zgin ukosne 5, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 1


ĆWICZENIE 5

(18.11. i 25.11.)

KONWENCJA ZNAKOWANIA MOMENTÓW I WZÓR NA NAPRĘŻENIA

Wektor momentu przy zginaniu ukośnym można zrzutować na osie y, z , będące głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju. Przyjmujemy konwencję znakowania składowych momentów zgodnie z którą składowa jest dodatnia gdy jej zwrot jest zgodny z osią y lub z. Poniższy rysunek przedstawia składowe dodatnie.

0x01 graphic

Działanie poszczególnych składowych przedstawia rysunek. Rozciąganie włókien przedstawia kropka, ściskanie krzyżyk. Stąd dla pierwszej ćwiartki układu współrzędnych (dodatnie wartości współrzędnych y oraz z) wynikają odpowiednie znaki składników naprężeń normalnych:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Dla zginania ukośnego momentem o dowolnych składowych otrzymujemy wzór zgodny z podaną konwencją znakowania.

0x01 graphic

Uwaga: dla innej konwencji znakowania otrzymujemy inne znaki we wzorze na naprężenia.

Oś obojętna w przekroju zginanym ukośnie

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
gdzie: 0x01 graphic

Przypadki:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

PRZYKŁAD - SIŁA SKUPIONA

Wyznaczyć naprężenia w środku belki wolnopodpartej obciążonej siłą skupioną jak na rysunku poniżej przyłożoną w środku przęsła.

0x01 graphic

Z rysunku widać że składowe tej siły na oś y oraz na oś z są skierowane przeciwnie do odpowiednich osi.

Jeśli mamy do czynienia z obciążeniem przestrzennym (tzn. nie leżącym w żadnej z płaszczyzn wyznaczonej przez oś x i jedną z osi głównych) to najlepszą metodą jest rozkład tego obciążenia na dwie płaszczyzny 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
i analiza momentów zginających osobno dla każdej płaszczyzny a następnie zsumowanie składników naprężeń.

płaszczyzna0x01 graphic
obciążenie składową 0x01 graphic

0x01 graphic

Poniżej przedstawiono wykres momentów, z którego należy odczytać wartość momentu w środku przęsła oraz przypisać znak. Znak ustalamy następująco: dokonujemy podziału płaszczyzną o normalnej zewnętrznej skierowanej zgodnie z osią x. Moment zginający działa ciągnąc włókna po tej stronie, po której narysowany jest wykres, w stronę włókien przeciwnych. Tak narysowanemu momentowi (na czerwono) przypisujemy wektor, zgodnie z reguła śruby prawoskrętnej. Jeśli ten wektor ma zwrot zgodny z osią układu prawoskrętnego (w tym przypadku oś z) to moment ten ma znak dodatni.

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
gdzie: 0x01 graphic

płaszczyzna0x01 graphic
obciążenie składową 0x01 graphic

0x01 graphic

Analizując podobnie otrzymujemy wektor momentu przeciwny do osi Y

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
gdzie: 0x01 graphic

Naprężenie całkowite wyznaczamy ze wzoru dla zginania ukośnego:

0x01 graphic

Dla zadania:

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
, 0x01 graphic

PŁATEW DACHOWA OBCIĄŻONA CIĘŻAREM WŁASNYM

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

SPOSÓB I

Obciążenie leży w płaszczyźnie xyo , która nie jest związana z osią główną. Jest możliwe narysowanie wykresu momentów Mzo oraz wyznaczenie wartości ekstremalnej wraz ze znakiem. Znak ustalamy następująco: dokonujemy przecięcia osi płaszczyzną normalną i zwracamy się na stronę, gdzie zwrot normalnej zewnętrznej jest zgodny z osią x. Moment (zgodnie z umową o rysowaniu momentów po stronie włókien rozciąganych) ciągnie w tym przypadku włókna dolne a ściska górne. Wektor momentu jest skierowany przeciwnie do osi zo . Wektor ten rozkładamy na składowe wzdłuż osi y oraz z otrzymując wartości tych składowych oraz znaki poprzez porównanie zwrotów wektorów składowych i zwrotów osi.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

SPOSÓB II

0x01 graphic

Rozkład obciążenia q na składowe wzdłuż kierunków osi głównych przekroju. Rozważamy teraz dwie płaszczyzny xy oraz xz . W każdej z tych płaszczyzn rysujemy wykresy momentów zginających i podobną metodą jak poprzednio przypisujemy odpowiednim momentom znaki porównując zwroty osi prostopadłych do płaszczyzny oraz zwroty momentów. Otrzymujemy w ten sposób dwie składowe momentu zginającego, który otrzymamy przez złożenie tych składowych.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Nietrudno zauważyć ,że rezultat jest ten sam dla obydwu sposobów.

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Oś obojętna 0x01 graphic

Dane do obliczeń:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Wyniki:

0x01 graphic
0x01 graphic

Zginanie ukośne

Zadanie.

Obliczyć maksymalne naprężenie normalne w belce jak na rys.1a. o przekroju jak na rys. 1b.

0x01 graphic
0x01 graphic

Rys.1a. Rys.1b.

kątownik 0x01 graphic
dane z tablic kształtowników:

0x01 graphic

0x01 graphic

I) Charakterystyki geometryczne przekroju

Przekrój posiada oś symetrii, co determinuje położenie głównych centralnych osi bezwładności 0x01 graphic
pod kątem 45 stopni względem osi ciężkości 0x01 graphic

Z prawa transformacji główne centralne momenty bezwładności wynoszą:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

II) Naprężenia normalne w przekroju maksymalnego momentu zginającego:

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozkładamy wektor momentu na składowe wzdłuż kierunków głównych:

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Rozkład naprężeń normalnych w przekroju maksymalnego momentu określa równanie:

0x01 graphic

po podaniu współrzędnych yz punktów w metrach ze wzoru otrzymamy naprężenia mierzone w kPa.

Równanie osi obojętnej otrzymujemy z równania:

0x01 graphic

oś tą zaznaczono na poniższym rysunku

0x01 graphic
punkt A

Maksymalne naprężenie normalne występuje w punkcie przekroju najbardziej oddalonym od osi obojętnej. Z rysunku widać, że jest to punkt A o współrzędnych:

0x01 graphic
0x01 graphic

W celu wyznaczenia współrzędnych w układzie yz trzeba wykorzystać wzory transforma-cyjne przy obrocie układu:

0x01 graphic

0x01 graphic

Naprężenie w punkcie A wynosi:

0x01 graphic

Zadanie

Wspornik o przekroju dwuteowym pokazanym na rys.3. zaprojektowany został na działanie siły poprzecznej. Wskutek niedokładności montażowej oś główna centralna przekroju odchyliła się od pionu o kąt 0x01 graphic
.Poszukać położenia osi obojętnej i porównać z położeniem osi obojętnej dla pręta idealnie zamontowanego. Dane:0x01 graphic

Współrzędne momentu zginającego (dla przekroju przypodporowego) w głównych centralnych osiach bezwładności przekroju wynoszą:

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

rys.3.

Oś obojętną określa równanie:

0x01 graphic

Po wstawieniu składowych momentów i wartości zadanego współczynnika k otrzymamy :

0x01 graphic
0x01 graphic
określa położenie nowej osi obojętnej.

0x01 graphic

Dla pręta idealnie zamontowanego oś z jest osią obojętną.

PROJEKT 5

Projektowanie płatwi dachowej - przykład.

Schemat po lewej stronie przedstawia rozkład obciążenia wzdłuż osi belki. Po prawej stronie przedstawiono kierunki obciążeń zewnętrznych oraz orientację przekroju względem kierunku poziomego (i pionowego)

0x01 graphic

Poniżej podany jest przekrój zwymiarowany parametrycznie.

0x01 graphic

Należy zaprojektować parametr a ze względu na maksymalne naprężenia normalne, występujące w przekroju α-α . Narysować oś obojętną w tym przekroju oraz bryłę naprężeń.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
rozeta, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 1
skrecanie projekt, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 2
statecznosc , Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 2
hipotezy, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 2
stan odkszt, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 1
ZGINANIE ZE ŚCISKANIEM, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 2
Clebsch, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 2
stan naprezen, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 1
inżynierskie 5, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 1
rownania-fiz, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 1
statecznosc , Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 2
ROZCIĄGANIE, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 2
nosnosc graniczna - m. kinematyczna i statyczna, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 2
Zginanie poprzeczne, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów, semestr 2
Próba udarności, Studia, Budownictwo UTP, Wytrzymałość materiałów, Wytrzymałość materiałów
Doc1, budownictwo studia, wytrzymałość materiałów, Книга Обсл і рем
Spec. tech.(Skw.+Międz. ) poprawiona, budownictwo studia, wytrzymałość materiałów, Книга Обсл і рем

więcej podobnych podstron