POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI	SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA NR 3 Temat : Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną.
	DATA : OCENA :

1. Cel æwiczenia.

• pomiar okresu sprężystych drgań obrotowych,

• wyznaczenie występującego w prawie Hooke'a modułu sztywności.

2. Opis zjawiska fizycznego.

W każdym ciele działają siły międzycząsteczkowe. Ponieważ odległości między atomami są bardzo małe to siły te są bardzo duże i powodują uporządkowanie cząsteczek - tworząc regularną strukturę przestrzenną - tzw. sieć krystaliczną.

Każda cząsteczka (węzeł sieciowy) ma swoje położenie równowagi, wokół którego wykonuje niewielkie, chaotyczne, zależne od temperatury ciała drgania. Powstanie stanu równowagi trwałej wynika z faktu, że między każdymi dwiema cząsteczkami występują dwojakiego rodzaju siły: przyciągania oraz odpychania, o niejednakowej zależności od odległości międzycząsteczkowej, przy czym siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej wraz ze zbliżaniem się cząsteczek niż siły przyciągania.

Zależność między naprężeniem, a odkształceniem definiuje prawo Hooke'a:

„Jeżeli naprężenia w ciele są dostatecznie małe, to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne”

gdzie - kąt ścinania,

G - moduł sztywności ,

τ - naprężenie styczne.

3. Uk³ad pomiarowy.

• wahadło torsyjne,

• miara milimetrowa,

• śruba mikrometryczna,

• suwmiarka,

• saga laboratoryjna,

• elektroniczny licznik

okresu i czasu.

Rys.1

4. Wzór koñcowy.

Kiedy moment sił sprężystych przestaje być równoważony przez moment zewnętrzny, powoduje to drgania harmoniczne obrotowe, których moment kierujący zależy od modułu sztywności :

D =

Badanie modułu sztywności w tym doświadczeniu polega na pomiarze okresu drgań układu pomiarowego ( Rys.1 ).

T = 2p*

Ponieważ nie znamy momentu bezwładności tego układu, pomiar odbywa się dwukrotnie: raz bez tarczy dodatkowej K, a następnie wraz z tarczą dodatkową o okresie drgań

T₁ = 2p*

Otrzymujemy zatem :

D =

Moment bezwładności tarczy dodatkowej łatwo jest wyliczyć ze wzoru:

( ponieważ I₁=)

m - masa tarczy dodatkowej

l - długość drutu

d - średnica drutu

b - średnica tarczy dodatkowej

n - ilość drgań = 50

t₁ - czas n drgań tarczy dodatkowej

t - czas n drgań tarczy

Dla zwiększenia dokładności pomiaru okresu mierzy się nie okres jednego drgania, lecz czas n ( w tym wypadku n=50 ) drgań. Ostatecznie moduł sztywności można wyliczyć ze wzoru:

5. Pomiary.

a) pomiary długości drutu :

l1 [mm]	l2 [mm]	l = l1 -l2 [mm]
0.45	63.2	62.75

b) średnica drutu d :

d1 [mm]	d2 [mm]	d3 [mm]	d = ( d1 + d2 + d3 ) / 3 [mm]
0.595	0.592	0.596	0.594(3)

c) średnica tarczy dodatkowej b :

b1 [mm]	b2 [mm]	b3 [mm]	b = ( b1 + b2 + b3 ) / 3 [mm]
139.52	140.0	140.0	139.84

d) masa tarczy dodatkowej m

:

m [g]

310.2

e) czas t trwania n=50 drgań :

t1 [s]	t2 [s]	t3 [s]	t = ( t1 + t2 + t3 ) / 3 [s]
392.459	391.117	390.989	391.521(6)

f) czas t₁ trwania n=50 drgań ( z dodatkową tarczą)

t11 [s]	t12 [s]	t13 [s]	t1 = ( t11 + t12 + t13 ) / 3 [s]
456.668	456.406	456.317	456.463(6)

6. Przykładowe obliczenia.

Zmierzone wartości :

m = 310,2 [g] b_śr = 139,84 [mm] d_śr = 0,594334 [mm]

l_śr = 62,75 [mm] n = 50 t_śr = 391,521[s]

t_1śr=456,463 [s]

G== 695518491,327 Pa ≅ 695,5 MPa

7. Dyskusja błędów.

Załóżmy, że Δt₁ = Δt₂ oraz niech a = t₁² - t² .

Wtedy

Δa = 2t₁Δ t₁ + 2tΔt

Δa = 2Δt (t₁ + t)

Skąd :

I teraz już oczywiście (stosując metodę różniczki log.):

Teraz kolejno obliczamy błędy poszczególnych pomiarów :

1) błąd względny pomiaru masy

m= 310,2 [g] Δm = 0,1 [g] - maksymalny błąd urządzenia (elektronicznej wagi laboratoryjnej)

2) błąd względny pomiaru średnicy dodatkowej tarczy

b₁=139,52 Δb₁=0,32

b₂=140,0 [mm] b_śr= 139,84 [mm] Δb_i=b_śr-b_i Δb₂=0,16 [mm]

b₃=140,0 Δb₃=0,16

skąd

3) błąd względny pomiaru długości drutu

l₁=62,8 [cm]=628 [mm] l_śr=627,5 [mm] [mm]

l₂=627 [mm]

4) błąd względny pomiaru średnicy drutu

d_śr=0,594334 [mm] [metoda j.w.] Δd₁ = 0,000667

Δd₂ = 0,002334 Δd₃ = 0,001667

= 0,001556 / 0,594334 = 0,000269

5) błąd względny ( założenie Δt=Δt₁ )

t_śr=391,521667 [s]

Δt = (0,937334 + 0,404667 + 0,532667) / 3 = 0,624889 [s] = Δt₁

t_1śr=456,463667 [s]

t_1śr - t_śr = 64,942 [s]

= 0,000322 + 0,00305 + 0,000797 + 0,001076 + 0,019244 = 0,024489

czyli ε ≅ 2,45%

7. Uwagi i wnioski.

Przeprowadzone ćwiczenie potwierdziło założenia teoretyczne. Dzięki dość dużej dokładności pomiarów uzyskany 2,45% błąd względny jest stosunkowo niewielki. Największy wpływ na błąd wyznacznia wartości G miał pomiar średnicy doatkowej tarczy b oraz średnicy drutu d.

---