Wykład
Temat: OPTYMALIZACYJNE RACHUNKI KOSZTÓW I WYNIKÓW
Zagadnienia:
Podstawy rachunków optymalizacyjnych
Optymalizacja struktury asortymentowej produkcji
Optymalizacja wielkości partii produkcji i zamówienia
Optymalizacja cen sprzedaży produktów
Optymalizacja transportu i dystrybucji produktów
1. Podstawy rachunków optymalizacyjnych
Podejmowanie trafnych decyzji ekonomicznych dotyczących działalności przedsiębiorstwa wymaga obiektywnych rozstrzygnięć na podstawie wyników analizy wiarygodnych informacji. Dokonuje się tego przez opracowanie wariantów rozwiązania problemu i przyjęcie wariantu optymalnego. Podejmowanie decyzji ekonomicznych jest więc przede wszystkim procesem wyboru, uwarunkowanym możliwością wyznaczenia jednego z wielu możliwych rozwiązań oraz określenia kryterium determinującego wskazanie decyzji optymalnej.
Podejmowanie racjonalnych decyzji ekonomicznych wymaga przeprowadzenia rachunków optymalizacyjnych. Rachunki takie umożliwiają rozstrzygnięcie, która z możliwych decyzji jest najlepsza. Należy się przy tym posłużyć odpowiednim kryterium, uwzględnienie którego pozwoli ocenić i porównać skutki podjęcia poszczególnych decyzji. Ponadto rachunki optymalizacyjne powinny być oparte na stosowaniu precyzyjnych metod formułowania, rozwiązania i optymalizacji problemów ekonomicznych. Metodami umożliwiającymi wyznaczenie optymalnych decyzji ekonomicznych są metody programowania optymalnego.
Istotą programowania optymalnego jest wykorzystanie metod matematycznych do wyznaczania optymalnych rozwiązań różnorodnych problemów decyzyjnych występujących w gospodarce. Zastosowanie metod programowania optymalnego umożliwia obiektywne odzwierciedlenie, w postaci modeli matematycznych, zjawisk i procesów gospodarczych występujących w przedsiębiorstwie oraz stwarza obiektywne przesłanki dla podjęcia racjonalnych decyzji. Modele programowania optymalnego mogą być wykorzystane do opisu różnych sytuacji decyzyjnych. W rozdziale niniejszym rozpatrzymy sytuacje, które się sprowadzają do stosunkowo prostych problemów optymalizacyjnych. Problemy takie można rozwiązać za pomocą metod programowania marginalnego lub programowania liniowego.
Do pewnej klasy problemów optymalizacyjnych w przedsiębiorstwie mają zastosowanie matematyczne zadania poszukiwania ekstremum określonych funkcji. W rozwiązaniu tego typu zagadnień pomocny jest rachunek różniczkowy, nazywany także programowaniem marginalnym. Programowanie marginalne pozwala określić, przy jakich wartościach pewnych zmiennych dana funkcja przyjmie wartość
ekstremalną: minimalną lub maksymalną.
Przy stosowaniu programowania marginalnego należy na wstępie określić funkcję, która wyraża wzajemne zależności ilościowe między wyróżnionymi zjawiskami ekonomicznymi. Najczęściej stosowanym podejściem do skonstruowania takiej funkcji jest zastosowanie określonej funkcji regresji. Wynika to z faktu, że zależności występujące w przedsiębiorstwach między różnymi zjawiskami ekonomicznymi są zazwyczaj zależnościami statystycznymi.
W niektórych przypadkach funkcja opisująca zależności między rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi może być określona na podstawie informacji apriorycznych. Chodzi tu o informacje dotyczące wpływu zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą, wyrażone w postaci współczynników znajdujących się przy zmiennych objaśniających. Tak będzie przykładowo wtedy, gdy znane są normy, stawki czy też ceny, które określają zależność zmiennej objaśnianej od zmiennych objaśniających. Niekiedy parametry funkcji mogą być ustalone w drodze kalkulacji kosztów jednostkowych.
Rozwiązanie zadania programowania marginalnego sprowadza się do ustalenia optymalnego poziomu zmiennych objaśniających, tj. takiego zestawu wartości tych zmiennych, przy którym dana funkcja przyjmie wartość ekstremalną: minimalną lub maksymalną w zależności od rozważanej sytuacji decyzyjnej. Z matematycznego punktu widzenia jest to zatem zagadnienie poszukiwania ekstremum funkcji. Ekstremum to wyznacza się przez znalezienie pierwszej pochodnej funkcji i przyrównanie jej do zera, a następnie rozwiązanie tak otrzymanego równania. Jednocześnie sprawdza się, czy jest spełniony warunek konieczny istnienia ekstremum przez badanie drugiej pochodnej funkcji, która dla minimum powinna być dodatnia, natomiast dla maksimum - ujemna.
W zagadnieniach programowania marginalnego nie uwzględnia się warunków ograniczających podejmowanie decyzji ekonomicznych. Wiadomo jednak, że decyzje nie mogą być podejmowane dowolnie, lecz po spełnieniu określonych warunków. Dlatego obecnie przedstawimy bardziej ogólną postać programowania optymalnego, uwzględniającą ograniczenia w podejmowaniu decyzji ekonomicznych.
Warunki określające, jakie decyzje mogą być podjęte, są nazywane warunkami ograniczającymi. Decyzje zaś uwzględniające warunki ograniczające są nazywane decyzjami dopuszczalnymi.
Warunki ograniczające nie określają zazwyczaj w sposób jednoznaczny, jaka decyzja powinna zostać podjęta. W takich sytuacjach istnieje wiele decyzji dopuszczalnych, które tworzą zbiór decyzji dopuszczalnych. Wówczas decydent stoi przed ważnym problemem wyboru jednej decyzji spośród wielu decyzji dopuszczalnych. Jednocześnie decydent pragnie, by określone cele działalności przedsiębiorstwa były osiągane w stopniu najwyższym. Decyzję dopuszczalną, która pozwala na osiągnięcie postawionego celu w stopniu możliwie najwyższym, nazywa się decyzją optymalną.
Zagadnienie wyboru decyzji optymalnej może być przedstawione w postaci następującego modelu (zadania) programowania matematycznego.
Należy wyznaczyć takie wartości zmiennych x1, x2, …, xn, dla których funkcja:
f(x1, x2, …, xn)
przyjmie wartość optymalną (minimalną lub maksymalną) przy spełnieniu następujących warunków:
g1(x1, x2, …, xn,) = b1
g2(x1, x2, …, xn,) = b2
……………..………….
gn(x1, x2, …, xn,) = bn
Powyższy model jest ogólnym sformułowaniem zagadnienia programowania optymalnego.
Występujące w tym modelu wielkości x1, x2, …, xn, są nazywane zmiennymi decyzyjnymi. Są nimi pewne wielkości, za pomocą których opisuje się decyzje. Wartości zmiennych decyzyjnych należy wyznaczyć, rozwiązując zadanie programowania optymalnego.
Funkcja jest nazywana funkcją celu lub funkcją kryterium zagadnienia programowania optymalnego. Funkcja ta opisuje stopień osiągnięcia postawionego celu i stanowi kryterium wyboru decyzji. Funkcją celu może być koszt zrealizowania podjętej decyzji lub korzyści osiągnięte dzięki zrealizowaniu danej decyzji. Wartość tej funkcji zależy od układu wartości zmiennych decyzyjnych x1, x2, …, xn.
Układ równań przedstawia warunki ograniczające zagadnienia programowania optymalnego, które wyznaczają zbiór decyzji dopuszczalnych. Warunki ograniczające mogą przyjąć postać nie tylko równości, lecz także nierówności oraz pewnych wyrażeń logicznych.
Wybór decyzji optymalnej na podstawie modelu programowania matematycznego polega na wyznaczeniu takiego punktu x1, x2, …, xn, ze zbioru decyzji dopuszczalnych, w którym funkcja celu f(x1, x2, …, xn) przyjmuje wartość ekstremalną, tj. minimalną lub maksymalną w zależności od badanej sytuacji decyzyjnej. Będziemy oczywiście minimalizować funkcję celu oznaczającą koszt zrealizowania podjętej decyzji, natomiast maksymalizować funkcję oznaczają korzyści osiągnięte przez zrealizowanie określonej decyzji.
Model optymalizacyjny zapisany za pomocą formuł jest ogólną postacią zagadnienia programowania matematycznego. W praktyce funkcja celu oraz warunki ograniczające przyjmują określone postacie analityczne, uwzględniające charakter zależności między zmiennymi decyzyjnymi. Stosunkowo najczęściej przyjmuje się, że zależności występujące między wyróżnionymi zmiennymi mają charakter liniowy. Oznacza to jednocześnie założenie o stałości przyrostów zmiennych decyzyjnych w stosunku do przyrostów jednostkowych innych wielkości.
W liniowym modelu optymalizacyjnym, nazywanym także zagadnieniem programowania liniowego, badane zjawisko charakteryzuje się za pomocą funkcji oraz równań i nierówności liniowych. Ogólna postać zagadnienia programowania
liniowego przedstawia się następująco.
Należy wyznaczyć takie wartości zmiennych decyzyjnych x1, x2, …, xn, dla których funkcja:
c1x1 + c2x2 + … + cnxn
przyjmie wartość ekstremalną przy spełnieniu następujących warunków:
a11x1 + a12x2 + … + c1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + c2nxn = b2
………………………………….
am1x1 + am2x2 + … + cmnxn = bm
oraz
x1, x2, …, xn ≥ 0
W przedstawionym modelu wielkości cj (j = 1, 2, ..., m) są współczynnikami wagowymi zmiennych decyzyjnych, od których zależy wartość funkcji celu. Wielkości aij (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) są współczynnikami przy zmiennych decyzyjnych w ograniczeniach, natomiast wielkości bi (i = 1, 2, ..., m) są wyrazami wolnymi ograniczeń. Wszystkie wymienione wielkości są parametrami zagadnienia programowania liniowego, które powinny być dane.
Rozwiązanie modelu zapisanego za pomocą przedstawionych relacji może być wyznaczone z zastosowaniem metody simpleks.
Przy formułowaniu problemów decyzyjnych w postaci zadań programowania optymalnego należy przestrzegać pewnych zasad. Oto ważniejsze z nich, istotne z praktycznego punktu widzenia.
Należy ściśle sformułować i ilościowo określić kryterium wyboru optymalnej decyzji. Pojęcie rozwiązania optymalnego w ogóle nie istnieje; istnieje ono tylko w kontekście określonego kryterium. Problem wyboru kryterium optymalności sprowadza się w swej istocie do określenia pewnego miernika oceny działalności przedsiębiorstwa. W zagadnieniach praktycznych nie zawsze można znaleźć jedno kryterium pozwalające w sposób jednoznaczny oddalić pewne warianty działalności,' a inne przyjąć. Zazwyczaj bowiem ocena działalności przedsiębiorstwa jest przeprowadzana nie na podstawie jednego miernika, lecz z uwzględnieniem wielu różnych kryteriów. W takiej sytuacji są możliwe dwa rozwiązania. Najczęściej z całego zestawu mierników oceny działalności przedsiębiorstwa wyodrębnia się jeden miernik, który gra rolę syntetycznego kryterium wyboru, czy też kryterium w danym okresie najważniejszego dla przedsiębiorstwa. Miernik ten jest traktowany jako główny, natomiast pozostałe są miernikami o charakterze pomocniczym. Innym rozwiązaniem jest uwzględnienie wszystkich kryteriów wyboru, które zostały uznane za adekwatne do treści i zakresu podejmowanych decyzji. Wówczas rozważa się problem decyzyjny ze względu na każde kryterium osobno, a wyboru zadania najbardziej zadowalającego dokonuje się w drodze analizy wyborów cząstkowych.
Warunki ograniczające określają, które z rozważanych rozwiązań są dopuszczalne. W rzeczywistości gospodarczej liczba tych ograniczeń jest zazwyczaj bardzo duża, dlatego nie można ich wszystkich uwzględnić w modelu optymalizacyjnym. Konieczne zatem staje się dokonanie selekcji i wprowadzenie w zestaw ograniczeń modelu wszystkich najważniejszych uwarunkowań podejmowanych decyzji. Chodzi o to, aby model uproszczony - w porównaniu z rzeczywistością - nie utracił realności i przydatności praktycznej. Ważne jest tutaj także prawidłowe ustalenie parametrów modelu optymalizacyjnego.
Wiadomo, że modele programowania optymalnego są budowane w celu dokonania wyboru decyzji optymalnej spośród wielu decyzji dopuszczalnych. Dlatego też modele te można stosować tylko wówczas, gdy konkretne warunki działalności pozwalają na swobodę wyboru wariantów działania. Czynnikami warunkującymi wykorzystanie modeli optymalizacyjnych w programowaniu działalności przedsiębiorstw są: wzajemna substytucyjność poziomu zmiennych decyzyjnych oraz wielowariantowość rozwiązań sytuacji decyzyjnych.
Jeśli stosuje się modele programowania liniowego, to zarówno funkcja celu, jak i ograniczenia programu powinny mieć charakter liniowy. Zależności ekonomiczne występujące w praktyce nie zawsze jednak mają charakter liniowy. Wówczas należy albo ograniczyć się do rozwiązań przybliżonych, sprowadzających się do aproksymacji funkcji nieliniowych funkcjami liniowymi, albo zastosować metody programowania nieliniowego.
Konkretne sytuacje decyzyjne występujące w przedsiębiorstwach, które mogą być ujęte w postaci modeli programowania optymalnego, zostaną przedstawione w dalszej części wykładu.
2. Optymalizacja struktury asortymentowej produkcji
Przedsiębiorstwa produkcyjne przy opracowywaniu programów działalności muszą podejmować decyzje o tym, jakie wyroby wytwarzać i sprzedawać oraz jaka powinna być wielkość produkcji poszczególnych wyrobów. Każda decyzja dotycząca struktury asortymentowej i wielkości produkcji znajduje odzwierciedlenie w ponoszonych kosztach i osiąganych przychodach, a w konsekwencji i w zrealizowanych zyskach. Oczywiście przedsiębiorstwa są zainteresowane produkcją takiego asortymentu wyrobów i ich sprzedażą w takich ilościach, aby zysk osiągnięty ze sprzedaży był maksymalny.
Określając strukturę asortymentową i wielkość produkcji, przedsiębiorstwo musi jednocześnie uwzględnić różnego rodzaju uwarunkowania prowadzonej działalności: zarówno wewnętrzne zależne od przedsiębiorstwa, jak i zewnętrzne od niego niezależne. Najważniejszymi uwarunkowaniami wewnętrznymi są niewątpliwie zasoby środków produkcji, jakimi dysponuje przedsiębiorstwo: maszyn
i urządzeń produkcyjnych, surowców, siły roboczej itp. Wśród uwarunkowań zewnętrznych należy wskazać zwłaszcza popyt na produkowane wyroby.
Rozważmy sytuację, w której przedsiębiorstwo ma możliwość wytwarzania n rodzajów wyrobów. Wielkości produkcji poszczególnych wyrobów, które oznaczymy przez x1, x2, …, xn, są zmiennymi decyzyjnymi, których wartości należy wyznaczyć.
Produkcja rozpatrywanych wyrobów wymaga wykorzystania m rodzajów środków produkcji, których zasoby są ograniczone. Limity wykorzystania poszczególnych środków produkcji oznaczymy przez b1, b2, … bn. Jednocześnie znane są normy zużycia czynników produkcji (tzw. technologiczne współczynniki produkcji), wyrażające zużycie tych czynników na jednostkę produkcji poszczególnych wyrobów. Niech więc aij, gdzie i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, oznacza normę zużycia i - tego czynnika produkcji na jednostkę j - tego wyrobu.
Zysk, jaki osiąga przedsiębiorstwo ze sprzedaży jednostki j - tego wyrobu, wynosi Zj (j = 1, 2, ..., n). Oczywiście przedsiębiorstwu zależy na wytwarzaniu i sprzedaży takich wyrobów i w takich ilościach, aby całkowity zysk ze sprzedaży tych wyrobów był maksymalny.
Opisana sytuacja decyzyjna może być przedstawiona za pomocą następującego modelu programowania liniowego. Należy wyznaczyć takie wielkości produkcji i sprzedaży poszczególnych wyrobów x1, x2, …, xn, dla których funkcja celu:
z1x1 + z2x2 + … + znxn
przyjmie wartość maksymalną przy następujących ograniczeniach:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2
………………………………….
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm
oraz
x1, x2, …, xn ≥ 0
W podanym modelu funkcja celu oznacza całkowity zysk osiągany ze sprzedaży wszystkich wyrobów. Układ nierówności przedstawia warunki ograniczające wynikające z limitów poszczególnych środków produkcji, przy czym lewa strona każdej z tych nierówności oznacza łączne zużycie określonego czynnika produkcji do wytwarzania wszystkich rozpatrywanych wyrobów. Oczywiście zużycie to nie może być większe od zasobów tego czynnika, którym jest wyraz znajdujący się po prawej stronie nierówności. Warunki brzegowe oznaczają, że ilości produkcji poszczególnych wyrobów nie mogą być wielkościami ujemnymi.
Oprócz standardowych ograniczeń wynikających z niewielkich możliwości dysponowania środkami produkcji niekiedy powinny być jeszcze uwzględnione dodatkowe ograniczenia. Mogą to być ograniczenia wyznaczające graniczne poziomy produkcji: minimalny i maksymalny. Minimalny poziom produkcji określonych wyrobów może na przykład wynikać z umów zawartych z odbiorcami lub też z uwarunkowań technologicznych. Z kolei maksymalny poziom produkcji może być określony przez rynkowy popyt na wyroby, oszacowany na podstawie badań rynku.
3. Optymalizacja wielkości partii produkcji i zamówienia
W przedsiębiorstwach produkcyjnych zazwyczaj powstają zapasy wyrobów i materiałów, natomiast w przedsiębiorstwach handlowych zapasy towarów. Zapasy te są spowodowane produkcją wyrobów w określonych seriach oraz zakupem materiałów i towarów w określonych partiach. Przy takiej organizacji procesów gospodarczych przedsiębiorstwa ponoszą koszty przechowywania zapasów oraz koszty uruchamiania poszczególnych partii wyrobów, materiałów czy też towarów.
Przy tym koszty magazynowania oraz koszty przygotowania partii zależą zwykle od wielkości partii: im większa jest partia, tym większe są koszty magazynowania oraz tym mniejsze są koszty przygotowania (zamówienia). W takich warunkach powstają ważne zagadnienia optymalizacyjne dotyczące ustalenia optymalnej serii produkcji wyrobów oraz optymalnej partii zamówienia materiałów i towarów.
Specyfika produkcji wyrobu może wymagać takiej organizacji procesu produkcyjnego, że dany wyrób będzie wytwarzany w seriach (partiach) określonej długości. Jednocześnie zapotrzebowanie na ten wyrób będzie się kształtowało równomiernie w czasie. W takich warunkach ważnym zagadnieniem optymalizacyjnym jest ustalenie optymalnej długości serii produkcji ze względu na ponoszone
koszty.
Zajmiemy się najpierw kryterium optymalizacji długości serii produkcji. Kosztami istotnymi dla ustalenia tej wielkości będą:
koszty uruchomienia serii produkcji,
koszty magazynowania wyrobów.
Kosztami uruchomienia jednej serii produkcji będą przede wszystkim następujące pozycje:
koszty przestrojenia maszyn i urządzeń produkcyjnych,
koszty zamówienia (zakupu) materiałów do produkcji nowej serii,
koszty projektowania i sporządzania harmonogramu produkcji w serii.
Jednostkowe koszty uruchomienia serii produkcji będą kosztami niezależnymi od długości serii, tzn. od liczby wyrobów wytwarzanych w ramach jednej serii. Natomiast całkowite koszty uruchomienia serii produkcji będą kosztami zależnymi od liczby uruchomionych serii produkcji. Będą to więc koszty zmienne w stosunku do liczby serii produkcji, które jednocześnie będą traktowane jako koszty istotne (decyzyjne) dla podjęcia decyzji o długości serii.
Jeśli natomiast chodzi o koszty magazynowania partii wyrobów między seriami produkcji, to będą one obejmować takie pozycje, jak np.:
koszty utrzymania magazynów,
czynsze, podatki, ubezpieczenia,
koszty kredytu na finansowanie zapasów.
Jednostkowe koszty magazynowania wyrobów będą kosztami stałymi w stosunku do liczby wyrobów wytworzonych w ramach jednej serii. Natomiast całkowite koszty magazynowania wyrobów będą kosztami zależnymi od liczby przechowywanych wyrobów, a więc i od liczby wyrobów wytworzonych w ramach jednej serii. Będą to zatem koszty zmienne w stosunku do długości serii i będą one również traktowane jako koszty istotne dla podjęcia decyzji co do długości serii produkcji.
Oczywiście oprócz kosztów uruchomienia serii produkcji i magazynowania partii wyrobów przedsiębiorstwo będzie ponosić także inne koszty produkcji, które są niezależne od długości serii produkcji. Koszty te, jako stałe koszty produkcji, będą jednak kosztami nieistotnymi dla podjęcia decyzji co do długości serii produkcji. Dlatego koszty te pominiemy w dalszych rozważaniach.
Koszty całkowite magazynowania i produkcji mogą być zatem przedstawione jako:
K = Km + Kp
gdzie:
K - koszty całkowite produkcji i magazynowania,
Km - koszty całkowite magazynowania,
Kp - koszty całkowite produkcji.
Zadanie sprowadza się do tego, aby ustalić taką długość serii produkcji, przy której łączny koszt produkcji i magazynowania K w danym okresie będzie minimalny.
Liczba serii produkcji, jakie należy uruchomić w ciągu ustalonego okresu (np. w ciągu roku), może być wyznaczona następująco:
N |
= |
Q |
|
|
D |
gdzie:
N - liczba serii produkcji w roku,
Q - wielkość zapotrzebowania na wyrób w ciągu roku,
D - długość serii produkcji
Jeśli zapotrzebowanie na wyrób jest rozłożone równomiernie w czasie, to przy produkcji partiami będzie występował zapas wyrobu, przy czym w danym okresie produkcji serii zapas ten będzie malał od D jednostek do zera. Średni zapas wyrobu w tym jednym okresie będzie zaś wynosił:
Ď |
= |
D |
|
|
2 |
Koszty całkowite magazynowania wyrobów z jednej serii produkcji będą więc wynosiły:
Km |
= |
km |
x |
D |
|
|
|
|
2 |
gdzie:
Km - całkowite koszty magazynowania wyrobów wytworzonych w ramach jednej serii,
km - koszty magazynowania jednostki wyrobu w jednym okresie.
Koszty całkowite uruchomienia jednej serii produkcji mogą być natomiast zapisane jako iloczyn:
Kp |
= |
kp |
x |
Q |
|
|
|
|
D |
gdzie:
Kp - całkowite koszty uruchomienia serii produkcji w ciągu roku,
kp - jednostkowy koszt uruchomienia serii produkcji
Koszty całkowite magazynowania i produkcji, istotne dla podjęcia decyzji co do długości serii produkcji, mogą być zatem przedstawione następująco:
K |
= |
km |
x |
D |
+ |
kp |
x |
Q |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
D |
Funkcja ta ma minimum w punkcie:
D |
|
2 |
x |
kp |
x |
Q |
|
|
km |
Wzór ten pozwala wyznaczyć optymalną długość serii produkcji, przy której całkowity koszt magazynowania i produkcji wyrobu w ustalonym okresie jest najmniejszy.
Zagadnieniem podobnym do przedstawionego zagadnienia optymalizacji serii produkcji jest ustalenie optymalnej wielkości zamówienia materiałów i towarów. Przy optymalizacji wielkości zamówienia należy uwzględnić dwie pozycje kosztów zależne od tej wielkości:
koszty zamówienia partii,
koszty magazynowania zapasów.
Koszty zamówienia partii materiałów lub towarów obejmują przede wszystkim koszty złożenia zamówienia u dostawcy oraz koszty zakupu związane z dostarczeniem partii materiałów lub towarów. Można przyjąć, że jednostkowe koszty zamówienia są niezależne od jego wielkości. Całkowite koszty zamówień będą natomiast kosztami zależnymi od liczby dokonanych zamówień. Będą to zatem koszty zmienne w stosunku do liczby złożonych zamówień materiałów lub towarów. Dlatego koszty te będą traktowane jako koszty istotne dla podjęcia decyzji dotyczącej wielkości zamówienia.
Liczba zamówień materiałów lub towarów, jakich należy dokonać w ciągu okresu (w ciągu roku), może być określona wzorem:
N |
= |
Q |
|
|
D |
gdzie:
N - liczba zamówień w roku,
Q - zużycie materiałów lub zapotrzebowanie na towar w ciągu roku,
D - wielkość zamówienia.
Koszty całkowite zamówienia materiałów lub towarów mogą być zapisane następująco:
Kz |
= |
kz |
x |
Q |
|
|
|
|
D |
gdzie:
Kz - koszty całkowite zamówień w ciągu roku,
kz - koszty złożenia jednego zamówienia
Jeśli zaś chodzi o koszty całkowite magazynowania, to będą się one wyrażały podobnie jak przy magazynowaniu wyrobów:
Km |
= |
km |
x |
D |
|
|
|
|
2 |
Łączne koszty zamówienia i magazynowania materiałów lub towarów będą zatem sumą:
K |
= |
km |
x |
D |
+ |
kz |
x |
Q |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
D |
Optymalna wielkość zamówienia będzie się wyrażać wzorem:
D |
= |
2 |
x |
kz |
x |
Q |
|
|
km |
Jest to wielkość zamówienia materiałów lub towarów, przy której łączny koszt zamówienia i magazynowania jest najrnniejszy.
4. Optymalizacja cen sprzedaży produktów
Ważnym zagadnieniem z zakresu rachunków optymalizacyjnych w przedsiębiorstwie jest prawidłowe kształtowanie cen sprzedaży produktów. Rola i znaczenie decyzji cenowych wynikają z faktu, że poziom cen kształtuje sytuację przedsiębiorstwa na rynku oraz wpływa na rentowność poszczególnych produktów i całokształtu działalności przedsiębiorstwa. Poziom cen oddziałuje bowiem na wielkość sprzedaży produktów przedsiębiorstwa oraz na przychód osiągany ze sprzedaży.
Prawidłowo ustalona cena sprzedaży produktów powinna się przyczyniać do zwiększenia zysku przedsiębiorstwa. Niewłaściwie ustalona cena sprzedaży powoduje zaś zmniejszenie kwoty zysku. Oznacza to, że poziom cen sprzedaży produktów powinien być rozpatrywany z punktu widzenia całkowitego zysku osiąganego z ich sprzedaży. Podejmując decyzje dotyczące poziomu cen sprzedaży, należy więc dbać o to, aby przyczyniły się one do osiągnięcia maksymalnego zysku ze sprzedaży produktów.
Wyznaczanie optymalnej ceny sprzedaży produktów sprowadza się zatem do maksymalizacji funkcji zysku. Alternatywnym rozwiązaniem w stosunku do ustalenia ceny optymalnej może być wyznaczenie przychodu krańcowego i kosztu krańcowego. W tym przypadku optymalna cena sprzedaży jest wyznaczana z warunku:
przychód krańcowy = koszt krańcowy
Podstawowym problemem związanym z wyznaczaniem ceny optymalnej jest określenie postaci funkcji zysku.
Wyznaczenie optymalnej ceny sprzedaży przez maksymalizację funkcji zysku może się odbywać na dwa sposoby. Różnią się one rodzajem wielkości, która występuje w roli zmiennej niezależnej w funkcji zysku. Możliwe są dwa rozwiązania:
zmienną niezależną może być wielkość sprzedaży,
zmienną niezależną może być cena sprzedaży.
W pierwszym przypadku wyznacza się funkcję zysku zależnie od wielkości sprzedaży, co może być zapisane następująco:
Z(Q) = S(Q) - K(Q)
gdzie:
Z(Q) - funkcja zysku zależnie od wielkości sprzedaży,
S(Q) - funkcja przychodu zależnie od wielkości sprzedaży,
K(Q) - funkcja kosztów zależnie od wielkości sprzedaży
W funkcji przychodu ze sprzedaży jest jednocześnie zawarta funkcja ceny sprzedaży zależnie od wielkości sprzedaży, tj. funkcja p(Q). Oznacza to, że funkcja zysku może być zapisana jako:
Z(Q) = p(Q)Q - K(Q)
Następnie należy wyznaczyć pierwszą pochodną tej funkcji ze względu na wielkość sprzedaży i przyrównać ją do zera. Przez rozwiązanie powstałego równania wyznacza się optymalną wielkość sprzedaży, tj. taką ilość sprzedaży, która zapewnia osiągnięcie maksymalnego zysku. Otrzymaną w ten sposób optymalną wielkość
sprzedaży oznaczymy jako Q0.
Optymalną cenę sprzedaży produktu można wyznaczyć przez podstawienie optymalnej wielkości sprzedaży do funkcji ceny sprzedaży, co możemy zapisać następująco:
p0 = p(Q0)
gdzie:
p0 - optymalna cena sprzedaży,
Q0 - optymalna wielkość sprzedaży.
Optymalna cena sprzedaży jest więc wartością funkcji ceny sprzedaży w punkcie, który odpowiada optymalnej wielkości sprzedaży.
W drugim przypadku należy zbudować funkcję zysku w zależności od ceny sprzedaży, tj. funkcję Z(p). Otrzymujemy więc funkcję zysku o postaci:
Z(p) = S(p) - K(p),
gdzie:
Z(p) - funkcja zysku w zależności od ceny,
S(p) - funkcja przychodu w zależności od ceny,
K(p) - funkcja kosztów w zależności od ceny.
Jednocześnie teraz w funkcji przychodu ze sprzedaży oraz w funkcji kosztów całkowitych jest zawarta funkcja wielkości sprzedaży zależnie od ceny sprzedaży, czyli funkcja Q(p).
Przy powyższych założeniach funkcja zysku będzie się przedstawiać następująco:
Z(p) = pQ(p) - K[Q(p)]
Dla tej funkcji należy następnie wyznaczyć pierwszą pochodną ze względu na cenę sprzedaży i przyrównać ją do zera. Przez rozwiązanie tak powstałego równania otrzyma się optymalną cenę sprzedaży p0.
Optymalną wielkość sprzedaży zapewniającą osiągnięcie maksymalnego zysku przy danej optymalnej cenie sprzedaży wyznacza się przez podstawienie wartości p0 do funkcji sprzedaży. Wyraża to zapis:
Q0 = Q(p0)
Optymalna wielkość sprzedaży jest więc wartością funkcji wielkości sprzedaży w punkcie odpowiadającym cenie optymalnej.
Ważnym problemem związanym z zastosowaniem przedstawionego podejścia do wyznaczania ceny optymalnej jest dobór analitycznej postaci funkcji ceny sprzedaży. Stosunkowo najczęściej zakłada się dwie postacie tej funkcji:
funkcję liniową,
funkcję potęgową.
Jeśli zaś chodzi o analityczną postać funkcji kosztów zależnie od wielkości produkcji, to najczęściej przyjmuje się zależność o charakterze liniowym.
5. Optymalizacja przewozów i zagadnienia pokrewne
W wielu przedsiębiorstwach występuje konieczność dokonywania przewozów masowych produktów od pewnych dostawców do określonych odbiorców. Dotyczy to zwłaszcza przewozu takich produktów, jak węgiel, piasek, cement, ziemniaki, zboże, buraki cukrowe itp. W tego rodzaju przedsiębiorstwach bardzo istotną pozycją kosztów działalności będą koszty transportu. Przedsiębiorstwa powinny zatem tak zaplanować przewozy, aby łączne koszty transportu były najmniejsze.
Zasygnalizowany problem optymalizacyjny jest znany jako zagadnienie transportowe. Znaczenie tego zagadnienia w rachunkach optymalizacyjnych jest dlatego tak duże, iż wiele innych problemów optymalizacyjnych daje się sprowadzić, z formalnego punktu widzenia, do zagadnienia transportowego. Dalej przedstawimy ogólne sformułowanie tego zagadnienia.
Rozważymy sytuację, w której występuje m dostawców danego produktu, przy czym wielkości produktu znajdujące się u poszczególnych dostawców wynoszą odpowiednio a1, a2, …, am. Ilości te będziemy dalej nazywali podażą dostawców.
Na rozpatrywany produkt zgłaszają zapotrzebowanie różni odbiorcy. Łącznie mamy n odbiorców produktu, którym należy go dostarczyć w wielkościach b1, b2, …, bn. Ilości te będziemy dalej nazywali zapotrzebowaniem odbiorców.
Zagadnieniem pokrewnym w stosunku do zagadnienia transportowego jest zagadnienie produkcyjno-transportowe. W zagadnieniu tym rozpatruje się m producentów jednorodnego wyrobu, których zdolności produkcyjne wynoszą odpowiednio a1, a2, …, am. Istnieje też n odbiorców tego wyrobu, których zapotrzebowanie
kształtuje się na poziomie b1, b2, …, bn. Zakłada się przy tym, że łączna zdolność produkcyjna wszystkich producentów jest większa od całkowitego zapotrzebowania wszystkich odbiorców.
Zadanie optymalizacyjne polega na tym, aby wskazać, którzy producenci powinni produkować wyrób, w jakich ilościach oraz jak rozsyłać ten wyrób, aby łączne koszty produkcji i przewozu były najmniejsze.
Z formalnego punktu widzenia zagadnienie transportowo-produkcyjne sprowadza się do niezbilansowanego zagadnienia transportowego, w którym występuje nadwyżka łącznych zdolności produkcyjnych wszystkich producentów nad całkowitym zapotrzebowaniem na wyrób zgłoszonym przez wszystkich odbiorców.
21