiza".

Twórcą tej powszechnie znanej i stosowanej metody analizy ekonomicznej jest amerykański uczony, laureat nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii Wassily Leontief. Model ten opisuje sposób funkcjonowania złożonych układów gospodarczych. Umożliwia między innymi podanie odpowiedzi na następujące pytania: "ile powinna wynosić produkcja każdej z gałęzi gospodarki, aby całkowity popyt, składany zarówno przez sektor produkcyjny jak i sektor gospodarstw domowych na dobra produkowane przez te gałęzie był zaspokojony?" lub "o ile procent wzrośnie zapotrzebowanie na wyroby skórzane, pracę, maszyny, itp. jeżeli zwiększymy produkcję butów o 10% ?".

Model nakładów i wyników był i jest używany między innymi do:

• badania wpływu jaki będzie miało przejście z produkcji nastawionej na cele wojenne do produkcji cywilnej po Drugiej Wojnie Światowej

• analizy przepływu produktów pomiędzy gospodarkami różnych krajów

• międzygałęziowych analiz przeprowadzanych między innymi przez Bank Światowy, Organizację Narodów Zjednoczonych, Departament Handlu USA

Przykład ilustrujący podstawowe cechy tego modelu.

Rozważmy sytuację gospodarstwa produkującego dwa rodzaje produktów: kukurydzę i nawóz. W produkcji kukurydzy zużywana jest kukurydza oraz nawóz. Z kolei nawóz jest produkowany z kukurydzy (zakładamy, iż kukurydza jest zużywana przez krowy, które wytwarzają cenny nawóz).

Załóżmy, iż do wyprodukowania tony kukurydzy musimy zużyć 0,2 tony kukurydzy oraz 0,8 tony nawozu. Z kolei aby krowy wytworzyły jedną tonę nawozu, muszą skonsumować 0,4 tony kukurydzy, nie zużywają natomiast nawozu.

Każdy z tych dwóch procesów produkcyjnych możemy oznaczyć parą liczb. Proces produkcji kukurydzy możemy opisać jako ( 0,2 ; 0,8 ) natomiast proces produkcji nawozu jako ( 0,4 ; 0 ). W tym momencie możemy zadać sobie następujące pytania:

Czy możemy tak ustawić produkcję aby zaspokojone było zapotrzebowanie na te produkty zużywane w procesie produkcyjnym oraz odłożyć część produkcji do konsumpcji ?

Jeśli tak, jakie kombinacje produkcji obu dóbr są możliwe ?

Odpowiedzi na te pytania możemy uzyskać układając układ równań liniowych. Oznaczmy:

X _K - całkowitą produkcję kukurydzy

X _N - całkowitą produkcję nawozu

Kukurydza jest zużywana do produkcji kukurydzy (w ilości 0,2 * X _K) oraz do produkcji nawozu (w ilości 0,4 * X _N).

Analogicznie rozważając nawóz jest zużywany do produkcji kukurydzy (w ilości 0,8 * X _K) oraz nie jest zużywany do produkcji nawozu (co możemy zapisać 0 * X _N).

Całkowitą ilość kukurydzy pozostawioną do konsumpcji możemy obliczyć jako różnicę pomiędzy całkowitą produkcją kukurydzy X _K a ilością kukurydzy zużytą w procesie produkcyjnym 0,2 X _K , 0,4 X _N. Analogicznie całkowitą ilość nawozu pozostawioną do konsumpcji możemy zapisać jako różnicę pomiędzy całkowitą jego produkcją X _N a jego zużyciem w procesie produkcyjnym 0,8 X _K , 0 X _N.

Jeżeli założymy, iż farma ma produkować pewną ilość każdego z tych produktów do konsumpcji końcowej, np. 10 ton kukurydzy oraz 2 tony nawozu, wówczas możemy ułożyć następujący układ równań:

0,8 X _K - 0,4 X _N = 10

0,8 X _K + X _N = 2

Rozwiązując tak skonstruowany układ równań, jesteśmy w stanie obliczyć ile powinna wynieść całkowita produkcja kukurydzy i nawozu, aby zostały zaspokojone zapotrzebowanie na te dobra wynikające z procesu produkcji oraz do konsumentów trafiła ustalona ilość tych dóbr. Ponieważ jest to prosty układ równań możemy go rozwiązać metodą podstawiania. Wynik będzie następujący:
X _K = 22,5 oraz X _N = 20.

Aby więc wyprodukować wspomnianą wyżej ilość kukurydzy (10 ton) oraz nawozu (2 tony) przeznaczone do konsumpcji, gospodarstwo musi wyprodukować aż 22,5 tony kukurydzy oraz 20 ton nawozu (ze względu na istniejące zależności w procesach produkcji tych dóbr). Przykład ten stanowi doskonałą ilustrację podstaw modelu nakładów i wyników w którym pomijana jest praca.

Podstawowe założenia analizy nakładów i wyników (model zamknięty):

• Wyniki produkcji każdej gałęzi są wykorzystywane jako nakłady przez inne gałęzie oraz co również może mieć miejsce przez tą samą gałąź. Przykład: energia elektryczna wyprodukowana przez elektrownię jest zużywana przez większość innych gałęzi przemysłu oraz także przez nią samą.

• Powyższe założenie sprawia, iż poziom całkowitej (globalnej) produkcji każdej z gałęzi gospodarki będzie uzależniony od wzajemnych zależności w całej gospodarce.

• W celu uproszczenia modelu zakłada się iż każda gałąź wytwarza tylko jeden produkt lub grupę produktów wytwarzanych w niezmieniającej się proporcji. W tym celu zużywa jeden lub wiele produktów również przy uwzględnieniu niezmieniających się proporcji.

• Ponieważ rozważamy model zamknięty, sektor gospodarstw domowych nie jest uwzględniany jako jedna z gałęzi danej gospodarki.

Poniższy diagram w pewnym uproszczeniu stanowi ilustrację zamkniętego modelu nakładów i wyników.

Diagram ten stanowi przykład w jaki mogą kształtować się przepływy dóbr w 5-gałęziowej gospodarce. Strzałki znajdujące się w obrębie zielonego owalu ilustrują przepływy dóbr pomiędzy gałęziami tej gospodarki. Natomiast strzałki pogrubione, wychodzące na zewnątrz owalu stanowią ilustrację popytu sektora gospodarstw domowych na dobra produkowane przez te gałęzie.

Przykładowo do produkcji dobra pierwszego jest zużywane dobro pierwsze, drugie, trzecie oraz czwarte. Wynik produkcji pierwszej gałęzi jest nakładem tejże gałęzi oraz gałęzi drugiej.

Współczynniki nakładów

Przy każdej ze strzałek ilustrujących przepływ dóbr pomiędzy gałęziami przemysłu możemy postawić następujący symbol: a _ij - gdzie i - numer gałęzi z której dane dobro wypływa, j - numer gałęzi do której dane dobro trafia. Są to tak zwane współczynniki nakładów.

Współczynniki nakładów przyjmują wartości z przedziału <0, 1) i są interpretowane w sposób wartościowy. Przykładowo współczynnik a ₂₃ = 0,55 możemy zinterpretować w sposób następujący: do produkcji dobra trzeciego o wartości jednostki pieniężnej (np. 1 złotówki) musi zostać zużyte dobro drugie o wartości 0,55 tej jednostki pieniężnej (np. 55 grosze).

Interpretując współczynniki nakładów możemy przyjąć pewne uproszczenie używając tylko jednostek (przykładowo: do produkcji jednostki dobra trzeciego musimy zużyć 0,32 jednostki dobra drugiego).

Z kolei symbol d i oznacza tą ilość dobra produkowanego przez gałąź i, która trafia do gospodarstw domowych. Przykładowo d ₁ = 100 możemy rozumieć jako popyt sektora gospodarstw domowych na pierwsze dobro w wysokości 100 jednostek pieniężnych (np. 100 zł) oraz w sposób uproszczony jako popyt sektora gospodarstw domowych na 100 jednostek pierwszego dobra.

Na podstawie powyższych założeń możemy skonstruować model matematyczny. Model ten umożliwi między innymi wyznaczanie poziomu całkowitej (globalnej) produkcji dla każdej z gałęzi przemysłu tak aby całkowity popyt sektora produkcyjnego oraz sektora otwartego został zaspokojony na każde z tych dóbr.

Konstrukcja modelu matematycznego

Konstrukcję modelu matematycznego należy zacząć od założenia, iż produkcja całkowita każdej z gałęzi gospodarki musi w całości zaspokoić popyt gospodarstw domowych oraz sektora produkcyjnego na każde z dóbr. Symbol X _i w modelu będzie oznaczać produkcję całkowitą gałęzi i.

Model matematyczny opisujący daną gospodarkę będzie składał się z układu równań liniowych - ich liczba będzie równa liczbie gałęzi przemysłu w danej gospodarce. Po lewej stronie równań umieścimy całkowitą podaż danego dobra natomiast po prawej sumę popytu sektora produkcyjnego oraz sektora gospodarstw domowych na dane dobro. Dla 3-gałęziowej gospodarki będzie to wyglądało w sposób następujący:

Całkowita podaż danego dobra musi być równa całkowitemu popytowi na to dobro. Część popytowa musi zostać uzupełniona w sposób następujący. Uzupełnienie powyższego modelu o popyt sektora gospodarstw domowych nie sprawia problemu. Popyt ten jest równy odpowiednio d ₁ , d ₂ i d ₃ dla kolejnych równań.

Rozpisanie popytu sektora produkcyjnego jest bardziej skomplikowane. Rozważmy pierwsze równanie, w którym po lewej stronie znaku równości mamy całkowitą produkcję pierwszego dobra, po prawej całkowite zapotrzebowanie na to dobro. Całkowity popyt na pierwsze dobro przez sektor produkcyjny może zostać rozbity na całkowity popyt pierwszej, drugiej oraz trzeciej gałęzi gospodarki na to dobro co zostało przedstawione poniżej:

Przykładowo element a ₁₂ X ₂ został zapisany w ten sposób, iż współczynnik nakładów a ₁₂ oznacza ilość jednostek pierwszego dobra niezbędną do wyprodukowania jednostki dobra drugiego. Jeżeli ten współczynnik pomnożymy przez liczbę wszystkich produkowanych jednostek dobra drugiego otrzymamy całkowite zapotrzebowanie drugiej gałęzi przemysłu na pierwsze dobro. Analogicznie możemy rozpisać pozostałe elementy tego układu równań:

Otrzymaliśmy w ten sposób układ równań - matematyczny model analizy nakładów i wyników. Uzyskane rozwiązanie jest w pełni skalowane - dodając lub odejmując równania oraz odpowiednie elementy występujące w tych równaniach możemy dostosować ten układ do opisu zarówno gospodarki składającej się z dwóch jak i przykładowo stu gałęzi przemysłu.

Zakładając, iż na podstawie obserwacji procesów produkcyjnych zostały wyznaczone w danej gospodarce wartości współczynników nakładów oraz został ustalony poziom konsumpcji sektora gospodarstw domowych, można w oparciu o ten model wyznaczyć docelową produkcję całkowitą każdego z tych dóbr ( X ₁ , X ₂ , ... , X _n - dla gospodarki składającej się z n-gałęzi).

Rozwiązanie tego układu w sposób ręczny, już przy trzech gałęziach gospodarki może nastręczać sporo trudności. Natomiast przy rozważaniu modelu składającego się z kilkudziesięciu, kilkuset, kilku tysięcy gałęzi jedynym rozsądnym wyjściem jest użycie komputera do wykonania niezbędnych obliczeń. Jedną z metod jest nieznaczne przekształcenie tego układu równań i użycie metody eliminacji Gauss'a do rozwiązania problemu. Drugą metodą jest zapisanie układu równań w postaci równania macierzowego a następnie wykorzystania algebry macierzy do jego rozwiązania. Drugie rozwiązanie jest bardzo wygodne, ponieważ działania na macierzach są zaimplementowane między innymi w arkuszach kalkulacyjnych i korzystając np. z Excel'a możemy bardzo szybko uzyskać szukane rozwiązanie.

Pierwszym etapem będzie przekształcenie powyższego układu równań do postaci macierzowej. Efekt tego przekształcenia jest następujący:

Uzyskaliśmy w efekcie jedno równanie macierzowe, które stanowi odpowiednik wyprowadzonego wcześniej układu równań. Aby uczynić to równanie przejrzystym i czytelnym, popyt sektora produkcyjnego na każde z tych dóbr został zapisany jako iloczyn macierzy współczynników oraz wektora produkcji całkowitej.

Równanie to możemy zapisać używając następujących symboli:

X - macierz (wektor) produkcji całkowitej (globalnej)

A - macierz współczynników nakładów

d - macierz (wektor) popytu sektora gospodarstw domowych

Zakładając, iż dane są macierz współczynników nakładów ( A ) oraz wektor popytu sektora gospodarstw domowych ( d ) należy to równanie przekształcić do postaci, w której wektor niewiadomych (wektor produkcji całkowitej X ) znalazł się po jednej stronie znaku równości natomiast pozostałe elementy po drugiej stronie. Przy przekształceniach należy pamiętać o regułach działań na macierzach oraz ich własnościach. Wynik przekształceń znajduje się poniżej:

Ostatni wiersz przekształceń jest równaniem, z którego mając dane macierze A i d jesteśmy bezpośrednio w stanie wyznaczyć macierz produkcji całkowitej X. Symbol I występujący w tym równaniu jest macierzą jednostkową (macierz kwadratowa, w której elementy leżące na głównej przekątnej są równe 1 a wszystkie pozostałe są równe 0). Uzyskanie rozwiązania wymaga między innymi odwrócenia macierzy (I-A) oraz pomnożenia jej przez wektor d

Przykład liczbowy rozwiązany przy użyciu działań na macierzach.

Rozważamy gospodarkę składającą się z trzech sektorów: górnictwa, przemysłu energetycznego i hutnictwa. Produkty wytwarzane przez te sektory to kolejno węgiel, energia elektryczna i stal. Gałęzie te są wzajemnie ze sobą powiązane. Wyniki produkcji każdej z nich są potrzebne jako nakłady innych gałęzi i być może nawet w tej samej gałęzi.

Wyprodukowanie jednostki węgla wymaga zużycia 0,3 jednostki energii elektrycznej i 0,15 jednostki stali. Wyprodukowanie z kolei jednostki energii elektrycznej wymaga zużycia 0,5 jednostki węgla, 0,1 jednostki energii elektrycznej oraz 0,05 jednostki stali. Natomiast przy produkcji jednostki stali zużywane są 0,32 jednostki węgla, 0,18 jednostki energii elektrycznej oraz 0,04 jednostki stali.

Popyt sektora otwartego (popyt końcowy zgłaszany np. przez gospodarstwa domowe) jest równy:

Węgiel - 20 jednostek Energia elektryczna - 130 jednostek Stal - 55 jednostek

Ile powinna wynosić produkcja każdej z tych gałęzi, tak aby na rynku nie występowały nadwyżki lub niedobory produktów tych gałęzi?

Rozwiązanie:

Na podstawie treści tego przykładu możemy utworzyć diagram przepływów międzygałęziowych:

Pierwszym etapem jest utworzenie macierzy współczynników nakładów. Kolejność, jaka została przyjęta: I gałąź - górnictwo, II gałąź - przemysł energetyczny i III gałąź - hutnictwo.

Następnie należy uzupełnić wektor popytu końcowego (popytu sektora gospodarstw domowych):

Aby obliczyć poziomy produkcji globalnej dla każdej z tych gałęzi przemysłu, przy których gospodarka będzie się znajdowała w równowadze należy wyznaczyć wartość następującego wyrażenia:

X = (I - A) ^-1 d

Końcowe rozwiązanie przedstawione jest poniżej:

- 3 -

---