PODSTAWY STATYSTYKI

1. Rozkład brzegowy zmiennej losowej X to rozkład prawdopodobieństwa, z jakimi zmienna X przyjmuje swoje wartości bez względu na to jakie wartości przyjmuje zmienna losowa Y.

2. Błąd przypadkowy możemy zaniedbać jeśli: jest dużo mniejszy od błędu systematycznego

3. Błędem bezwzględnym nazywamy różnicę pomiędzy wartością rzeczywistą a wynikiem pomiaru.

4. Populacja to : skończony lub nieskończony zbiór elementów (np. doświadczeń) wszystkich możliwych, z którego pobierana jest próba.

5. Wszystkie dane - wyniki pomiarów można uważać za jeden zbiór w przypadku, gdy wystąpienie każdej danej jest jednakowo prawdopodobne. Tworzą więc one: szereg szczegółowy, nieuporządkowany

6. Odchylenie standardowe zmiennej losowej X opisuje: „szerokość" rozkładu

7. Czy na podstawie otrzymanego histogramu zazwyczaj można rozpoznać typ rozkładu: TAK

8. Współczynnik koncentracji (kurtoza) rozkładu zmiennej losowej X używa się najczęściej zamiast czwartego momentu centralnego

9. Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej Z nazywamy funkcję F(x,y):
   

10. Związek pomiędzy błędem względnym i bezwzględnym to:
    

11. Aby sprawdzić niezależność dwóch zmiennych losowych X i Y wystarczy sprawdzić, czy zachodzi związek
    Jeżeli jest prawdziwy to zmienne są: niezależne

12. Skończony zbiór (elementów) doświadczeń wykonanych w celu określenia kształtu lub parametrów poszukiwanego rozkładu to: próba

13. Funkcją gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X, nazywamy funkcję f(x) wyrażającą się wzorem:
    

14. Zmienną losową jednowymiarową nazywa się funkcję rzeczywistą X = x(), taką, że  należy do zbioru zdarzeń elementarnych. Funkcja ta przyporządkowuje wartości liczbowe zdarzeniom losowym. Musi spełniać warunek, że dla każdych dwóch liczb a i b takich, że a < b istnieje określone prawdopodobieństwo, że zmienna X przybierze wartość z przedziału (a, b).

15. Dla jakich typów zmiennych losowych budowane są szeregi rozdzielcze: zmiennych losowych nieciągłych, zmiennych losowych skokowych, zmiennych losowych dyskretnych, zmiennych losowych ciągłych

16. Współczynnik asymetrii rozkładu zmiennej losowej X to inaczej: skośność

17. Dwuwymiarową zmienną losową Z (ciągłą) nazywamy wektor Z (wektor losowy) o współrzędnych Z(X,Y) taki, że dla dowolnych a<b oraz c<d istnieje funkcja f(x,y), taka, że prawdopodobieństwo, iż zmienna losowa X przyjmie wartości z przedziału (a,b) i równocześnie zmienna losowa Y przyjmie wartości z przedziału (c,d).

18. Należy dopasować pojęcie do definicji:

1. Błąd gruby - błąd wynikający z ewidentnej pomyłki eksperymentatora lub wyraźnej niesprawności sprzętu

2. Błąd systematyczny - błąd polegający na systematycznym odchyleniu wyniku pomiaru względem rzeczywistej wartości wielkości mierzonej

3. Błąd przypadkowy - (błąd statystyczny) jest miarą rozrzutu otrzymywanych wyników wokół wartości najbardziej prawdopodobnej. Błąd taki wynika albo z metody wykonywania albo z samej natury

19. Błąd procentowy to błąd względny pomnożony przez: 100%

20. Przed przystąpieniem do badań statystycznych należy pozbawić dane błędów: grubych

21. Werfikując hipotezę H₀ testem t-Studenta (test jednostronny) otrzymaliśmy wyniki t = 3 dla 6 pomiarów. Dla jakiego najmniejszego poziomu istotności hipotezę H₀ należy przyjąć: 0,01

22. Najprostszym sposobem weryfikacji losowości próby jest algorytm realizowany w siedmiu krokach. Po wyznaczeniu jakiej wartości następuje przekształcenie ciągu wyników w ciąg symboli: Mediany

23. Dopasuj definicję do odpowiedniego typu zmiennej losowej:

1. Zmienna losowa dyskretna - to taka zmienna losowa, która może przyjmować wartości wyrażające się tylko niektórymi liczbami rzeczywistymi z określonego przedziału, najczęściej liczbami całkowitymi nieujemnymi.

2. Zmienna losowa ciągła - jest jeśli może przyjmować wartości wyrażające się dowolnymi liczbami rzeczywistymi z określonych przedziałów.

24. Miary statystyczne dla szeregów szczegółowych. [dopasować]:

1. Średnia arytmetyczna
   

2. Mediana (n nieparzyste)
   

3. Mediana (n parzyste)
   

25. Współczynnik spłaszczenia (eksces),rozkładu zmiennej losowej X jest opisem jej płaskości ("szczytowości").

26. Dopasuj:

1. kwantyl x0.25 - jest nazywany pierwszym (dolnym) kwartylem

2. kwantyl x0.5 - jest po prostu medianą (ale nazywany też bywa drugim kwartylem)

3. kwantyl x0.75 - to oczywiście trzeci (albo górny) kwartyl rozkładu zmiennej losowej X

27. Najbardziej wiarygodne estymatory dla p i q mają postać:
    

28. Błąd przypadkowy: nie da się wyeliminować

29. Pewne dane pomiarowe będą się pojawiać częściej, a inne rzadziej, a więc będą się pojawiać z określonym prawdopodobieństwem. Takie dane można przedstawić w postaci: szeregu rozdzielczego

30. Z histogramu można odczytać częstość względną pojawiania się poszczególnych wartości zmiennej losowej.

31. Wariancją jest nazywany: Drugi moment centralny

32. Błąd przypadkowy to inaczej błąd: statystyczny

33. Błędem względnym nazywamy stosunek błędu bezwzględnego do rzeczywistej wartości wielkości mierzonej.

34. Miary statystyczne dla szeregów rozdzielczych:

1. Modalna (najczęstsza)
   

2. Odchylenie standardowe
   

3. Kurtoza
   

35. Co rozpatruje się jako zdarzenia losowe?: podzbiory przestrzeni zdarzeń elementarnych

36. Jeżeli zmienna losowa może przyjmować wartości dążące do - lub + nieskończoności to ustalenie rozstępu jest niemożliwe.

37. Histogram jest obrazem graficznym: szeregu rozdzielczego

38. Najdokładniejszym i jednoznacznym sposobem opisu zmiennej losowej X jest podanie jej: funkcji gęstości prawdopodobieństwa, dystrybuanty

39. Modą albo wartością modalną rozkładu zmiennej losowej X nazywamy wartość zmiennej losowej, dla której rozkład prawdopodobieństwa przyjmuje lokalne: maksimum

40. Przed przystąpieniem do badań statystycznych należy sprawdzić czy próba jest: losowa

41. Rozstępem zmiennej losowej X nazywamy różnicę pomiędzy największą a najmniejszą wartością przyjmowaną przez zmienną losową

HIPOTEZY STATYSTYCZNE

1. Jeżeli odrzucamy hipotezę prawdziwą, to popełniamy błąd: I rodzaju

2. Jeżeli wartość statystyki nie znajduje się w obszarze krytycznym, to: brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

3. Weryfikując hipotezę H₀ testem t-Studenta (test jednostronny) otrzymaliśmy wyniki t = 3 dla 6 pomiarów. Dla jakiego najmniejszego poziomu istotności hipotezę H₀ należy przyjąć: 0,01

4. Producent proszku do prania twierdzi, że zróżnicowanie wagi mierzonej wariancją statystyki wynosi 2. W celu sprawdzenia tej opinii wylosowano 6 produktów z dostawy. Wiedząc, że S² = 2, obliczono wartość statystyki, która wynosi: 6

5. Stwierdzenie „Test ten może być stosowany tylko w przypadku ciągłej dystrybuanty empirycznej” dotyczy testu: Kołmogorowa

6. Wartości parametrów statystycznych populacji weryfikuje się za pomocą hipotez parametrycznych

7. Hipotezy nieparametryczne dotyczą postaci rozkładu zmiennej lub losowości próby.

8. Do grupy testów parametrycznych nie należy test: Kołmogorowa, chi-kwadrat,

9. Do grupy testów nieparametrycznych nie należy test: Bartletta, Fishera

10. Weryfikując hipotezę za pomocą testu χ ² otrzymaliśmy następujące parametry χ ² =6,5, r=4, k=1. Dla jakiego najmniejszego poziomu istotności należy przyjąć H₀: 0,02 (sprawdzamy w tablicach szukając dla danego k wartości bliskiej χ ² , często ma tą samą pierwszą cyfrę, patrzymy jaki jej odpowiada poziom istotności i wybieramy poziom jeden wcześniej)

11. Werfikująć hipotezę za pomocą testu χ ² otrzymaliśmy następujące parametry χ ² =5, r=4, k=1. Dla jakiego najmniejszego poziomu istotności należy przyjąć H₀: 0,05

12. Test zgodności χ2 stosujemy: jeśli rozkład hipotetyczny (sprecyzowany w H₀) może być zarówno rozkładu ciągłego jak i skokowego, jeśli dane pochodzą z dużej n-elementowej próby wylosowanej w sposób niezależny

13. Badana cecha X populacji generalnej ma rozkład N(μ,σ) o obu parametrach nieznanych. Weryfikujemy hipotezę H₀: μ₁=μ₀ wobec H₁: μ₁ ≠ μ₀. Do weryfikacji tej hipotezy należy zastosować test oparty na statystyce: t
    

14. Mając dane
    oraz n₁=8,n₂=9 weryfikujemy hipotezę testem Fishera. H₀:σ₁² = σ₂²; H₁: σ₁² > σ₂². Dla α=0,05. Wyniku obliczeń podejmujemy decyzję, że: nie ma podstaw do odrzucenia H₀

15. Dwustronny obszar krytyczny stosujemy w przypadku, gdy: H₀: m=m₀; H₁: m₁¹m₀,

16. Prawdopodobieństwo odrzucenia hipotezy zerowej, gdy jest ona prawdziwa nie określamy symbolem: β, 1-β, 1-α

17. Producent proszku do prania twierdzi, że zróżnicowanie wagi mierzonej wariancją statystyki wynosi 2. W celu sprawdzenia tej opinii wylosowano 6 produktów z dostawy. Wiedząc, że S2 = 6, obliczono wartość statystyki, która wynosi: 18

18. Do odpowiednich modeli dopasuj wzory ( ???? prawdopodobnie c i d mają być odwrotnie)

1. Test wartości przeciętnej przy znanej σ²
   

2. Test wartości przeciętnej przy nie znanej σ²
   

3. Test dla wariancji rozkładu przy n > 50
   

4. Test dla wariancji rozkładu przy n ≤ 50
   

19. Jeżeli przyjmujemy hipotezę, która w rzeczywistości jest fałszywa, to popełniamy błąd: II rodzaju

20. Jeżeli wartość statystyki trafi do obszaru krytycznego, to: hipotezę zerową należy odrzucić,

21. Z populacji, w której badana cecha ma rozkład N(μ,4) wylosowano próbę złożoną z 16 obserwacji i wyznaczono x_śr = 1. Zweryfikować hipotezę H₀: μ₀ = 2 przy H₁: μ₁ < 2. Wiedząc, że zbiór krytyczny wynosi Z: (-∞, -1,64]. Zaznacz, które stwierdzenie jest słuszne: nie ma podstaw do odrzucenia H₀, (patrz pytanie wyżej i pytanie nr 2)

22. Test Bartletta jest testem na jednorodność wariancji. Stosujemy go dla sprawdzenia założenia o jednakowych wariancjach we wszystkich badanych grupach, przy stosowaniu testu analizy wariancji dla hipotezy o równości wielu średnich.

23. Połącz wyrażenia w logiczną całość:

1. Test t-Studenta zmiennych zależnych - służy do porównywania wyników parami, gdy mamy dwie serie wyników dla tych samych elementów w różnym czasie.

2. Test χ2 - służy do weryfikacji, że obserwowana cecha X w zbiorze generalnej ma określony typ rozkładu np. dwumianowy.

3. Test t-Studenta zmiennych niezależnych - służy do sprawdzenia, czy dwie próby pochodzą ze zbiorowości o tej samej wartości oczekiwanej.

24. Badana cecha X populacji generalnej ma rozkład N(μ,σ) przy nieznanym µ i znanym σ. Weryfikujemy hipotezę H₀: μ₁=μ₀ wobec H₁: μ₁ ≠ μ₀. Do weryfikacji tej hipotezy należy zastosować test oparty na statystyce: u
    

25. Mając dane: współczynnik determinacji R² = 0,5 , n = 22 oraz dwie zmienne objaśniające (k = 2). Otrzymujemy wynik test F= 20 liczone ze wzoru
    

26. Mając dane: współczynnik determinacji R² = 0,2 , n = 12 oraz dwie zmienne objaśniające (k = 2). Otrzymujemy wynik test F= 2,5

27. Które zbiory krytyczne są prawidłowe dla hipotezy dotyczącej wariancji rozkładu i n≥50.:

1. H₁: σ² = σ²₁ > σ²₀ - Z:[u(1-α),+∞)

2. H1: σ² = σ²₁ ≠ σ²₀ - Z: (-∞,-u(1-α/2)] U [u(1-α/2),∞)

28. Weryfikując hipotezę za pomocą testu χ 2 otrzymaliśmy następujące parametry χ 2 =5, r=4, k=1. Dla jakiego najmniejszego poziomu istotności należy przyjąć H0: 0,05 (na podstawie tablic)

29. Z populacji, w której badana cecha ma rozkład N(μ,4) wylosowano próbę złożoną z 16 obserwacji i wyznaczono x_śr = 1. Zweryfikować hipotezę H0: μ0 = 2 przy H1: μ1 < 2. Wiedząc, że zbiór krytyczny wynosi Z: (-∞, -1,64]. Zaznacz, które stwierdzenie jest słuszne: nie ma podstaw do odrzucenia H0,

30. W teście zgodności Kołmogorowa wykorzystuje się statystykę: lambda (Λ lub λ)

31. Które zbiory krytyczne są prawidłowe dla hipotezy dotyczącej wariancji rozkładu i n<50.

1. H1: σ2 = σ21 > σ20 - Z:[χ2(1-α, n-1),∞)

2. H1: σ2 = σ21 ≠ σ20 - Z: (0,χ2(α/2,n-1)] U [χ2(1-α/2,n-1),∞)

REGRESJA MATEMATYCZNA

1. Zależność w której jednej wartości zmiennej niezależnej może odpowiadać kilka różnych wartości zmiennej zależnej nazywamy: zależnością regresyjną

2. Zależność w której jednej wartości zmiennej niezależnej odpowiada jedna i tylko jedna wartość zmiennej zależnej nazywamy: zależnością liniową

3. Algorytm obliczania parametrów a i b. Punkt doświadczalnie zmierzony (x_d , y_d) i odpowiadający mu punkt teoretyczny (x_t , y_t) mają: takie same wartości współrzędnej x

4. Podczas wyznaczani współczynników równania regresji liniowej jako pierwszy wyznaczamy współczynnik: b

5. Właściwą miarą siły powiązania dwóch badanych zmiennych (masy próbki i czasu) jest współczynnik korelacji prostoliniowej r

6. Literą r oznaczamy: współczynnik korelacji

7. Prostą o równaniu y= a+bx nazywa się: prostą regresji zmiennej y względnej x.

8. Czy wzór na wyznaczenie współczynnika a linii regresji jest prawidłowy ?
   : nie

9. Odmiany regresji krokowej: regresja postępująca, regresja wsteczna, (w egzaminatorze jest jeszcze addytywna i ona chyba też)

10. Odmianą regresji krokowej nie jest: regresja aktywna.

11. Dopasuj kroki. Regresja krokowa:

1. Krok 1. - Oceniane są wszystkie zmienne niezależne i wybrana, oraz wprowadzona do równania zostaje ta, która zapewnia największą wartość F (F - parametr służący do testowania hipotezy o istotności równania regresji wielokrotnej)

2. Krok 2. - W tym i w każdym następnym kroku jakaś zmienna jest dodawana do modelu, program sprawdza zmienne już do modelu włączone i określa, czy któraś z nich nie powinna być usunięta z równania w oparciu o wyliczoną wartość F

3. Krok 3. - W tym kroku następuje zakończenie procedury regresyjnej i wyprowadzenie równania regresji oraz jego ocena.

12. Co oznacza jednostka G ? : oznacza funkcję Gamma.

13. W myśl metody najmniejszych kwadratów żądamy by: Σ(rzędna empiryczna - rzędna obliczona)²=minimum,

14. Rozkład normalny jest dobrym modelem dla rozkładu zmiennej losowej, w sytuacji, gdy: Występuje silna tendencja do przyjmowania wartości położonych blisko środka rozkładu, Liczność odchyleń gwałtownie spada wraz ze wzrostem ich wielkości.

15. Linearyzacja funkcji. Połącz wyrażenia w logiczną całość:

1. 
   :
   

2. 
   :
   

3. 
   :
   

16. Rozkład F Snedecora jest wykorzystywany najpowszechniej do oceny wariancji

17. Dopasuj modele regresyjne do odpowiednich wzorów:

1. Model kwadratowy :
   

2. Model liniowy z interakcjami (m=2) : y = b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₁₂x₁x₂+e

3. Model liniowy : h=β₀+β₁x₁+β₂x₂+...+β_mx_m

18. Korzystając z zamieszczonej tabeli, sprawdź które z równań regresji liniowej jest prawidłowe (najbardziej zbliżone ze względu na stosowane przybliżenia). (W tabeli podane m.in. x_i=40 i y_i=106,48 ; w podanych wzorach funkcji pod x wstawiamy wartość x_i i obliczmy y które ma być jak najbliższe wartości y_i) : y=100,8+0,1257x

19. Rozkład t-Studenta jest symetryczny względem zera a jego ogólny kształt jest podobny do kształtu standardowego rozkładu normalnego

20. Wyznaczając zależność regresyjną (liniową) y=a+bx i x=a+by uzyskujemy taki sam przebieg funkcji ? : Nie

ANALIZA WARIANCJI

1. W modelu teoretycznym jednoczynnikowej analizy wariancji x_ij = µ + η_i + e_ij odchylenie losowe oznaczone jest przez: e_ij,

2. Replikacja to: powtórzenie

3. Interakcja to: Współdziałanie,

4. W jednoczynnikowej analizie wariancji każda obserwacja w zbiorowości generalnej jest sumą: Średniej ogólnej µ, Efektu η_i. Składnika losowego e_ij, (zwrócić uwagę na indeksy dolne nie może być nich trzeciego składnika np. p czyli e_ipj )

5. W dwuczynnikowej analizie wariancji każda obserwacja w zbiorowości generalnej jest sumą: Średniej ogólnej µ, Efektów
   

6. Hipotezę H₀: σ_η²=0 nie odrzuca się jeśli: F₀≤F_{gr;k-1;k(n-1);α}

7. Hipotezę zerową H0: ση2=0 odrzuca się jeśli: F₀>F_{gr;k-1;k(n-1);α}

8. Przedstawione wyrażenie
   przedstawia: Średni kwadrat dla obiektów.

9. Przyporządkuj objaśnienia do odpowiadającego mu wzoru obliczeniowego

1. 
   : Suma kwadratów sum obserwacji w każdym obiekcie.

2. 
   : Kwadrat sumy wszystkich obserwacji,

3. 
   : Suma sum kwadratów wszystkich obserwacji,

10. W dwuczynnikowej analizie wariancji wartości oczekiwane średnich kwadratów dla kolumn oblicza się z wzoru:
    

11. W dwuczynnikowej analizie wariancji wartości oczekiwane średnich kwadratów dla rzędów oblicza się z wzoru:
    

12. Wzór stosowany do obliczania ilości stopni swobody dla zmienności wewnątrz-obiektowej przy jednakowej ilości obserwacji w każdym obiekcie: k(n-1),

13. Wzór stosowany do obliczania ilości stopni swobody dla zmienności między-obiektowej przy jednakowej ilości obserwacji w każdym obiekcie: k-1,

14. Wzór stosowany do obliczania ilości stopni swobody dla zmienności ogólnej przy jednakowej ilości obserwacji w każdym obiekcie: nk-1.

15. W modelu teoretycznym dwuczynnikowej analizy wariancji
    odchylenie losowe oznaczone jest przez: e_ipj,

16. Poziom istotności oznacza się przez: α (alfa)

17. Suma kwadratów wewnątrz obiektów wyraża się wzorem:
    

18. Przedstawione wyrażenie
    przedstawia: Średni kwadrat dla błędu,

19. Średnie kwadratów oblicza się: Dzieląc sumy kwadratów przez odpowiadające im liczbę stopni swobody,

20. Który z poniższych wzorów przedstawia sumę kwadratów sum obserwacji w każdym obiekcie:
    

21. Interakcja polega na tym, że rezultat oddziaływania na zmienną zależną zmiany poziomu jednego czynnika klasyfikującego zależy od poziomu drugiego czynnika.

22. Ogólna suma kwadratów wyraża się wzorem:
    

23. W modelu teoretycznym jednoczynnikowej analizy wariancji x_ij = µ + η_i + e_ij średnia ogólna oznaczona jest przez: µ.

24. Przyporządkuj wzory do ich określeń:

1. 
   : Model teoretyczny dwuczynnikowej analizy wariancji,

2. 
   : Suma kwadratów dla obiektów przy jednakowej ilości powtórzeń w każdym obiekcie.

3. 
   : Suma kwadratów dla obiektów przy niejednakowej ilości powtórzeń w każdym obiekcie,

4. 
   : Model teoretyczny jednoczynnikowej analizy wariancji,

25. Przyjmując jako definicję modelu teoretycznego dwuczynnikowej analizy wariancji zależność
    przyporządkuj odpowiadające sobie oznaczenia i określenia:

1. 
   : Składnik losowy.

2. 
   : Efekty kolumn, rzędów, interakcji,

3. 
   : Obserwacja,

4. 
   : Średnia ogólna,

26. Przyporządkuj wzory do ich określeń:

1. 
   : Suma kr kwadratów sumy n obserwacji w i-tej kolumny p-tego rzędu,

2. 
   : Suma kwadratów wszystkich (tj. krn) obserwacji,

3. 
   : Suma r kwadratów sumy kn obserwacji w p-tym rzędzie,

4. 
   : Suma k kwadratów sumy rn obserwacji w i-tej kolumnie,

5. 
   : Kwadrat sumy wszystkich (tj. krn) obserwacji.

---