wykład 2. niedokładność pomiaru

2.1. Wprowadzenie

Pomiar jest operacją niedokładną, tzn. wynik pomiaru , czyli wartość zmierzona jest tylko estymatą nieznanej wartości prawdziwej tego, co ma być zmierzone, i na ogół jest

≠ (2.1)

a jeżeli nawet zajdzie

= (2.2)

to o zajściu powyższego nie wiadomo. Istnieją inne operacje niedokładne, stosowane w metrologii i w innych dyscyplinach, takimi operacjami są: odtwarzanie (operacja realizowana przez wzorzec miary), przetwarzanie sygnału, obliczanie przybliżone (np. numeryczne, wykonywane przez komputer), aproksymacja, zapis cyfrowy liczb rzeczywistych, sterowanie w systemie sterowania. Charakterystyczną cechą takich operacji jest to, że faktyczny wynik operacji czyli wynik niedokładny różni się od wyniku oczekiwanego, ideału tej operacji. Wynik pomiaru czyli wartość zmierzona różni się od wartości prawdziwej, wartość prawdziwa wielkości odtworzonej przez wzorzec różni się od wartości nominalnej czyli deklarowanej, wynik obliczenia przybliżonego różni się od wyniku obliczenia dokładnego itd. Rozważać będziemy niedokładność operacji, których wynik oczekiwany i wynik faktyczny są liczbami rzeczywistymi. Rozważa się także niedokładność operacji, których wyniki są innymi tworami matematycznymi - liczbami zespolonymi, ciągami liczb, funkcjami.

Rozróżnić można dwa rodzaje operacji niedokładnych. Są to operacje typu pomiar i operacje typu odtwarzanie. Operacja typu pomiar, a jest nią pomiar, obliczanie przybliżone, aproksymacja, ma znany faktyczny wynik operacji a nieznany wynik oczekiwany; operacja typu odtwarzanie, a jest nią odtwarzanie i przetwarzanie, odwrotnie, ma znany oczekiwany wynik operacji a nieznany wynik faktyczny. Znany wynik operacji będziemy oznaczali symbolem i nieznany wynik operacji - symbolem . Dla operacji typu pomiar oznacza wynik faktyczny, a - wynik oczekiwany. Dla operacji typu odtwarzanie odwrotnie, oznacza wynik oczekiwany, a - wynik faktyczny. Dalsze rozważania będą odnosiły się do niedokładności pomiaru, czyli niedokładności operacji typu pomiar, rozważania te można jednak bez trudu przenieść na niedokładność odtwarzania czyli na niedokładność operacji typu odtwarzanie.

Najbardziej przekonywującą jest przedziałowa interpretacja niedokładności wyniku pomiaru [Jaworski i inni'92], ją też przyjmujemy jako podstawę dalszych rozważań. Wyniki pomiaru, znana wartość zmierzona i nieznana wartość prawdziwa są liczbami rzeczywistymi, ich obrazem jest oś liczb rzeczywistych. Niedokładność pomiaru interpretujemy traktując jego wynik nie jako punkt na osi liczbowej danym przez znane , lecz jako przedział X() wokół , zwany przedziałem niepewności wyniku pomiaru, w którym leży nieznana wartość prawdziwa . Przedział niepewności wyniku pomiaru jest otoczeniem estymaty , w którym leży wartość prawdziwa . O nieznanej wartości mówi się, że jest określona z dokładnością do przedziału niepewności.

Przedział niepewności wyniku pomiaru nie jest określony jednoznacznie, gdyż każdy przedział obejmujący przedział uznany już za przedział niepewności jest także przedziałem niepewności. Miarą niedokładności pomiaru jest najmniejszy możliwy do wyznaczenia przedział niepewności wyniku pomiaru.

Przedział niepewności wyniku pomiaru określa się najczęściej jako przedział symetryczny podając estymatę i graniczny błąd pomiaru max

X()  [* max,   max]

(2.3)

rzadziej jako przedział niesymetryczny podając estymatę i błędy graniczne (niesymetryczne) dolny i górny minx i maxx

X()  [ * maxx,   min] (2.4)

Dalej będziemy przedstawiali przedział niepewności pomiaru jako przedział symetryczny (2.3).

Rozróżnia się dwa typy modeli niedokładności operacji: model deterministyczny i model losowy.

Model deterministyczny niedokładności pomiaru zakłada, że prawdziwa wartość jest nieznana, ale wiadomo o niej, że leży wewnątrz przedziału niepewności, co zapisujemy jako

 ∈ X() (2.5)

gdzie X() jest przedziałem niepewności określonym wokół znanego wyniku pomiaru . Model deterministyczny niedokładności zakłada, że hipotetyczne powtarzanie pomiaru czyli powtarzanie operacji wyznaczania estymaty i błędu granicznego max, daje zawsze takie same ich wartości.

Model losowy niedokładności pomiaru zakłada, że hipotetyczne powtarzanie pomiaru prowadzi do randomizacji estymaty (staje się ona zmienną losową ), co pociąga za sobą (na ogół) randomizację błędu granicznego max. Przedział niepewności X() staje się przedziałem losowym (jego granice są zmiennymi losowymi). Zamiast deterministycznej zależności (2.5) model losowy przyjmuje

Pr { ∈ X()} > p (2.6)

gdzie p jest poziomem ufności przedziału niepewności wyniku pomiaru. Przedział niepewności wyniku pomiaru staje się przedziałem ufności. Ważna jest interpretacja poziomu ufności p

powtarzając M razy pomiar otrzymuje się M przedziałów niepewności, więcej niż pM przedziałów powinno obejmować wartość prawdziwą , przy czym prawidłowość ta ma charakter statystyczny, tzn. tym lepiej jest spełniana, im większe jest M.

Graniczny błąd pomiaru max w deterministycznym modelu niedokładności i graniczny błąd pomiaru max wraz z poziomem ufności p w losowym modelu niedokładności są miarami niedokładności pomiaru.

Obecnie zalecane jest wyrażanie niedokładności pomiaru za pomocą niepewności standardowej i niepewności rozszerzonej. Przedział niepewności wyrażony za pomocą niepewności rozszerzonej U() ma postać

X()  [* U(),   U()]

(2.7)

przy czym "niepewnościowy" model niedokładności jest zawsze modelem losowym.

2.2. Teoria błędu. Definicje

Błąd pomiaru (a ogólnie błąd operacji) jest modelem matematycznym rozbieżności między wartością zmierzoną a wartością prawdziwą (wynikiem operacji faktycznym a oczekiwanym). Rozróżnia się trzy rodziny błędów: prawdziwe, umownie prawdziwe i graniczne, a w obrębie każdej rozróżnia się błąd bezwzględny, względny i zredukowany.

Zdefiniujemy błędy prawdziwe pomiaru, zwane zwykle wprost błędami pomiaru

błąd pomiaru prawdziwy bezwzględny - różnica między wartością zmierzoną a wartością prawdziwą ,

błąd pomiaru prawdziwy względny - błąd pomiaru prawdziwy bezwzględny podzielony przez wartość prawdziwą ,

błąd pomiaru prawdziwy zredukowany - błąd pomiaru prawdziwy bezwzględny podzielony przez pewną wybraną wartość wielkości X0, niezależną od wyników pomiaru, uznaną jako charakterystyczna dla niego.

W błędach prawdziwych odtwarzania zamieniają się miejscami wartość zmierzona , zwana tu wartością nominalną (deklarowaną), i wartość prawdziwa . Jest więc

błąd odtwarzania prawdziwy bezwzględny - różnica między wartością zmierzoną a wartością prawdziwą ,

błąd odtwarzania prawdziwy względny - błąd pomiaru prawdziwy bezwzględny podzielony przez wartość prawdziwą ,

Definicja błędu odtwarzania prawdziwego zredukowanego nie ulega zmianie. Formuły matematyczne definiujące błędy prawdziwe zestawiono w Tabl. 2.1. Dla uproszczenia zapisu w Tabl. 2.1 i dwóch dalszych pominięto "daszek" nad x w symbolu błędu.

Tablica 2.1. Błędy prawdziwe
Błąd	pomiaru	odtwarzania
bezwzględny	truex = x = - = - x	truex = x = - = + x
względny	δtruex = δ x = Często przyjmuje się δtruex = δ x = co prowadzi do = (1 - δx)	δtruex = δ x = = (1 + δx)
zredukowany	*truex = *x =	*truex = *x =

Błędy prawdziwe są nieznane, w wielu zastosowaniach zastępuje się je błędami umownie prawdziwymi, zastępując nieznaną wartość prawdziwą znaną wartością umownie prawdziwą , uznaną jako wystarczająco dokładne odniesienie dla . Formuły matematyczne definiujące błędy umownie prawdziwe zestawiono w Tabl. 2.2.

Tablica 2.2. Błędy umownie prawdziwe
Błąd	pomiaru	odtwarzania
bezwzględny	convx = -	convx = -
względny	δconvx =	δconvx =
zredukowany	*convx =	*convx =

Błędy graniczne wyznaczają wokół znanej wartości zmierzonej lub wartości nominalnej przedział niepewności wyniku pomiaru lub odtwarzania X(). Przedział niepewności symetryczny (2.3) jest dany przez błąd graniczny, ściślej przez błąd graniczny bezwzględny, maxx. Zdefiniujemy

błąd graniczny bezwzględny - połowa szerokości przedziału niepewności wyniku pomiaru lub odtwarzania, najwęższego spośród przedziałów niepewności możliwych do określenia,

błąd graniczny względny - błąd graniczny bezwzględny podzielony przez wartość zmierzoną lub nominalną ,

błąd graniczny zredukowany - błąd graniczny bezwzględny podzielony przez pewną wybraną wartość wielkości X0, , niezależną od wyników pomiaru lub odtwarzania, uznaną jako charakterystyczna dla tych operacji.

Formuły matematyczne definiujące błędy graniczne zestawiono w Tabl. 2.3.

Tablica 2.3. Błędy graniczne
Błąd	pomiaru i odtwarzania
bezwzględny	truex ∈ [- maxx, maxx] ∈ [ - maxx, + maxx] , w skrócie = ± maxx
względny	δtruex ∈ [- δmaxx, δmaxx] , δmaxx = ∈ [ (1 - δmaxx), (1 + δmaxx)] , w skrócie = (1 ± δmaxx)
zredukowany	*truex ∈ [-*maxx, *maxx] , *maxx = ∈ [X0 (1 - *maxx), X0 (1 + *maxx)] , w skrócie = X0 (1 ± *maxx)

Błąd graniczny bezwzględny maxx i błąd graniczny względny δmaxx są używane przy zapisie kompletnego wyniku pomiaru obejmującego estymatę wartości i miarę jej niedokładności. Powszechnie stosuje się "skrótowe" zapisy

= ± maxx (2.8)

= (1 ± δmaxx) (2.9)

Formy są umownymi zapisami przedziałów niepewności

∈ [ - maxx, + maxx] (2.10)

∈ [ (1 - δmaxx), (1 + δmaxx)] (2.11)

lub nierówności

- maxx ≤ ≤ + maxx (2.12)

(1 - δmaxx) ≤ ≤ (1 + δmaxx) (2.13)

Wartości liczbowe estymaty oraz błędów granicznych maxx i δmaxx są liczbami przybliżonymi, w procesie ich obliczania, zwłaszcza kiedy do obliczeń używa się kalkulatora lub komputera, otrzymuje się obliczone ich wartości wyrażone wieloma cyframi i zachodzi potrzeba zaokrąglania zarówno esytmaty jak i niepewności. Obowiązują trzy zasady generalne:

1. estymata oraz bład graniczny bezwzględny maxx powinny mieć ostatnie cyfry znaczące na tych samych pozycjach;

2. estymatę zaokrągla się według reguł zaokrąglania normalnego tj.:

liczba zaokrąglona jest liczbą daną przez ciąg cyfr zapisu liczby zaokrąglanej, otrzymany przez odrzucenie cyfr znajdujących się na pozycjach niższych rzędów niż rząd ostatniej cyfry znaczącej liczby zaokrąglonej: niezmienioną, jeżeli najbardziej znacząca cyfra odrzucana jest mniejsza od pięciu (<5) i zwiększoną o jedność (1) ostatniego rzędu liczby zaokrąglonej, jeżeli najbardziej znacząca cyfra odrzucana nie jest mniejsza od pięciu (≥5);

3. błędy graniczne zaokrągla się:

• według reguł zaokrąglania normalnego, jeżeli zaokrąglanie nie zmniejsza błędu zaokrąglonego o więcej niż 10 ÷ 15 %,

• do góry, jeżeli zaokrąglanie normalne zmniejszyłoby błąd zaokrąglony o więcej niż 10 ÷ 15 %,

wątpliwości co do sposobu zaokrąglania błędu granicznego występują, gdy błąd po zaokrągleniu ma mieć jedną cyfrę znaczącą 1; 2; 3 lub 4; i tak np. 0,11; 0,21; 0,22; 0,31; 0,32; i 0,33 zaokrąglamy zgodnie z regułami zaokrąglania normalnego odrzucając drugą cyfrę, a 0,12; 0,13 i 0,14 zaokrąglamy do 0,2; 0,23 i 0,24 - do 0,3; 0,34 - do 0,4.

Pamiętać należy, że zaokrąglanie powinno być ostatnim etapem obliczeń, zaokrąglanie w trakcie obliczeń zwiększa bowiem niedokładność obliczeń. Zwykle wystarcza podawać błąd graniczny i niepewność z najwyżej dwiema cyframi znaczącymi, chociaż w niektórych przypadkach może być celowe pozostawienie dodatkowych cyfr w celu uniknięcia błędów zaokrąglania w dalszych obliczeniach.

Zapisując kompletny wynik konkretnego pomiaru nie znaczy się przyjętymi tu deskryptorami , że chodzi o wartość prawdziwą i poprzestaje na symbolu wielkości mierzonej. Kompletny wynik pomiaru napięcia zapiszemy więc w postaci

E  (357,63±0,14) V

E  357,63(1±0,04 %) V

W definicjach błędów używano nazw działań na wartościach wielkości: różnicy (czyli odejmowania) wartości zmierzonej i prawdziwej , wartości prawdziwej i nominalnej , wartości zmierzonej i umownie prawdziwej itd. oraz dzielenia błędu bezwzględnego przez wartość odniesienia X0. Jeżeli wartości wielkości są wartościami liczbowymi (wyrażonymi wszystkie wzgledem tej samej jednostki), to działania te są odejmowaniem i dzieleniem liczb rzeczywistych. Wartości wielkości często są wartościami mianowanymi (formalnymi iloczynami liczb i symbolu jednostki, wszystkie tej samej jednostki). Odejmowanie wartości mianowanych daje w wyniku wartość mianowaną o tej samej jednostce i wartości liczbowej równej różnicy wartości liczbowych odejmowanych wartości mianowanych. Dzielenie wartości mianowanych (o tej samej jednostce) daje w wyniku liczbę (wartość liczbową) równą stosunkowi wartości liczbowych dzielonych wartości mianowanych (mówimy, że symbole jednostki "skracają sie"). Odpowiednio do dwóch postaci wartości wielkości - liczbowej i mianowanej błędy bezwzględne mogą być także wartościami liczbowymi i wartościami mianowanymi wyrażonymi w jednostce wielkości mierzonej lub odtwarzanej. Błędy względne i zredukowane są zawsze liczbami rzeczywistymi, wyraża się je w postaci ułamków, zwykle krotności ujemnych potęg dziesięciu, lub w liczy w procentach albo tzw. pipiemach (częściach milionowych, symbol ppm, od ang. part per milion).

W praktyce stosowanie dwóch przymiotników określających rodzaj błędu, np. błąd prawdziwy względny lub błąd graniczny bezwzględny, jest zbyt uciążliwe; dlatego też, wszędzie tam, gdzie rodzaj błędu jednoznacznie wynika z kontekstu, poprzestaje się na samej nazwie błąd. O jaki błąd chodzi wynika z kontekstu i z symbolu błędu. Oprócz tu wymienionych stosuje się także inne nazwy błędów. Błąd zredukowany nazywa się błędem odniesionym lub zakresowym (jeżeli X0 jest długością zakresu przyrządu pomiarowego). Błąd umownie prawdziwy nazywa się błędem poprawnym. Błąd graniczny bezwzględny maxx (a także błąd graniczny względny δmaxx) bywa niekiedy nazywany niepewnością i niedokładnością a nawet zupełnie nieprawidłowo dokładnością.

 Zmienną losową będziemy oznaczali symbolem literowym podkreślonym.

Janusz M. Jaworski

METROLOGIA ELEKTRYCZNA

Wykład 2

Str. 4

---