Sprawozdanie z laboratorium Technologii Informacyjnych
Temat:	Lab.3. PRÓBKOWANIE SYGNAŁU
Wykonał:	Jacek Taraszkiewicz I rok Elektronika i Telekomunikacja Semestr I Grupa dziekańska: III
Data oddania: (22.01.2007)	Ocena:	Podpis:

1. Teoria o próbkowaniu sygnału:

1) Ogólna definicja próbkowania:

Próbkowanie - (dyskretyzacja, kwantowanie w czasie) to proces stworzenia sygnału impulsowego reprezentującego sygnał ciągły. Zwykle kojarzone jest z jednym z etapów przetwarzania sygnału analogowego na cyfrowy.

2) Szerzej rozwinięta teoria o próbkowaniu sygnału:

Próbkowanie polega na pobieraniu wartości x_n sygnału w pewnych odstępach. Zazwyczaj odstępy są stałe. Oznaczając je przez T_s otrzymuje się

Przedział [t₀, t₀+nT_s] stanowi okno czasowe, w którym pobierane są próbki. Praktyczna realizacja próbkowania polega na pobieraniu wąskich impulsów o szerokości Δ i amplitudzie x_n.

a) Twierdzenie (o próbkowaniu)

Jeżeli x(t) jest sygnałem, którego widmo X(ω) spełnia warunek X(ω)=0 dla |ω|≥ω_m, to zbiór próbek {x(nT_s)} tego sygnału odległych od siebie o stały przedział T_s<π/ω_m, jednoznacznie określa sygnał x(t), mianowicie

Jest to szereg Shannona. W literaturze rosyjskiej nazywany szeregiem Kotielnikowa. Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o uciętym widmie.

b) Dowód

Sygnał jest teoretycznie próbkowany punktowo ciągiem impulsów Diraca δ_Ts(t). Sygnał spróbkowany ma postać x(t)⋅δ_Ts(t). Widmo X_s(ω) sygnału spróbkowanego jest równe

Filtrując widmo sygnału idealnym filtrem dolnoprzepustowym o transmitancji H(ω)=Π(ω/ω_s), gdzie ω_m<ω_s/2<ω_s-ω_m otrzymujemy sygnał o widmie X(ω) a więc sygnał x(t).

c) Interpretacja

Minimalna częstotliwość próbkowania, odpowiadająca przedziałowi T_s=π/ω_m , nazywana jest częstotliwością Nyquista f_N =2 f_m=ω_m/π . Jest ona dwa razy większa odgórnej częstotliwości granicznej f_m sygnału x(t). Widmo sygnału spróbkowanego x_s(t) jest wielokrotnym powieleniem widma sygnału x(t) w odstępach równych częstotliwości próbkowania f_s .

d) Przykład

Człowiek nie słyszy sygnałów akustycznych o częstotliwościach powyżej 20kHz. Dlatego, po odfiltrowaniu wyższych częstotliwości, sygnał taki można próbkować z częstotliwością nie mniejszą niż f_N = 40kHz, a zatem w odstępach nie większych niż T = 25μs. Można oczywiście zastosować większą częstotliwość próbkowania, ale zwiększa się wówczas ilość próbek i miejsce potrzebne na ich zapisanie. Na CD-ROM stosuje się częstotliwość 44,1kHz.

e) Szereg Shannona

Funkcje {Sa[π(t/T_s-n)]} stanowią dla całkowitego n∋(-∞,∞) zbiór zupełny funkcji wzajemnie ortogonalnych, czyli stanowią bazę. Współczynniki szeregu są wartościami sygnału w punktach odległych o T_s, czyli próbkami x_n sygnału x(t). Szereg ten jest szeregiem interpolacyjnym, gdyż można obliczyć wartości funkcji x(t) w punktach pośrednich pomiędzy kolejnymi wartościami x_n.

f) Czas trwania sygnału a szerokość widma

W praktyce sygnał możemy próbkować jedynie w skończonym przedziale czasu, a więc liczba próbek jest skończona. Sygnały impulsowe, różne od zera tylko w skończonym przedziale czasu mają widma nieskończone. Nie spełniają one założeń twierdzenia o próbkowaniu. W rzeczywistości próbkujemy je i odtwarzamy w przybliżeniu. Można pokazać, że istnieje dla szerokiej klasy sygnałów zależność między czasem trwania ΔT określonym jako

a szerokością widma określoną następująco

gdzie t_c i ω_c są odciętymi środków ciężkości kwadratów modułów |x(t)|² i |X(ω)|². Mianowicie:

Nierówność ta zwana jest zasadą nieoznaczoności, gdyż podobna jest do zasady Heisenberga twórcy mechaniki kwantowej.

g) Odtwarzanie sygnału z próbek

Sumy częściowe szeregu Shannona są bardzo niedogodne do odtwarzania sygnału. Dlatego postępuje się inaczej. Prostą metodą jest zastosowanie układu podtrzymującego - układu całkującego RC.

Stała czasu układu τ =RC oraz szerokość impulsów musi być dobrana tak, aby kondensator

zdążył się naładować do napięcia równego wartości próbki i z drugiej strony zdążył się rozładowywać, gdy wartość próbek maleje. Dlatego stosuje się czasem bardziej skomplikowane układy dające rezultat jak na rysunku.

h) Błędy próbkowania:

- Aliasing

Jest to nakładanie się widm powielanych spowodowane zbyt małą częstotliwością próbkowania

- Jitter

Są to drobne przesunięcia (drżenie) punktów próbkowania w stosunku do położeń równomiernych 2πn/T_s.

- Kwantowanie

Wartości próbek są zaokrąglane do jednej z wartości z wcześniej ustalonego zbioru {q_n} w celu zapisu cyfrowego. Różnica rzeczywistych wartości x_n i wartości skwantowanych q_n stanowi tzw. szum kwantowania.

- Ucięcie sygnału

Nie bierzemy wszystkich próbek sygnału a tylko z ograniczonego okna czasowego.

1. Próbkowanie sygnału w praktyce czyli laboratoria:

clear all

close all

Fs=2000; % czestotliwos probkowania

T=1/Fs;

t=0:T:1; % zdyskretyzowany czas

A=1; % amplituda

F1=8; % czestotliwość sygnału

x=A*sin(2*pi*t*F1)+0.1*randn(size(t)); % wartosci osi x

zakres=1:25;

figure(1)

plot(t(zakres),x(zakres)); % wizualizacja przebiegu

windowSize=4;

xfil=filter(ones(1,windowSize)/windowSize,1,x); %filtr

zakres=1:256;

figure(1);

plot(t(zakres),x(zakres));

Na wykresie powyżej widzimy zaszumiony przebieg sinusoidalny o bardzo duzej czestotliwosci.

clear all

close all

Fs=2000;

T=1/Fs;

t=0:T:1;

A=1;

F1=8;

x=A*sin(2*pi*t*F1)+0.1*randn(size(t));

zakres=1:25;

figure(1)

plot(t(zakres),x(zakres));

windowSize=4;

xfil=filter(ones(1,windowSize)/windowSize,1,x);

zakres=1:256;

figure(2);

plot(t(zakres),xfil(zakres));

Wykres powyżej przedstawia ten sam przebieg sinusoidalny o takiej samej czestotliwości tylko został na niego narzucony filtr który odszumił sygnał.

clear all

close all

Fs=2000;

T=1/Fs;

t=0:T:1;

A=1;

F1=8;

x=A*sin(2*pi*t*F1)+0.1*randn(size(t));

zakres=1:25;

figure(1)

plot(t(zakres),x(zakres));

windowSize=4;

xfil=filter(ones(1,windowSize)/windowSize,1,x);

zakres=1:256;

figure(3);

stem(t(zakres),x(zakres));

Dyskretyzacja, digitalizacja, kwantowanie (angielskie digitizing), zamiana danych analogowych na postać cyfrową, możliwą do zapamiętania w pamięci komputera. Obszar zmienności danych analogowych dzieli się na przedziały (zwane kwantami) i każdemu z przedziałów przypisuje się stałą, uśrednioną wartość liczbową. Im mniejszy przedział tym większa rozdzielczość dyskretyzacji, a jednocześnie większe zużycie pamięci na zapamiętanie jej wyników.

2. Wnioski:

Wprowadzenie filtra spowodowalo ze wykres stal się czytelniejszy można z niego więcej wywnioskować. Gdybyśmy zmienili jednak częstotliwość sygnalu wykres sinusoidalny zacząłby się zagęszczać aż doszłoby do zupełnej nieczytelności.

3. Materiały pomocnicze:

1. Różne strony internetowe znalezione w wyszukiwarce google po wpisaniu „Próbkowanie sygnału”.

studia.elka.pw.edu.pl/pub/SYSE.A/SYS7_Probkow.doc

2. Notatki z laboratoria na temat Próbkowania Sygnału.

3. Pomoc Matlaba w przeprowadzeniu powyższych doświadczeń.

8

---