Wyznaczanie parametrów mikroskopowych w oparciu o zjawisko Halla.

Wyniki pomiarów:

1. Pomiar napięcia Halla dla prądu 1,5mA

B [T]	0	0,1	0,19	0,28	0,36	0,44	0,51	0,57	0,63	0,68	0,71
Uh [V]	-0,00068	-0,00327	-0,00664	-0,00985	-0,01297	-0,01592	-0,01882	-0,02115	-0,02301	-0,02451	-0,0258

2. Pomiar napięcia Halla dla prądu 3mA

B [T]	0	0,1	0,19	0,28	0,36	0,44	0,51	0,57	0,63	0,68	0,71
Uh [V]	-0,00038	-0,00638	-0,01295	-0,01918	-0,02558	-0,03143	-0,03663	-0,04118	-0,04499	-0,04689	0,05059

3. Magnetotopór dla prądu 1,5 mA

B [T]	0	0,1	0,19	0,28	0,36	0,44	0,51	0,57	0,63	0,68	0,71
Ux [V]	0,323	0,324	0,326	0,327	0,329	0,332	0,334	0,337	0,339	0,341	0,343
B^2	0	0,01	0,0361	0,0784	0,1296	0,1936	0,2601	0,3249	0,3969	0,4624	0,5041
ၤ၄ုၤ	0	0,00309	0,00929	0,01238	0,01856	0,02786	0,03405	0,04334	0,04953	0,05573	0,06192

d. Magnetoopór prądu 3mA

B [T]	0	0,1	0,19	0,28	0,36	0,44	0,51	0,57	0,63	0,68	0,71
Ux [V]	0,655	0,656	0,660	0,664	0,666	0,671	0,676	0,680	0,684	0,688	0,690
B^2	0	0,01	0,0361	0,0784	0,1296	0,1936	0,2601	0,3249	0,3969	0,4624	0,5041
ၤ၄ုၤ	0	0,00157	0,00763	0,01374	0,01679	0,02443	0,03206	0,03817	0,04427	0,05038	0,05343

W pierwszej kolejności zmierzono opór próbki w celu obliczenia jej przewodności właściwej. Zmierzono spadek napięcia na próbce między elektrodami prądowymi Ux i spadek napięcia na oporze wzorcowym Uw.

Opór próbki obliczamy z zależności: Rx = (Rw ⋅ Ux)/Uw

gdzie:

Rw = 100 ± 1Ω

Ux = 0,324 [V]

Uw = 0,1536 [V]

stąd:

Rx = 210,9Ω

Przewodność próbki znajdujmy z zależności: δ = (Uw ⋅ l)/(Rw ⋅ Ux ⋅ a ⋅ b)

gdzie:

a = 4mm = 0,004m

b = 0,3μm = 3 ⋅10^-7m

l = 7,8mm = 7,8 ⋅ 10^-3m

stąd:

δ = (0,1536V ⋅ 7,8 ⋅10^-3m)/(100Ω ⋅ 0,324V ⋅ 4 ⋅10^-3m ⋅ 3 ⋅ 10^-7m) = 30814,81[1/mΩ]

Błąd wyznaczenia przewodności obliczamy metodą różniczki zupełnej:

Δδ = l/(a ⋅b){1/(R_w ⋅U_x) ⋅ΔU_w + U_w/(R_w² ⋅ U_x) ⋅ΔR_w + U_w/(R_w ⋅ U_x²) ⋅ΔU_x}

Δδ = 7,8⋅10^-3m/(4⋅10^-3m ⋅ 3⋅10^-7m) ⋅ {1/(100⋅0,324)⋅0,0001 + 0,1536/(10000⋅0,324)⋅0,01 +

+ 0,1536/(100⋅0,105)⋅0,0001}

Δδ = 146,7 [1/mΩ]

Tak więc ostatecznie: δ = 30800 ± 150 [1/mΩ]

Następnie wykonaliśmy pomiary zależności napięcia Halla od indukcji magnetycznej przy stałym prądzie płynącym przez próbkę. Pomiary wykonano dla dwóch różnych natężeń: 1,5 i 3 mA. Wyniki pomiarów zostały zanotowane w tabelkach na początku sprawozdania. Na podstawie otrzymanych wyników wyznaczyliśmy wykresy U_H(B)

Wzór na napięcie Halla:

U_H = (R_H ⋅ I ⋅ B)/d . Na wykresie przyjmujemy: y = U_H, x = B, a = (R_H ⋅ I)/d ⇒ R_H = (a ⋅d)/I

Zależność U H (B) dla 1,5 mA

Zależność U_H(B) dla 3mA:

Zależność Δδ/δ(B²) dla I = 1,5 mA:

Zależność Δδ/δ(B²) dla I = 3 mA

Z wykresu możemy odczytać, że dla I = 1,5mA mamy a = 0,0365362 ± 0,000461585 [V/T], stąd

R_H = ( 0,0365362 ⋅3⋅10^-7 )/1,5⋅10^-3 = 7,31 ⋅10^-6 [Ω⋅m/T] = [m³/C]

Błąd wyznaczamy z różniczki zupełnej:

ΔR_H = d/I ⋅ Δa + a⋅d/I² ⋅ ΔI = 0,19 ⋅ 10^-6 [m³/C]

Ostatecznie: R_H = (7,31 ± 0,19) ⋅ 10^-6 [m³/C]

Dla I = 3mA mamy: a = 0,07129169 ± 0,0008773261 [V/T], stąd

R_H = (0,07129169 ⋅3⋅10^-7)/3⋅10^-3 = 7,13 ⋅ 10^-6[m³/C]

Błąd wyznaczamy z różniczki zupełnej:

ΔR_H = d/I ⋅ Δa + a⋅d/I² ⋅ ΔI = 0,24 ⋅ 10^-6[m³/C]

Ostatecznie: R_H = (7,13 ± 0,24) ⋅ 10^-6 [m³/C]

Po uśrednieniu przyjmuję R_H = (7,22 ± 0,43) ⋅10^-6 [m³/C]

Znając stałą Halla możemy wyznaczyć koncentrację nośników prądu n.

n = 1/(R_H ⋅e) ⇒ n = 1/ 7,22 ⋅ 10^-6 ⋅ 1,602 ⋅10^-19 ⇒ n = 8,646 ⋅ 10²³ [1/(ΩmC)]

Rachunek błędu:

Δn = 1/R_H²⋅e ⋅ Δ R_H  = 1/[(7,22⋅10^-6)² ⋅ 1,602⋅10^-19 ]⋅ 0,43⋅10^-6 = 0,51⋅10²³ [1/m³]

Ostatecznie: n = (8,65 ± 0,51) ⋅ 10²³ [1/m³]

Znając również przewodność możemy wyznaczyć ruchliwość nośników prądu μ_H. μ_H = δ ⋅ R_H

δ = 30800 ± 150 [1/mΩ]

R_H = (7,22 ± 0,43) ⋅10^-6 [m³/C]

μ_H = 30800[1/mΩ] ⋅ 7,22 ⋅10^-6[Ω⋅m/T] = 0,222376 [1/T]

Rachunek błędu:

Δμ_H = R_H ⋅ Δδ+ δ ⋅ Δ R_H  = 7,22⋅10^-6 ⋅ 150 + 30800 ⋅ 0,43⋅10^-6 = 0,014[1/T]

Ostatecznie: μ_H = 0,222 ± 0,014 [1/T]

Obliczenie ruchliwości dryfowej przy założeniu, że nośniki rozpraszają się głównie na drganiach sieci,

więc r = 3Π/8.

μ = μ_H/r = 0,222⋅8/3Π = 0,189[1/T]

Ostatecznie przyjmuję μ = 0,19[1/T]

Sprawdzenie, czy warunek tzw. słabego pola został spełniony w zakresie pól magnetycznych, dla których przeprowadzono pomiary, czyli sprawdzamy, czy μB << 1.

μB_max = 0,19 ⋅ 0,71 = 0,1349 ⇒ 0,1349 <<1, czyli warunek został spełniony.

Magnetoopór to wielkość, która wskazuje nam w jakim stopniu zewnętrzne pole magnetyczne ma wpływ na przewodność próbki półprzewodnika. Zjawisko to opisane jest wzorem: Δδ/δ = A(μB)².

Zmierzyliśmy spadek napięcia na próbce przy stałej wartości prądu I = 3mA i przy zmiennej indukcji magnetycznej. Na podstawie wykresu Δδ/δ(B²) i znając μ można wyznaczyć współczynnik proporcjonalności A.

Dla wartości prądu 1,5 mA

Z wykresu a = (0,1179627
0,002941383) [1/T²].

Stąd: A = a/μ² = 0,1179627[1/T²]/(0,19)²[1/T²] ⇒ A = 2,27.

A = (1/²) ⋅ a + (a/⁴) ⋅  ⇒ A = 1,35

Ostatecznie: A = 2,27 ± 1,35

Dla wartości prądu 3 mA

Z wykresu a = (0,1042201
0,003376683) [1/T²].

Stąd: A = a/μ² = 0,1179627[1/T²]/(0,19)²[1/T²] ⇒ A = 2,87.

A = (1/²) ⋅ a + (a/⁴) ⋅  ⇒ A = 1,21

Ostatecznie: A = 2,87 ± 1,21

Wartość współczynnika A jest rzędu jedności, co zgodne jest z naszymi oczekiwaniami.

Wnioski:

W ćwiczeniu zapoznano się ze zjawiskiem Halla oraz jego wykorzystaniem do wyznaczania parametrów mikroskopowych półprzewodników . Pierwsza częśc ćwiczenia polegała na zaobserwowaniu występowania zjawiska Halla . Dokonano pomiarów napięcia Halla , które w sposób liniowy zależy od indukcji magnetycznej . Wielkość tego napięcia zależy także od wielkości prądu płynącego przez półprzewodnik . Korzystając z tego zjawiska wyznaczono takie parametry jak koncentrację i ruchliwość nośników . Ostatni punkt pomiaru dotyczył zjawiska magnetooporu . Jak wykazał pomiar przewodnictwo próbki zależy od pola magnetycznego , lecz jest to wpływ mały - rzędu (1-4)% .

Możemy zaobserwować, że wyznaczona stała Halla jest taka sama (oczywiście w granicy błędu) zarówno dla prądu I = 1,5mA R _H=(7,31-,019) 10 ^-6 [ m ³ /C] i dla I = 3mA R _H=(7,13-0,24) 10 ^-6 [ m ³ /C] .

To oznacza, że w trakcie całego ćwiczenia nie popełniliśmy rażących błędów.

Należy także zwrócić uwagę na pojawiające się na próbce pewne napięcie mimo braku przepływającego przez cewkę prądu, co sugeruje, że nie może to być napięcie Halla. Istotnie nie jest to napięcie Halla, a tzw. napięcie asymetrii powstające na skutek nie symetrii geometrycznej płytki półprzewodnika lub niesymetrycznego podłączenia elektrod do płytki. Inną, lecz mającą mniejsze znaczenie, przyczyną powstawania tego napięcia jest wpływ pola magnetycznego.

4

---