ZASADA  SUPERPOZYCJI

 

                    Zasadę superpozycji, tzn. nakładania się, możemy sformułować w sposób następujący:

       Def.

                Odpowiedź układu fizycznego, obwodu elektrycznego lub jego gałęzi na kilka wymuszeń, równa się sumie odpowiedzi na każde wymuszenie z osobna.

 

             Zasada ta mówi, że prąd w dowolnym elemencie liniowego układu elektrycznego jest równy algebraicznej sumie prądów wywołanych w tym elemencie w wyniku działania każdego napięcia źródłowego niezależnie. Ponieważ zależnożci między prądami w elementach, a napięciami w tych elementach są liniowe, więc w podobny sposób można sformułować zasadę superpozycji dla napięć.

 

            Przy pomocy tej zasady oblicza się prądy lub napięcia wywoływane kolejno przez poszczególne źródła napięcia lub prądu . Pozostałe źródła napięcia lub prądu traktuje się jako niedziałające, pozostawiając w obwodzie impedancje wewnętrzne tych źródeł.(np. niedziałające źródło napięcia ma impedancję wewnętrzną równą zeru, więc zaciski tego źródła zwieramy, a gdy jest to źródło prądu niedziałające, mające admitancję wewnętrzną równą zeru to zostawiamy zaciski rozwarte.

 

            Szczegółowe  "działanie" zasady superpozycji.

 

             Prąd w dowolnym oczku obwodu jest równy sumie prądów, które popłynęłyby w tym oczku, w przypadku kolejnego działania napięć źródłowych. Wynika to z zasady superpozycji czyli nakładania się prądów. Zasada superpozycji jest słuszna nie tylko dla prądów oczkowych, ale także dla prądów rzeczywistych płynących w dowolnych gałęziach. Dzieląc obwód na niezależne oczka, można je zawsze tak dobrać, by rozpatrywana gałąź wchodziła w skład tylko jednego oczka. Wtedy prąd rzeczywisty tej gałęzi jest równy prądowi oczkowemu.

I = I4´+I4´´+I4´´´

       

Wyznaczając prądy w układzie  jak na rysunku  przy zastosowaniu zasady superpozycji, przyjmuje się, że tylko  jedno źródło ma napięcie źródłowe różne od zera, a wartości wszystkich pozostałych napięć źródłowych są równe zeru. Założenie to powtarza się kolejno dla każdego źródła. Otrzymuje się wartości wszystkich prądów składowych.

        Prądy płynące w obwodzie będą równe sumie algebraicznej prądów składowych.

METODA SUPERPOZYCJI

(przy obliczaniu obwodów elektrycznych prądu zmiennego)

W przypadku tym rozkładamy układy wieloźródłowe zgodnie z zasadą, na szereg układów z jednym źródłem.

 

        Obliczenie składowych odpowiedzi I' , U', itd. można uzyskać stosując metodę transfiguracji. Odpowiedzi wynikowe są sumami geometrycznymi odpowiedzi składowych ze znakami zależnymi od zgodności ich zwrotów z założonymi zwrotami odpowiedzi wynikowych.
 

                                                            I1 = I1' - I1''   ;   Uw1 = Uw1' - Uw1''

                                                            I2 = I2'' - I2'   ;   Uw2 = Uw2'' - Uw2'

                                                            I = I' + I''        ;   U = U' + U''

 

        Dla układu jak na powyższym rysunku otrzymamy (uwzględniając zasadę transfiguracji):

 

 

Przykładowe rozwiązanie układu składającego się

                                          z dwóch źródeł napięcia i trzech  rezystorów.

 

    Zostały użyte dwa źródła napięciowe:

                                                                E1 = 10 V

                                                                E2 = 12 V

    oraz rezystory:

                                                                R1 = 50   ohm

                                                                R2 = 25   ohm

                                                                R3 = 100 ohm

 

 

    Schemat układu przedstawia się następująco:

     Rozwiązujemy następnie każdy z układów układając do każdego z nich po trzy równania. Następnie rozwiązujemy układy równań i wyznaczamy prądy I1 I2, a następnie prądy I, I', I''.

Zgodnie z zasadą superpozycji, wartość prądu I powinna być równa sumie wartościi prądów I' i I''.

 

    Obwód pierwszy.

 

 

 

    Obwód drugi.

 

 

 

 

    Obwód trzeci.

 

k

    Według zasady superpozycji suma wartości prądów obwodów drugiego i trzeciego powinna być równa wartości prądu w obwodzie pierwszym. I tak rzeczywiście jest. Wartość prądu w obwodzie pierwszym wynosi 97.14 mA, co jest równe sumie wartości prądów w obwodzie drugim (68.57 mA) oraz w obwodzie trzecim (28.59 mA).

 

            I = I´ + I´´ = 68.57mA + 28.59mA = 97.16mA.

Twierdzenie thevenina

Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić w postaci źródła napięcia o sile elektromotorycznej równej napięciu między rozwartymi zaciskami wyjściowymi dwójnika aktywnego. Rezystancja wewnętrzna tego źródła jest równa rezystancji tego dwójnika po usunięciu wszystkich źródeł energii.

Usunięcie źródeł energii rozumiemy jako zwarcie źródeł napięcia oraz rozwarcie źródeł prądowych. Ze względu na to, iż każdy obwód elektryczny można traktować jako dwójnik aktywny względem dwóch zacisków, każdy taki obwód można zastąpić właśnie zastępczym źródłem napięcia względem tej pary zacisków.

Pewnego rodzaju uzupełnieniem i rozszerzeniem twierdzenia Thevenina jest twierdzenie Nortona.

Twierdzenie nortona

Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić w postaci źródła prądu. Prąd źródłowy tego źródła równy jest prądowi płynącemu w bezoporowym przewodzie zwierającym zaciski dwójnika aktywnego, zaś rezystancja wewnętrzna tego źródła jest równa rezystancji tego dwójnika po usunięciu wszystkich źródeł energii.

Usunięcie źródeł energii rozumiemy jako zwarcie źródeł napięcia oraz rozwarcie źródeł prądowych. Ze względu na to, iż każdy obwód elektryczny można traktować jako dwójnik aktywny względem dwóch zacisków, każdy taki obwód można zastąpić właśnie zastępczym źródłem prądu względem tej pary zacisków.

Twierdzenie Nortona jest niejako uzupełnieniem twierdzenia Thevenina, pozwala ono rozpatrywać dwójnik jako źródło prądowe, a nie napięciowe, choć zależności matematyczne są podobne.

Dowód twierdzenia thevenina

Rozpatrzmy dwójnik aktywny o zaciskach A,B przedstawiony schematycznie na poniższym rysunku.

Ponieważ zawiera on źródła energii w swych wewnętrznych połączeniach, między zaciskami A,B istnieje różnica potencjałów U₀. Do zacisków A,B dołączamy rezystor R zamykając wyłącznik w.

Wskutek tego w oporniku R popłynie prąd I, którego natężenie zostanie obliczone. Do gałęzi zawierającej rezystor R można włączyć idealne źródło napięcia o sile elektromotorycznej E₀=U₀.

Ze względu na to, iż siła elektromotoryczna tego źródła równa jest napięciu między zaciskami A i B, na otwartym wyłączniku w napięcie jest równe 0. Wobec tego po zamknięciu wyłącznika prąd I płynący przez rezystor R jest równy 0. Obwód z powyższego rysunku można traktować jako superpozycję dwóch stanów: pierwszy z nich jest otrzymany przez zwarcie źródła napięciowego E₀, zaś drugi to stan gdy w dwójniku aktywnym usunięte są wszystkie idealne źródła energii (z pozostawieniem ich rezystancji wewnętrznych). W wyniku tego przekształcenia otrzymuje się dwójnik pasywny zawarty w obwodzie na rysunku poniżej.

Dwójnik pasywny (nie zawierający żadnych źródeł energii) mozna zastąpić opornikiem R₀.

Wartość R₀ jest zatem rezystancją dwójnika pasywnego widzianą z zacisków A,B. Natężenie prądu w oporniku R obliczyć można jako:

Po dokonaniu superpozycji prądów I oraz I' ich różnica I - I' = 0, ponieważ prąd płynący przez opornik R musi być równy 0, jak wcześniej stwierdzono. Wobec tego otrzymujemy zależność:

Obwód z poprzedniego rysunku można przedstawić również w sposób następujący:

Porównując ten obwód z obwodem wyjściowym, można stwierdzić, iż na miejscu dwójnika aktywnego znajduje się źródło napięciowe o sile elektromotorycznej E₀ = U₀ oraz rezystancji wewnętrznej R₀. Stąd wniosek, iż każdy liniowy dwójnik aktywny można zastąpić źródłem napięciowym.

Przykład nr 1

W układzie jak na rysunku poniżej należy zastąpić układ poprzez jedno źródło napięciowe o rezystancji R_w. Wyjściem układu jest spadek napięcia U na rezystancji R. Wszystkie wielkości wyrażone są w jednostkach podstawowych układu SI (A,V,Ohm).

W tym celu należy po pierwsze obliczyć wartość napięcia źródła. Zastępując rezystancję R rozwarciem (rezystancja nieskończenie duża obliczamy wartość napięcia U z dzielnika napięcia (przez rezystor 10-omowy prąd nie płynie):

 Wobec tego wartość napięcia U wynosi 5 [V].

Następnym krokiem jest obliczenie rezystancji widzianej z zacisków wyjściowych przy zwartych źródłach napięciowych. W przypadku źródeł prądowych należałoby je rozewrzeć. Schemat tego układu można wówczas przedstawić następująco:

 

Jak widać wartość R_w wynosi:

 

Tak więc, zgodnie z twierdzeniem Thevenina układ można zastąpić źródłem napięciowym o rezystancji R_w jak na poniższym rysunku.

Przykład nr 2

W układzie jak na rysunku poniżej należy zastąpić układ poprzez jedno źródło napięciowe o rezystancji R_w. Wyjściem układu jest spadek napięcia U na rezystancji R. Wszystkie wielkości wyrażone są w jednostkach podstawowych układu SI (A,V,Ohm).

W tym celu należy po pierwsze obliczyć wartość napięcia źródła. Zastępując rezystancję R rozwarciem (rezystancja nieskończenie duża obliczamy oba prądy oczkowe, a następnie wartość napięcia U jako:

U = 125 + I₁ ^. 30 + I₂ ^. 25

  Metodą prądów oczkowych otrzymujemy:

skąd po obliczeniu I1 = 0 oraz I2 = -2,5 [A]

Wobec tego wartość napięcia U wynosi 125 - 62,5 = 62,5 [V]

Następnym krokiem jest obliczenie rezystancji widzianej z zacisków wyjściowych przy zwartych źródłach napięciowych. W przypadku źródeł prądowych należałoby je rozewrzeć. Schemat tego układu można wówczas przedstawić następująco:

 

Aby móc łatwo obliczyć rezystancję zastępczą skorzystamy z przekształcenia "trójkąt - gwiazda". Rezystancje R1, R2 oraz R3 obliczamy jako:

Zmodyfikowany układ przedstawia poniższy schemat.

Teraz można już łatwo obliczyć wartość R_w jako:

Tak więc, zgodnie z twierdzeniem Thevenina układ można zastąpić źródłem napięciowym o rezystancji R_w jak na poniższym rysunku.

Przykład nr 3

W układzie jak na rysunku poniżej należy obliczyć natężenie prądu I płynącego przez rezystor R5.

 W tym celu zastosujemy twierdzenie Thevenina i zastąpimy układ przez źródło napięciowe. Jako zaciski wyjściowe przyjmujemy zaciski A,B jak na poniższym rysunku.

Obliczamy wartości prądów I1 oraz I3 jako:

oraz napięcie U₀:

Zwierając źródło napięciowe E otrzymujemy następujący układ.  

Ze względu na to, iż zaciski C,D są zwarte, układ można przedstawić w prostszej postaci.

Teraz można już łatwo obliczyć rezystancję wewnętrzną źródła napięciowego (widzianą z zacisków A,B).

Szukany prąd wyznaczamy jako:

Wstawiając obliczone wartości otrzymujemy ostateczny wzór:

---