Piotr Brzyski

Nr.127547

WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH

SEMINARIUM

I. Zadanie Z-2 / 15

Zaproponować układ który przekształci sygnał y(t) w falę zmodulowaną DSB-SC o pulsacji nośnej ϖ_o. Znaleźć amplitudę A _o zmodulowanej fali nośnej na wyjściu układu. Narysować widmo S(ϖ).

2. Wprowadzenie

Przy dwuwstęgowej modulacji amplitudy bez fali nośnej (DCB-SC Double SieBand- Suppressed Carrier) funkcja nośna ma postać fali harmonicznej cos(ω₀t) , funkcjonał modulacji natomiast jest wprost sygnałem modulującym f(t). Zgodnie z wyrażeniem :

s(t)=c(t)⋅m[f(t)] sygnał zmodulowany jest iloczynem fali nośnej i sygnału modulującego:

s(t)=f(t) cos(ω₀t)

W wyniku tej operacji widmo sygnału modulującego ulega przesunięciu ( zachowując swój kształt) o ±ω₀ wzdłuż osi częstotliwości.

3. Rozwiązanie

Patrząc od końca układu otrzymamy sygnał modulujący s(t) , któremu odpowiada widmo

s(t)=f(t)⋅ cos(ω₀t) ↔ ½⋅[ F(ω - ω₀) + F(ω + ω₀) ]

co odpowiada warunkom zadania

s(t) ↔ ½⋅[ Y(ω - 3⋅ω_n) + Y(ω + 3⋅ω_n) ]

gdzie Y(ω) - jest widmem amplitudowym sygnału y(t).

Sam sygnał x(t) jest sygnałem uzyskanym przez przepuszczenie sygnału f(t) przez filtr dolnoprzepustowy (FDP).

Korzystam z własności przekształcenia : f(t)⇔F(ω) to F(t)⇔2π⋅f(ω)

Ponieważ
, tak więc dla λ=1 mamy :

Idąc dalej

Zamieniając dziedziny

Czyli

Następnie wyznaczamy czasową i częstotliwościową postać h(t) i H(ω)

Natomiast h(t)= Sa(ω_o⋅t) Sa(ω_o⋅t)⇔

Po przejściu sygnału „ f ” przez filtr otrzymujemy :

Co można przedstawić na wykresach w dwóch dziedzinach : czasu i częstotliwości

Następnie sygnał ten jest kluczowany przez q(t)

Co zgodnie z treścią zadania wynosi:

Rozpisując x(t) na nieskończony przebieg składowych sinusoidalnych otrzymujemy

co przedstawia się graficznie :

Transformatę natomiast
wyliczamy :

co ogólnie można zapisać

Tak więc y(t) jest kluczowanym sygnałem x(t) przez q(t) :

Mając postać czasową sygnału x(t) poddajemy go kluczowaniu , otrzymujemy sygnał y(t) , który przechodząc przez filtr dolnoprzepustowy o częstotliwości ω₀=3ω_n obcina wyższe częstotliwości które pojawiają się jak 3ω₀=9ω_{n ,} 5ω₀=15ω_{n ,} 7ω₀=21ω_n .....

W tym miejscu potrzebny jest filtr który odfiltruje składowe o wyższej częstotliwości niż 3ω_n w skutek czego na wyjściu otrzymamy sygnał

Sygnał s(t) złożyć można z fali nośnej c(t)=cos(t⋅3ωn) i sygnału modulującego y(t)'=m[f(t)]=

4. Wnioski

Jak widać modulacja dwuwstęgowa ze stłumioną wstęgą boczną DSB-SC jest realizowalna przez układ z kluczowaniem ( możliwa też jest modulacja z modulatorem pierścieniowym ). Natomiast samo rozwiązanie okazuje się kłopotliwe , pojawiają się skomplikowane całki. Wyliczony sygnał s(t) jest sygnałem który pojawi się na wyjściu układu gdy zastosujemy filtr dolnoprzepustowy o częstotliwości ω₀=3ω_n. Przykładem takiego filtru może być filtr pokazany na rysunku z zastosowaniem wzmacniacza operacyjnego nie odwracającego fazy :

Wykres s(t)

S(w) wyliczamy :

s(t) ↔ ½⋅[ Y(ω - 3⋅ω_n) + Y(ω + 3⋅ω_n) ]

gdzie Y(ω) - jest widmem amplitudowym sygnału y(t)'=m[f(t)]=

więc

wykres S(ω)

1

1

---