Estymacja

Zadanie 1

W 2010 roku wylosowano niezależnie do próby 100 osób z woj. pomorskiego i zbadano ich przeciętne miesięczne wynagrodzenie brutto. Z próby obliczono średnią arytmetyczną i nieobciążone odchylenie standardowe
. Oszacować przeciętne miesięczne wynagrodzenie polaków.

(zad. dom. Jakiego parametru dotyczy estymacja? Jaki jest rozkład estymatora nieznanego parametru? Jakie własności posiada estymator nieznanego parametru?)

1. Oszacować metodą punktową średnią w populacji (ile wynosi średni błąd szacunku?)

2. Oszacować metodą przedziałową średnią w populacji, dla poziomu ufności 0.95 (ile wynosi maksymalny błąd szacunku?)

3. Jak zmieni się maksymalny błąd szacunku, gdy poziom ufności zwiększymy do 0,99, a jak gdy zmniejszymy do 0,90?

4. Ile minimalnie osób powinna liczyć próba, aby z ufnością 95% oraz maksymalnym błędem szacunku d=100zł można było wnioskować o średniej w populacji.

Zadanie 2

Jak zmienią się wyniki z zadania 1, jeżeli liczebność próby zostanie zmniejszona do 25 osób?

Zadanie 3

W celu oszacowania średniej miesięcznej płacy księgowych zatrudnionych w prywatnych firmach w 2001 r. wylosowano niezależnie do próby 10 osób i otrzymano następujące informacje:
tys.zł, s=1,2tys.zł. Za pomocą testu zgodności sprawdzono, że rozkład średniej miesięcznej płacy księgowych jest zgodny rozkładem normalnym z nieznanymi parametrami.

(zad. dom. Jakiego parametru dotyczy estymacja? Jaki jest rozkład estymatora nieznanego parametru? Jakie własności posiada estymator nieznanego parametru?)

1. Oszacować metodą punktową średnią w populacji (ile wynosi średni błąd szacunku?)

2. Oszacować metodą przedziałową średnią w populacji, dla poziomu ufności 0.99 (ile wynosi maksymalny błąd szacunku?)

3. Jaka powinna być minimalna liczebność próby, aby z ufnością 95% oraz maksymalnym błędem szacunku d=0.2tys.zł można było wnioskować o średniej w całej populacji prywatnych firm w 2001r.?

4. Jak zmieni się maksymalny błąd szacunku, rozpiętość przedziału ufności i precyzja oszacowań, gdy poziom ufności wynosi 0,99; 0,95; 0,90?

Zadanie 4

Jak zmienią się wyniki z zadania 3, jeżeli liczebność próby zostanie zwiększona do 100 osób?

Zadanie 5

Na podstawie badania „exit pull” w październiku 2011r. wśród losowo wybranych 1000 osób ustalono, że 38,5% badanych popiera partię „P”. Oszacować proporcję w populacji. Porównać wyniki, gdy ostatecznie ogłoszono, że frekwencja wyborcza wynosiła 48,92%, a partia ”P” uzyskała poparcie 39,18%.

(zad. dom. Jakiego parametru dotyczy estymacja? Jaki jest rozkład estymatora nieznanego parametru? Jakie własności posiada estymator nieznanego parametru?)

1. Oszacować, metodą punktową odsetek osób popierających partię P w populacji (ile wynosi standardowy szacunku?)

2. Oszacować, metodą przedziałową, odsetek osób popierających partię P, przyjmując poziom ufności 0,99 (ile wynosi maksymalny błąd szacunku?)

3. Ile minimalnie powinna liczyć próba, aby wnioskować o poparciu dla partii P z ufnością 95% oraz maksymalnym błędem szacunku d=0.03.

f. O ile wzrośnie minimalna liczebność próby, gdy maksymalny błąd szacunku zmniejszy się o połowę?

Zadanie 6

Na podstawie przeprowadzonego w grudniu 2004r., w Gdyni sondażu wśród 200 losowo wybranych osób ustalono, że 120 badanych (60%) zapamiętało slogan reklamowy produktu K. Oszacować proporcję w populacji.

1. Oszacować, metodą punktową, udział tej grupy w populacji ( ile wynosi standardowy oraz maksymalny błąd szacunku przy współczynniku ufności 99%?)

2. Oszacować, metodą przedziałową, odsetek osób, które zapamiętały slogan reklamowy, przyjmując poziom ufności 0,99 (ile wynosi maksymalny błąd szacunku?)

3. Ile minimalnie powinna liczyć próba, aby o skuteczności reklamy wnioskować z ufnością 99% oraz maksymalnym błędem szacunku d=0.02.

Zadanie 7

Wylosowano niezależnie do próby 150 studentów Wydziału Zarządzania i zapytano ich, czy systematycznie palą papierosy; 50 studentów potwierdziło, że systematycznie pali papierosy. Oszacować odsetek palących studentów na WZ

1. Oszacować, metodą punktową, udział tej grupy w populacji i obliczyć standardowy błąd estymatora.

2. Oszacować, metodą przedziałową, odsetek osób, które systematycznie palą papierosy, przyjmując poziom ufności 95% i wskazać maksymalny błąd szacunku.

3. Ile minimalnie powinna liczyć próba, aby o systematycznie palących studentach wnioskować z ufnością 95% oraz maksymalnym błędem szacunku d=0.03.

4. Ile minimalnie powinna liczyć próba, aby o systematycznie palących studentach wnioskować z ufnością 95% oraz maksymalnym błędem szacunku równym 2 punkty procentowe.

Zadanie 8

1. Zmniejszając poziom ufności (niepotrzebne skreślić):

1. rozpiętość przedziału ufności rośnie \ maleje,

2. maksymalny błąd szacunku rośnie \ maleje,

3. precyzja szacunku maleje \ rośnie,

4. liczebność próby maleje \ rośnie,

2. Zmniejszając poziom istotności (niepotrzebne skreślić):

1. rozpiętość przedziału ufności rośnie \ maleje,

2. maksymalny błąd szacunku rośnie \ maleje,

3. precyzja szacunku maleje \ rośnie,

1. Estymator średniej z próby to estymator (niepotrzebne skreślić)

zgodny, niezgodny, obciążony, nieobciążony, efektywny.

4. Własności estymator proporcji to ............................... ................................... ................................................

Zadanie 9 Zaznacz krzyżykiem, które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe.

Stwierdzenie	Prawda	Fałsz
1. Poziom istotności jest równy prawdopodobieństwu błędu pierwszego rodzaju
2. Estymacja polega na oszacowaniu nieznanego parametru w populacji na podstawie wyników z próby.
3. Zwiększając współczynnik ufności maksymalny błąd szacunku maleje.
4. Dla dużej liczebności próby rozkład średniej z próby jest rozkładem normalnym.
5. Maksymalny błąd szacunku zależy od wybranego poziomu ufności.

Testy parametryczne

Zadanie 1(test dla średniej)

W 2010 roku w woj. pomorskim badano przeciętne miesięczne wynagrodzenie brutto osób pracujących. Panowało przekonanie, że przeciętne miesięczne zarobki brutto Polaków wynosiły 3200zł. Na podstawie 100 elementowej próby losowej prostej obliczono średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe
.

1. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że przeciętne miesięczne zarobki brutto w województwie pomorskim są istotnie wyższe niż „średnia krajowa”.

2. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że przeciętne miesięczne zarobki brutto w województwie pomorskim są istotnie niższe niż „średnia krajowa”.

3. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że przeciętne miesięczne zarobki brutto w województwie pomorskim są nie różnią się istotnie od „średniej krajowej”.

Zadanie 1a

Czy decyzja weryfikacyjna z zadania 1 ulegnie zmianie, jeżeli liczebność próby zostanie zmniejszona do 10 losowo wybranych pracowników? (Rozwiązać trzy podpunkty z zad. 1)

Zadanie 1b

Czy decyzja weryfikacyjna z zadania 1 i 1a ulegnie zmianie, jeżeli zmienimy poziom istotności na α=0,25?

Zadanie 1c

Norma techniczna (średni czas) przewiduje średnio 60 sekund na wykonanie pewnej operacji w firmie produkcyjnej. Kierownictwo tej uważa, że norma jest niewłaściwa. W celu zweryfikowania poprawności normy technicznej dokonano pomiarów dla 50 losowo wybranych pracowników i otrzymano normę
=55 sekund z odchyleniem standardowym s=20 sekund.

1. Na poziomie istotności α=0,1 zweryfikować hipotezę, że rzeczywisty średni czas wykonania badanej operacji technicznej jest istotnie wyższy niż przyjęta norma.

2. Na poziomie istotności α=0,1 zweryfikować hipotezę, że rzeczywisty średni czas wykonania badanej operacji technicznej jest istotnie niższy od przyjętej norma.

3. Na poziomie istotności α=0,1 zweryfikować hipotezę, że rzeczywisty średni czas wykonania badanej operacji technicznej jest istotnie różny od przyjętej normy.

Zadanie 1d

Czy decyzja weryfikacyjna z zadania 1c ulegnie zmianie, jeżeli liczebność próby zostanie zmniejszona do 10 losowo wybranych pracowników? (Rozwiązać trzy podpunkty z zad. 1)

Zadanie 1e

Czy decyzja weryfikacyjna z zadania 1c i 1d ulegnie zmianie, jeżeli zmienimy poziom istotności na α=0,05?

Zadanie 1e

Firma doradztwa inwestycyjnego zapewnia, że przeciętny przychód z akcji w pewnej gałęzi przemysłu wynosi 11,5%. Inwestor chce sprawdzić tę opinię, pobiera więc próbę losową prostą złożoną z akcji 50 spółek należących do tej gałęzi i stwierdza, że średni przychód z akcji w próbie wyniósł 10,8%, przy wariancji 11,56%. Czy inwestor ma dostateczne podstawy do odrzucenia zapewnienia firmy doradczej przy poziomie istotności 0,02?

Uwaga: W tym zadaniu % jest jednostką;)

Zadanie 2(test dla proporcji)

Badano poparcie partii politycznych. Na podstawie wcześniejszych badań stwierdzono, że partię”P” popiera 40% społeczeństwa. W celu sprawdzenia preferencji w październiku 2011r. wśród losowo wybranych 1000 osób ustalono, że 390 badanych (39%) popiera partię „P”.

I. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że partia ”P” ma poparcie istotnie wyższe niż 40%.

II. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że partia ”P” ma poparcie istotnie niższe niż 40%.

III. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że partia ”P” ma poparcie istotnie różne niż 40%.

Zadanie 2a

Czy decyzja weryfikacyjna z zadania 2 ulegnie zmianie, jeżeli zmienimy poziom istotności na α=0,1?

Zadanie 2b

Badano nasilenie hałasu w pewnym zakładzie porcelany stołowej. W tym celu wylosowano niezależnie 160 pracowników i w trakcie badań lekarskich stwierdzono, że 68 z przebadanych osób ma zakłócenia słuchu.

I. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że więcej niż 30% pracowników ma zakłócenia słuchu.

II. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że mniej niż 60% pracowników ma zakłócenia słuchu.

Zadanie 2c

Badano nasilenie hałasu w pewnym zakładzie porcelany stołowej. W tym celu wylosowano niezależnie 250 pracowników i w trakcie badań lekarskich stwierdzono, że 150 z przebadanych osób ma zakłócenia słuchu.

I. Na poziomie istotności α=0,01 zweryfikować hipotezę, że 60% pracowników ma zakłócenia słuchu.

II. Czy decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie, jeżeli zmienimy poziom istotności na α=0,12?

III. Na poziomie istotności α=0,02 zweryfikować hipotezę, że mniej niż 60% pracowników ma zakłócenia słuchu.

Zadanie 3 (test dla dwóch proporcji)

Panuje przekonanie, że studenci WZ zdają egzamin ze statystyki lepiej niż studenci WE. W celu sprawdzenia tego przypuszczenia wylosowano próbę losową prostą n₁=120 studentów WZ i okazało się, że wśród nich 90 osób uzyskało z egzaminu zaliczenie. Wśród wylosowanych niezależnie n₂=150 studentów WE zaliczenie uzyskało 60 osób. Wnioskując na poziomie istotności α=0,05 ustalić, czy rzeczywiście studenci WZ zdają egzamin ze statystyki lepiej niż studenci WE?

I. Czy decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie, jeżeli zmniejszymy poziom istotności do 0,01?

Zadanie 3a

Panuje przekonanie, że studenci WZ zdają egzamin z matematyki finansowej lepiej niż studenci WE. W celu sprawdzenia przekonania wylosowano próbę prostą n₁=150 studentów WZ i okazało się, że wśród nich 60% uzyskało z egzaminu zaliczenie. W wylosowanej próbie prostej n₂=160 studentów WE okazało się, że wśród nich 50% uzyskało z egzaminu zaliczenie. Wnioskując na poziomie istotności α=0,1 ustalić, czy rzeczywiście studenci WZ zdają egzamin z matematyki finansowej gorzej niż studenci WE?

I. Czy decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie, jeżeli zmniejszymy poziom istotności do 0,02?

Zadanie 4 (test dla dwóch średnich i dwóch wariancji)(TPS) Test dla II średnich i II wariancji, próby niezależne, liczebność duża

Wysunięto przypuszczenie, że średnie wydatki na żywność w gospodarstwach domowych emerytów i rencistów różnią się istotnie statystycznie od wydatków na żywność w gospodarstwach pracowniczych. W tym celu pobrano próby liczące po 100 gospodarstw. Na podstawie zebranych informacji obliczono wartość odpowiedniej statystyki i otrzymano 2,77. Czy przypuszczenie było słuszne?

Zadanie 4a(IH) Test dla II średnich, niezależne próby, małe liczebności prób , σ²_1, σ²₂=?; σ²₁ =σ²₂Test dla II średnich,

W celu zbadania stanu kont na początku miesiąca w pewnym banku wylosowano niezależnie 10 kont emerytów i 17 kont osób pracujących. Na podstawie próby otrzymano przeciętny stan konta dla emerytów 1,7tys.zł z odchyleniem standardowym 0,72tys.zł; a dla osób pracujących przeciętny stan konta wyniósł 2,8tys.zł z odchyleniem standardowym 0,49tys.zł. Wiadomo, że rozkłady stanów kont na początku miesiąca w populacji emerytów i osób pracujących są zgodne z rozkładem normalnym z nieznanymi parametrami. Na poziomie istotności α=0,1 zweryfikować hipotezę, że przeciętny stan kont osób pracujących jest istotnie wyższy od przeciętnego stanu kont emerytów.

Zadanie 4b(Test dla II średnich, niezależne próby, małe liczebności prób , σ²_1, σ²₂=?; σ²₁ ≠σ²₂Test IH

Czy decyzja weryfikacyjna z zadania 4a ulegnie zmianie (na poziomie istotności α=0,1), jeżeli informacje o stanach kont uzyskano z niezależnych prób 10 kont emerytów i 120 kont osób pracujących oraz
tys.zł.

Zadanie 4cTest dla II średnich, niezależne próby, duże liczebności prób , σ²_1, σ²₂=?; σ²₁ ≠σ²₂Test IH

Czy decyzja weryfikacyjna z zadania 4a ulegnie zmianie (na poziomie istotności α=0,1), jeżeli informacje uzyskano z niezależnych prób 100 kont emerytów i 120 kont osób pracujących?

Testy nieparametryczne

Zadanie 1

W celu zbadania przeciętnej ceny mieszkań za 1 m² w tys. PLN o powierzchni 30-50 m² oferowanych do sprzedaży w Trójmieście we wrześniu 2008 roku wylosowano do próby 10 mieszkań, których ceny przedstawiały się następująco:

70 65 90 85 95 100 60 90 85 60

1. Jakie założenia należy sprawdzić, aby badać przeciętną cenę mieszkań na podstawie małej próby?

2. Na poziomie istotności α=0,1 zweryfikować hipotezę, że dobór jednostek do próby jest losowy.

3. Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że dobór jednostek do próby jest zgodny z rozkładem normalnym.

4. (zad. dom.) Na poziomie istotności zweryfikować hipotezę, że średnia cena mieszkań za 1 m² w Trójmieście jest wyższa niż 85tys.zł?

Zadanie 1a

Maszyna toczy wałki o określonej średnicy. Do kontroli technicznej pobrano 10 sztuk i otrzymano następujące wyniki pomiarów średnicy w mm: 12; 8; 10; 11; 9; 11; 8; 12; 9.

a)Na poziomie istotności α=0,1 zweryfikować hipotezę, że próba jest losowa.

b)Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że dobór jednostek do próby jest zgodny z rozkładem normalnym.

Zadanie 3

Pracownicy pewnego zakładu produkcyjnego charakteryzują się różną absencją chorobową. Wysunięto hipotezę, że rozkład dni absencji zależy od płci. Wylosowano próbę losową prostą 500 pracowników i otrzymano wyniki:

Absencja chorobowa	Kobiety (n1i)	Mężczyźni (n2i)	n1i + n2i	n1i^2
Zerowa	100	150
Mała	50	100
Średnia	30	30
Duża	10	20
Razem	200	300

Na poziomie istotności 0,1 zweryfikować hipotezę, że rozkłady liczby absencji kobiet i mężczyzn w badanej branży nie różnią się w sposób statystycznie istotny (są takie same).

Zadanie 3a

W centrum pewnego miasta wprowadzono zmianę organizacji ruchu drogowego - postawiono sygnalizatory świetlne. Wydział komunikacji twierdzi, że w wyniku zmian czas przejazdu samochodem przez miasto uległ skróceniu. W celu sprawdzenia tego przypuszczenia zapytano 10 wylosowanych niezależnie kierowców przejeżdżających codziennie przez miasto do pracy, ile czasu zajmował im dojazd do pracy przed wprowadzeniem zmian, a ile czasu zajmuje obecnie. Otrzymano następujące wyniki:

Przed zmianami 32; 27; 21; 13; 25; 38; 17; 29; 32; 34.

Po zmianach: 35; 25; 21; 10; 26; 35; 15; 25; 33; 30.

Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład czasów przejazdu przez miasto przed zmianami i po zmianach nie różnią się istotnie statystycznie.

Zadanie 3b

W badaniu klinicznym skuteczności leczenia nadciśnienia u osób z niewydolnością serca przy zastosowaniu nowego leku w losowej próbie 9 pacjentów przeprowadzono pomiar ciśnienia skurczowego przed leczeniem (pomiar l) i po leczeniu (pomiar 2). Otrzymano następujące wyniki:

Nr pacjenta	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Pomiar l	240	230	190	160	180	210	195	180	245
Pomiar 2	210	230	160	150	140	160	180	160	245

1. Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować czy dobór jednostek do próby dla pomiaru 1-go był losowy?

2. Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować czy rozkład ciśnienia skurczowego dla pomiaru l jest zgodny z rozkładem normalnym wiedząc, że odpowiednia statystyka z próby jest równa 1,92.

3. Na poziomie istotności 0.1 zweryfikować hipotezę o zgodności rozkładów ciśnienia skurczowego przed i po leczeniu.

Zadanie 4 Uzupełnij zdania:

1. Wnioskowanie statystyczne dzielimy na ................................ i ........................................

2. Hipoteza podlegająca procedurze weryfikacji to zawsze hipoteza ................................

3. Prawdopodobieństwo odrzucenia prawdziwej hipotezy zerowej nazywamy .......................

4. Sformułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej dotyczy próby, czy populacji? ......................

5. Statystyka testowa dotyczy próby, czy populacji? ...........................

6. Wnioski z weryfikacji hipotez statystycznych dotyczą próby, czy populacji? .........................

7. Pierwszym etapem weryfikacji hipotez statystycznych jest ..........................

8. Testy istotności, to testy kontrolujące błąd ............................

9. Ostatnim etapem weryfikacji hipotez statystycznych jest ..........................

10. Prawdopodobieństwo przyjęcia fałszywej hipotezy zerowej nazywamy ........................

11. Jeżeli poziom istotności maleje, to prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju ...............,a pole obszaru krytycznego............

12. Jeżeli poziom ufności maleje, to prawdopodobieństwo błędu I-go rodzaju ..........................

13. Czego dotyczą testy o charakterze parametrycznym? ..........................

14. Postać statystyki testowej zależy od:

15. Test serii Stevensa jest testem ........................ ; którego obszar krytyczny jest ..........................

16. Test jednorodności
    jest jednym z testów ..........................., którego obszar krytyczny jest .............................

17. Test zgodności Kołmogorowa-Smirnowa jest jednym z testów ................................, którego obszar krytyczny jest..........................

18. Do zweryfikowania zgodności dwóch rozkładów o ciągłych dystrybuantach dla dużych liczebności prób; służy test ................................................., którego obszar krytyczny jest...................................

19. Testy, które weryfikują zgodność dwóch rozkładów nazywamy testami .......................................

20. Do zweryfikowania zgodności rozkładu empirycznego badanej cechy skokowej z rozkładem teoretycznym, przy dużej liczebności próby służy test ...........................; którego obszar krytyczny jest.......................

21. Czy prawdą są stwierdzenia:

- obszar krytyczny w testach parametrycznych zależy od postaci hipotezy alternatywnej? ................

- obszar krytyczny w testach nieparametrycznych zależy od postaci hipotezy alternatywnej? ................

- obszar krytyczny testu zgodności
Kołmogorowa jest lewostronny? ...........

• test jednorodności
  służy do zweryfikowania zgodności dwóch rozkładów dla cechy jakościowej, dla dużych prób?

Zadanie 5 Zaznaczyć krzyżykiem, które z poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe.

Stwierdzenie	Prawda	Fałsz
1. Weryfikacja hipotez to uogólnienie wyników z próby losowej na całą populację.
2. Weryfikacja hipotez to sprawdzenie hipotez dotyczących populacji na podstawie wyników z próby losowej.
3. Błąd I-go rodzaju polega na odrzuceniu hipotezy zerowej gdy jest prawdziwa.
4. Błąd II-go rodzaju polega na przyjęciu hipotezy zerowej, gdy jest fałszywa.
5. Postać statystyki testowej zależy od rozkładu wartości cechy w populacji i liczebności próby.

Statystyka Ćwiczenia 5-10 Estymacja i testy statystyczne Strona 5

---