Uniwersytet Zielonogórski

Wydział Inżynierii

Lądowej i Środowiska

Pracownia Fizyki

FIZYKA

SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM NR 5

TEMAT: Pomiar oporu elektrycznego i sprawdzenie prawa Ohma.

mgr Kazimierz Markowski Mariusz Kukułka Grupa 13

25 kwietnia 2003

Zielona Góra

CZĘŚĆ I : Wiadomości teoretyczne

1. Klasyczna teoria przewodnictwa elektrycznego metali :

Poza prawami mechaniki Newtona chyba najbardziej znanymi i użytecznym prawem fizycznym

jest prawo Ohma. Prawo to głosi, że pomiędzy natężeniem prądu J i wektorem pola elektryczne-

go E istnieje zależność liniowa. Stosuje się ono zarówno do doskonałych przewodników metali-

cznych jak i do złych przewodników, jakimi są izolatory. Prawo to zapisuje się zwykle w postaci

J = σE

Współczynnik proporcjonalności σ jest w większości pospolicie używanych materiałów wielko- ścią skalarną i nazywany jest przewodnictwem. Różnica między przewodnikami a izolatorami

odbija się po prostu na wartości σ. Dla metali σ jest rzędu 10⁺⁷ (Ω m)^-1 , dla dobrych izolatorów

rzędu 10^-10 (Ω m)^-1lub jeszcze mniejsze.

W nieobecności pola elektrycznego wypadkowy przepływ prądu w materiale jest równy zeru.

To podstawowe stwierdzenie wynika z własności rozkładu Fermiego : dla każdego elektronu o

pędzie p w pewnym wybranym kierunku w krysztale istnieje inny elektron, o pędzie -p w kie-

runku przeciwnym. Jeśli teraz do kryształu przyłożymy stałe pole zewnętrzne, wypadkowy pęd

nie będzie już równy zeru. W zewnętrznym polu na każdy elektron działa siła skierowana w tym

samym kierunku i wszystkie elektrony zawarte w kuli Fermiego poruszają się jako całość w kie-

runku przeciwnym do pola E (rysunek nr 1).

pole elektryczne

stan stan w

podstawowy obecności pola

Zewnętrzne pole elektryczne

przesuwa środek kuli Fermiego.

Znając wartość przesunięcia

Można obliczyć średni prąd

Elektronowy.

Ten uporządkowany ruch elektronów walencyjnych, nakładający się na ich w stanie podsta-

wowym, daje w rezultacie wypadkowy przepływ ładunku przez ciało stałe, a więc prąd elek-

tryczny.

Wzór opisujący wpływ pola można otrzymać analizując siłę działającą na każdy elektron i

przeprowadzając sumowanie po całej grupie elektronów. Jeśli pole E skierowane jest wzdłuż

osi x, na każdy elektron walencyjny działa siła qE ( dla elektronu q = -1,610^-19 C ); a zatem

m*x = qE

Prawo Ohma głosi, że dla danego stałego pola zewnętrznego prąd ma ściśle określoną, stałą

wartość, nie zmieniającą się w czasie. Aby otrzymać taki wynik należy wprowadzić pewną do-

datkową siłę. Z podobną sytuacją mamy do czynienia, gdy ciało zsuwa się po równi pochyłej.

Jeśli powierzchnia jest doskonale gładka, przyspieszenie ciała rośnie nieograniczenie, jeśli nato-

miast występują siły tarcia, ciało osiąga pewną stałą prędkość końcową, proporcjonalną do wy-

padkowej siły przyspieszającej, zależnej od kąta nachylenia. Elektron musi więc doznawać dzia-

łania jakiś dodatkowych sił tarcia, ograniczających jego prędkość do pewnej skończonej wartoś-

ci. Pochodzenie tych sił można odgadnąć na podstawie przesłanek doświadczalnych. Z doświad-

czeń wynika, że przy wzroście temperatury przewodnictwo metali maleje. Ponieważ wzrost tem-

peratury pociąga za sobą wzrost amplitudy drgań cieplnych, wydaje się, że siły tarcia mogą wy-

nikać z oddziaływania poruszających się elektronów z drganiami cieplnymi kryształu.

Warto tu przypomnieć jedno z podstawowych twierdzeń odnośnie elektronów w ciałach sta-

łych, mianowicie twierdzenie, że elektrony walencyjne nie doznają w swym ruchu translacyj- nym żadnych zaburzeń ze strony idealnej sieci jonowej. Potwierdzają to dane doświadczalne :

opór czystego metalu, poddanego uprzednio długotrwałemu wygrzewaniu, jest w otoczeniu ze-

ra bezwzględnego bliski zeru. Jeśli jednak niektóre jony są nieco przesunięte z położenia równo-

wagi - w związku z lukami, dyslokacjami czy drganiami cieplnymi - ruch translacyjny elektro-

nów nie jest już zupełnie swobodny. Elektrony są wówczas rozpraszane na nierównomiernie

rozmieszczonych jonach. Oczywiście zgodnie z zasadą Pauliego elektrony mogą być rozprasza-

ne tylko do stanów nieobsadzonych. Ponieważ wymiana energii przy zderzeniach rozpraszają-

cych jest niewielka, rozpraszaniu mogą podlegać tylko elektrony znajdujące się w pobliżu po-

wierzchni Fermiego.

Obecność sił tarcia, związanych z rozpraszaniem poszczególnych elektronów przez sieć, w

istotny sposób modyfikuje rozkład Fermiego. Elektrony z „czoła” powierzchni Fermiego są

rozpraszane częściej, niż elektrony z jej tylnej części, a więc są stopniowo zbierane z czoła po-

wierzchni i stopniowo przenoszone do tyłu, do stanów o niższej energii.

Procesy rozpraszania ograniczają

przesunięcie kuli Fermiego do

pewnej wartości p_o .

Gdy skutki rozpraszania elektronów i przyspieszania elektronów przez pole równoważą się,

Ustala się stan stacjonarny, w którym powierzchnia Fermiego przesunięta jest o pewną stałą, skończoną wartość (rysunek nr 2). Jeśli przemieszczenie środka kuli Fermiego wynosi p_o , wy-

padkowy prąd jest równy

gdzie N oznacza liczbę elektronów w kuli Fermiego.

2. Prawo Ohma i prawa Kirchhoffa. Łączenie oporów :

Jeżeli do przewodnika przyłożymy różnicę potencjałów V, to przez przewodnik popłynie

prąd I. Na początku XIX w. Georg Ohm odkrył, że natężenie prądu w metalach jest proporcjo-

nalne do przyłożonego napięcia dopóki utrzymuje się stałą temperaturę. Ohm zdefiniował opór

przewodnika (rezystację) jako napięcie podzielone przez natężenie prądu,

(definicja oporu)

Równanie to jest definicją oporu. Prawem Ohma jest natomiast następujące stwierdzenie :

stosunek R=V/I jest niezależny od I dla metalu w stałej temperaturze T (prawo Ohma).

Wyprowadzenie prawa Ohma:

Wmyśl kwantowej teorii metali w krysztale metalicznym zewnętrzne elektrony atomów nie

są związane z poszczególnymi atomami na skutek falowej natury elektronów. Z kwantowej te-

orii wynika także fakt, że elektrony przewodnictwa mogą przebyć wiele średnic atomowych nim

zderzą się z jakimś atomem. Niech L będzie średnią drogą, jaką przebywa elektron między ko-

lejnymi zderzeniami, zwaną średnią drogą swobodną. Średnim czasem między zderzeniami bę-

dzie Δt = L/u , gdzie u jest średnią prędkością elektronów przewodnictwa ( u jest prędkością we

wszystkich przypadkowych kierunkach i nie powoduje przepływu prądu).

Jeśli do kawałka metalu zostanie przyłożone napięcie, różnica potencjałów, to na każdy elektron

Przewodnictwa będzie działała siła eE, a po czasie Δt każdy z tych elektronów osiągnie prędkość

Unoszenia v_d = Δu daną przez

(drugie prawo Newtona)

Zastąpienie Δt średnim czasem L/u daje

Prędkość unoszenia dla wszystkich elektronów ma ten sam kierunek (kierunek -E) i powstaje

wypadkowy prąd. Przy każdym zderzeniu elektron traci swą prędkość unoszenia. Średnia droga

swobodna L jest tak mała, że v_d jest zawsze znacznie mniejsze od u.

Rysunek nr2 :

Natężenie prądu w przewodzie o powierzchni przekroju A można otrzymać wstawiając do rów-

nania
powyższe wyrażenie na

Wzór na opór przewodu o długości x_o , pokazanego na rysunku nr2 można otrzymać zauważyw-

szy , że spadek napięcia na przewodzie wynosi Ex_o. Podstawiając do powyższego wzoru wyra-

żenie E = V/x_o otrzymujemy

i opór

Tak więc opór jest proporcjonalny do długości przewodu x_o i odwrotnie proporcjonalny do prze-

Kroju A. R pozostaje stałe tak długo, jak u jest stałe. Średnia prędkość elektronów u będzie stała

Jeśli będzie utrzymana stała temperatura. Stała proporcjonalności nazywa się oporem właściwym

(rezystywnością) ρ ,a zatem

Prawa Kirchhoffa :

W bardziej złożonych obwodach opory mogą być tak połączone, że nie daje się przedstawić ta-

kiego obwodu w postaci układu prostych szeregowych i równoległych połączeń. Istnieje ogólna

metoda postępowania ze złożonymi obwodami wykorzystująca tzw. prawa Kirchhoffa :

Pierwsze prawo Kirchhoffa ( twierdzenie o obwodzie zamkniętym ) :

W dowolnym węźle obwodu suma algebraiczna natężeń prądów wpływających i wypływających

do węzła równa się zeru, czyli

Drugie prawo Kirchhoffa ( twierdzenie o punkcie rozgałęzienia ) :

W dowolnym oczku obwodu suma algebraiczna wszystkich sił elektromotorycznych i spadków

napięć jest równa zeru, czyli

Węzłem obwodu (punktem rozgałęzienia) nazywamy punkt, w którym łączy się pewna liczba

gałęzi obwodu. Natężenia prądów wpływających do węzła uważa się za dodatnie, a natężenia

prądów wypływających z węzła - za ujemne. Pierwsze prawo Kirchhoffa jest bezpośrednią

konsekwencją zasady zachowania ładunku. Ponieważ w węźle ładunki nie mogą się ani groma-

dzić ani znikać, więc ilość ładunku wpływającego musi być równa ilości ładunku wypływają-

cego. Oczkiem obwodu nazywamy dowolną zamkniętą część lub cały obwód. Drugie prawo

Kirchhofa jest konsekwencją zasady zachowania energii przeniesionej na grunt elektryczności.

Łączenie oporów :

W obwodach elektrycznych opory występują w połączeniach szeregowych i równoległych. Przy

połączeniu szeregowym (rys.3) napięcia na poszczególnych opornikach sumują się, a natężenie

prądu we wszystkich opornikach jest takie samo. Zatem

Opór wypadkowy ( zastępczy ) wyraża się wzorem

Przy połączeniu równoległym (rys.4) napięcia na wszystkich opornikach są takie same, nato -

miast natężenie prądu I jest sumą natężeń prądów płynących w poszczególnych opornikach

Zatem opór wypadkowy R=U/I wyraża się wzorem

Rys.3 Rys.4

3. Zasada działania mostka Wheatstone'a :

Mostkiem pomiarowym nazywamy mostek elektryczny służący do pomiaru pojem.elek., rezys-

tancji, indukcyjności oraz innych wielkości fizycznych jednoznacznie z nimi związanych. Bada-

ny element elektryczny stanowi jedną gałęzi mostka pomiarowego, w pozostałych gałęziach

znajdują się elementy wzorcowe. Stan, gdy w gałęzi przekątnej mostka pomiarowego nie pły-

nie prąd elektryczny, nosi nazwę stanu równowagi mostka pomiarowego, a zależność między

parametrami poszczególnych gałęzi w stanie równowagi - warunku równowagi. Rozróżnia się

mostki pomiarowe zrównoważone i niezrównoważone. Pomiar pierwszym polega na doprowa-

dzeniu go do stanu równowagi przez zmianę wartości elementów wzorcowych i obliczeniu pa-

rametrów badanego elementu. Pomiar drugim sprowadza się do pomiaru w gałęzi przekątnej

napięcia lub natężenia prądu elektrycznego, którego przepływ jest wywołany włączeniem ba-

danych elementów do jednej (lub więcej) gałęzi mostka. W zależności od rodzaju prądu zasila-

nia rozróżnia się mostki pomiarowe prądu stałego ( warunek równowagi dla rezystancji :

) i mostki pomiarowe prądu zmiennego ( warunek równowagi dla impedancji:

, gdzie Z jest impedancją w postaci zespolonej ).

Do pierwszych zalicza się mostek pomiarowy Wheatstone'a, stosowany do dokładnych po-

miarów rezystancji w zakresie od ok.1 Ω do 1MΩ. Do drugich należy między innymi mostek

pomiarowy Maxwella służący do pomiaru indukcyjności własnej i wzajemnej.

Mostek pomiarowy Wheatstone'a

4. Jaka jest różnica między amperomierzem i woltomierzem ?

Amperomierz - miernik prądu elektrycznego wywzorcowany w amperach, włączany szeregowo

w badany obwód prądu elektrycznego. Amperomierz prądu stałego mierzy wartość chwilową

prądu stałego lub prądu wolnozmiennego. Amperomierz prądu przemiennego mierzy wartość

skuteczną (rzadziej średnią) prądu przemiennego. Amperomierze dzielimy na następujące typy:

elektrolityczne, magnetoelektryczne, detekcyjne, elektromagnetyczne, elektrodynamiczne,

cieplno rozszerzalnościowe, termoelektryczne, indukcyjne.

Woltomierz - elektryczny miernik napięcia elektrycznego wywzorcowany w woltach. Rozróż-

nia się woltomierze : napięcia stałego (mierzące wartość chwilową napięcia stałego lub wolno-

zmiennego), napięcia przemiennego (mierzące wartość skuteczną, wartość szczytową- maks.),

oraz wartość średnią napięcia przemiennego. Układ pomiarowy woltomierza ma zwykle dużą

rezystancję wejściową, co zmniejsza wpływ woltomierza na obwód badany, do którego wolto-

mierz przyłącza się równolegle. Wyróżniamy woltomierze : magnetoelektryczne, elektromagne-

tyczne, elektrodynamiczne, cieplne elektrostatyczne, lampowe i in.

Amperomierz jest miernikiem elektrycznym do pomiaru natężenia prądu, jego rezystancja jest

zbliżona do zera, natomiast woltomierz służy do pomiaru napięcia prądu, a jego opór wewnętrz-

ny jest bardzo duży (idealny woltomierz powinien mieć nieskończoną rezystancję w celu wyeli-

minowania jego wpływu na badany układ). Inny jest sposób podłączania obu mierników do ob-

wodu. Woltomierz podłączamy równolegle do urządzenia na którym mierzymy napięcia, nato-

miast amperomierz włączamy szeregowo w wybranym punkcie obwodu elektrycznego.

Ze wzglądu na swoje cechy (niska rezystancja wewnętrzna) łatwiej jest uszkodzić amperomierz

gdyż błędne podłączenie może spowodować że przez obwód popłynie prąd o wysokim natężeniu

co może doprowadzić do uszkodzenia lub wręcz zniszczenia miernika.

CZĘŚĆ II : Ćwiczenie laboratoryjne-obliczenia

1. Sprawdzenie prawa Ohma :

Tabela nr 1

L.p.	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.
U[V]	2,6	2,16	1,84	1,6	1,44	1,28	1,16	1,08	1,0	0,92
I[A]	0,256	0,212	0,18	0,156	0,14	0,124	0,112	0,104	0,096	0,088
R[Ω]	10,15	10,12	10,22	10,25	10,29	10,32	10,36	10,38	10,42	10,45
ΔR[Ω]	0,132	0,159	0,187	0,216	0,24	0,271	0,3	0,323	0,35	0,382

Średnia wartość napięcia : U_ŚR.= 1,508 [V]

Średnia wartość natężenia : I_ŚR.= 0,1468 [A]

Średnia wartość oporu : R_ŚR.= 10,30 [Ω]

Rachunek błędu :

R_ŚR.= 10,30 ± 0,256 [Ω]

2. Wyznaczenie oporu R_x badanych oporników na podstawie prawa Ohma :

Tabela nr 2

OPORNIK NR 2
L.p.	U[V]	I[A]	R[Ω]	ΔR[Ω]	RŚR.[Ω]
1.	4,9	0,196	25	0,143	25
2.	4,2	0,168	25	0,167
3.	3,7	0,148	25	0,190
4.	3,3	0,132	25	0,213
5.	3,0	0,120	25	0,234

Średnia wartość napięcia : U_ŚR.= 3,82 [V]

Średnia wartość natężenia : I_ŚR.= 0,1528 [A]

Średnia wartość oporu : R_ŚR.= 25 [Ω]

Rachunek błędu :

Opornik nr 2 R_ŚR.= 25,0 ± 0,190 [Ω]

Tabela nr 3

OPORNIK NR 3
L.p.	U[V]	I[A]	R[Ω]	ΔR[Ω]	RŚR.[Ω]
1.	7,4	0,132	56,06	-0,034	55,512
2.	6,7	0,120	55,83	-0,036
3.	6,1	0,110	55,45	-0,037
4.	5,6	0,102	54,90	-0,036
5.	5,2	0,094	55,32	-0,042

Średnia wartość napięcia : U_ŚR.= 6,2 [V]

Średnia wartość natężenia : I_ŚR.= 0,1116 [A]

Średnia wartość oporu : R_ŚR.= 55,512 [Ω]

Rachunek błędu :

Opornik nr 3 R_ŚR.= 55,512 ± 0,037 [Ω]