LABOLATORIUM FIZYCZNE
Tomasz Różański	zespół grupa C	Data: 15.05.2002r.
Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności bryły sztywnej za pomocą wahadła torsyjnego.	ĆWICZENIE nr 6

TABELA POMIARÓW:

OPRACOWANIE TEORETYCZNE:

Pod pojęciem bryły sztywnej rozumieć będziemy ciało, którego elementy masy nie zmieniają wzajemnych odległości nawet pod działaniem sił zewnętrznych. Ciał takich w przyrodzie nie ma, ale w odniesieniu do ciał dostatecznie sztywnych , jak np. przedmioty metalowe i przy niezbyt dużych siłach rozciągających, ściskających lub skręcających te ciała, model taki jest praktycznie stosowalny i pozwala znacznie uprościć opis niektórych zjawisk. Bryła sztywna może poruszać się ruchem postępowym lub obrotowym.

W ruchu postępowym wszystkie punkty bryły posiadają jednakowe prędkości i przyśpieszenia liniowe, a przebyte przez nie w dowolnym czasie drogi są równe sobie i wzajemnie równoległe. Tory poszczególnych punktów mogą być zarówno prostoliniowe, jak i krzywoliniowe. Opisując ruch postępowy bryły sztywnej można się ograniczyć do opisu ruchu jednego wybranego punktu.

Ruch postępowy środka masy jest taki jakby w nim była skupiona cała masa bryły i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie siły zewnętrzne. Równania te oraz warunek wyrażony powyżej pozostają słuszne dla dowolnego układu punktów materialnych.

Ruch obrotowy charakteryzuje się tym, że wszystkie punkty bryły (prócz leżących na osi obrotu) poruszają się po okręgach współśrodkowych, a ich prędkości i przyśpieszenia liniowe są zależne od odległości od osi, czyli promienia zakreślonego okręgu. Do opisu ruchu bryły jako całości konieczne jest wprowadzenie nowych pojęć.

Ruch obrotowy bryły sztywnej ( w dowolnym układzie odniesienia) opisuje II zasada dynamiki:

gdzie:
- moment bezwładności,
- moment siły. Jeśli układ odniesienia zostanie ze środkiem masy bryły, to moment siły
zapiszemy następująco:

natomiast wyrażenie na moment pędu L:

po uwzględnieniu związku pomiędzy prędkościami liniową V i kątową
:

przekształci się następująco:

.

Z tożsamości wektorowej:

wynika że:

.

Po przedstawieniu powyższego związku do wzoru otrzymamy:

.

Uwzględniając zależności:

,

oraz

otrzymamy dla składowej x-owej momentu pędu

i dla pozostałych składowych:

,

.

Wprowadzając oznaczenia:

,

,

i analogicznie dla pozostałych sum otrzymamy ostateczne układ równań:

.

Dla dowolnej bryły( poza kulą) wektor momentu pędu nie pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości kątowej, co prowadzi do złożonego charakteru ruchu bryły.

Jeśli
, to sumowanie w powyższych wyrażeniach przechodzi w całkowanie objętościowe:

,

.

Stosując te ostatnie wzory można wykazać, że suma współczynników bezwładności
nie należy od orientacji ciała względem układu współrzędnych. Współczynniki o wskaźnikach mieszanych zwane są momentami zboczenia i charakteryzują asymetrię bryły. Można jednak wybrać takie osie prostokątnego układu współrzędnych, kiedy to momenty zboczenia zerują się. Takie osie nazywamy głównymi osiami bezwładności, a odpowiadające im momenty bezwładności - głównymi momentami bezwładności. Dla kuli wszystkie trzy główne momenty bezwładności są jednakowe. W przypadku ogólnym wielkości te są różne, a ruch obrotowy względem osi odpowiadającej maksymalnemu (równowaga trwała) lub minimalnemu momentowi bezwładności cechuje stała orientacja w przestrzeni. Takie osie nazywane są osiami swobodnymi bryły sztywnej.

Celem scharakteryzowania rozkładu momentów bezwładności dla dowolnych osi przechodzących przez środek masy ciała wprowadza się pojęcie elipsoidy bezwładności. Elipsoida bezwładności jest powierzchnią, której dowolny punkt jest końcem odcinka poprowadzonego ze środka masy ciała, a którego długość jest równa:

,

gdzie
jest momentem bezwładności danej bryły względem osi pokrywającej się z tym odcinkiem. W przypadku ogólnym dla dowolnie usytuowanego układu współrzędnych równanie tej elipsoida ma postać:

.

Jeśli osie współrzędnych będą się pokrywać z osiami głównymi, to równanie elipsoidy bezwładności uprości się do postaci:

.

Za pomocą równania elipsoidy bezwładności można znaleźć moment bezwładności względem dowolnej osi, jeśli tylko znane są główne momenty bezwładności. W przypadku gdy oś obrotu nie przechodzi przez środek masy ciała, zastosujemy twierdzenie Steinera:

,

gdzie
jest momentem bezwładności dla osi przechodzącej przez środek masy ciała, d- przesunięciem między daną osią a osią środkową, a m - masą ciała.

ZADANIA POMIARU:

Przedmiotem badań jest stalowy prostopadłościan. W celu wyznaczenia jego momentu bezwładności stosujemy wahadło torsyjne, zwane też skrętnym, którego okres drgań określa wzór:

,

gdzie D jest momentem kierującym wahadła.

W celu wyznaczenia momentu bezwładności należy zmierzyć okres drgań wahadła skrętnego bez obciążenia

i obciążonego daną bryłą:

,

skąd po przekształceniach otrzymujemy:

.

Moment bezwładności wibratora
można wyznaczyć pośrednio mierząc okres drgań obciążonego bryłą o znanym momencie bezwładności, np. walcem. Moment bezwładności walca o masie m i promieniu R dla osi obrotu pokrywającej się z osią bryły określony jest wzorem
.

Wówczas wykorzystując wzór otrzymamy:

.

Wahadło torsyjne stanowi ramka zawieszona pionowo pomiędzy dwoma naprężonymi stalowymi drutami, które z kolei zamocowano końcami do uchwytów statywu. Naprężenie drutów można regulować. Wzdłuż prowadnic ramki można przesuwać ruchomą belkę. Nakrętki z tulejami zaciskowymi umożliwiają umocowane belki na prowadnicach ramki w zależności od wysokości badanego elementu. Środkowa śruba belki zakończona jest ostrzem i pozwala na umocowanie w ramce badanej bryły. System otworów na ściankach, krawędziach i narożnikach prostopadłościanu realizuje różnorakie usytuowanie osi obrotu względem osi symetrii bryły.

Do pomiaru okresu drgań stosujemy złącze optoelektroniczne z licznikiem impulsów. Wysięgnik ramki przecina strumień światła generując impuls elektryczny. Licznik zlicza co drugi taki impuls umożliwiając zliczanie liczby okresów Równocześnie ze zwolnieniem ramki następuje uruchomienie czasomierza elektronicznego. W ten sposób możemy mierzyć czas określonej liczby pełnych wahnięć z dużą dokładnością.

Celem ćwiczenia jest sprawdzenie, w jakim stopniu metoda elipsoidy bezwładności pozwala wyznaczać moment bezwładności bryły dla dowolnej osi obrotu. Dlatego też musimy w pierwszej kolejności wyznaczyć momenty bezwładności dla trzech głównych osi bezwładności. Następnie w sposób opisany wyżej wyznaczamy moment bezwładności dla zadanej osi np. wzdłuż przekątnych PP'. Otrzymamy wynik eksperymentalny weryfikujemy z równaniem elipsoidy bezwładności (przy zastosowaniu cosinusów kierunkowych dla danej konfiguracji):

,

gdzie:

,

,

.

- 5 -

---