Elementy trygonometrii sferycznej

1. Sfera - zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od pewnego wybranego punktu jest stała. Punkt ten jest środkiem sfery zaś stała odległość promieniem sfery.

2. Koło - przekrój sfery płaszczyzną

1. wielkie - przekrój płaszczyzną przechodzącą przez środek sfery (np. równik, południki),

2. małe - każdy przekrój płaszczyzną nie przechodzącą przez środek sfery

3. Odległość sferyczna - wycinek łuku koła wielkiego ograniczony dwoma punktami.

4. Biegun sfery - punkt na sferze odległy od danego koła wielkiego o wartość ¼ obwodu koła wielkiego.

5. Trójkąt sferyczny - to część powierzchni sfery ograniczona łukami trzech kół wielkich

6. Kąt trójkąta sferycznego w punkcie A - kąt między:

• między stycznymi do obu łuków kół wielkich w punkcie A,

• dwuścienny między płaszczyznami zawierającymi oba łuki.

7. Bok trójkąta sferycznego - wycinek łuku koła wielkiego ograniczony wierzchołkami trójkąta. Miarą boku jest:

• kąt środkowy oparty na tym boku (miara kątowa),

• długość wycinka łuku (miara liniowa).

Własności trójkąta sferycznego:

1. Naprzeciw większego (mniejszego) kąta znajduje się większy (mniejszy) bok.

2. Naprzeciw równych katów (boków) leżą równe boki (kąty).

3. 
   

8. Rozwiązanie trójkąta sferycznego - obliczenie brakujących elementów: boków lub kątów:

• Rozwiązanie ścisłe - za pomocą podstawowych wzorów trygonometrii sferycznej:

a) wzór sinusowy:

3. wzór cosinusowy:

dla boków:

dla kątów:

4. wzór sinusowo-cosinusowy:

dla boków:

...itd.

dla kątów:

... itd.

• Rozwiązanie przybliżone - przekształcenie trójkąta sferycznego do postaci trójkąta płaskiego, następnie rozwiązanie jego (metoda Legendre'a, addidamentów)

9. Trójkąt prostokątny (prostoboczny) - trójkąt którego co najmniej jeden kąt (bok) jest równy π/2.

10. Trójkąt biegunowy do danego trójkąta sferycznego - trójkąt, którego boki odległe są od wierzchołków trójkąta sferycznego o wartość π/2.

Własności trójkąta biegunowego i sferycznego:

1. 
   
   

2. Trójkąt biegunowy jest także trójkątem sferycznym.

3. Wzory cosinusowe i sinusowo-cosinusowe dla kątów wyprowadza się w oparciu o powyższe związki.

11. Nadmiar sferyczny (eksces)

Suma kątów w trójkącie sferycznym jest większa od wartości π o wartość nadmiaru sferycznego ε:

Nadmiar sferyczny oblicza się z wzoru:

gdzie: P(ΔABC) - pole trójkąta ABC,

R - promień sfery

Ze względu na niewielką wartość nadmiaru sferycznego (dla praktycznie rozwiązywanych trójkątów) rzędu kilku-, kilkudziesięciu sekund, do obliczenia można stosować przybliżony wzór na pole trójkąta sferycznego (jak dla trójkąta płaskiego):

lub

wzór przybliżony pozwala obliczyć nadmiar ε z dokładnością:

dla a = b = c = 30 km i R = 6370 km → ε = 2″ m_ε = 0.0001″

dla a = b = c = 120 km i R = 6370 km → ε = 32″ m_ε = 0.03″

Do ścisłego obliczenia nadmiaru sferycznego wykorzystuje się inne wzory:

, gdzie:

ZADANIA

1. W trójkącie sferycznym dane są boki a,b,c. Rozwiąż ten trójkąt.

• wz.cosinusowy dla boków → A,

• wz. sinusowy → B,C

2. W trójkącie sferycznym dane są kąty A,B,C. Rozwiąż ten trójkąt.

• wz.cosinusowy dla kątów → a,

• wz. sinusowy → b,c

3. W trójkącie sferycznym dane są kąty A i B oraz odpowiadające im boki a i b. Rozwiąż ten trójkąt.

4. W pewnym równobocznym trójkącie sferycznym o boku równym n km pomierzone zostały kąty A,B,C z błędem ±0.1″. Czy w wyrównaniu kątów tego trójkąta należy uwzględniać nadmiar sferyczny ?

bok [km]	ε[″]
2	0.0
5	0.1
10	0.2
15	0.5
20	0.9
30	2.0
60	7.9
120	31.7

5. Jaką odległość pokona samolot lecący na wysokości H=5 km ponad powierzchnia Ziemi (kuli o promieniu R=6371 km) z Paryża do Warszawy. Przyjąć współrzędne

ϕ_W = 52°15′ λ_W=21°00′ - dla Warszawy,

ϕ_P = 52°15′ λ_P=21°00′ - dla Paryża, promień kuli ziemskiej R=6371 km.

6. Z miejscowości A(ϕ=10°,λ=10°) wystartował samolot i lecąc na azymut α=30° pokonał 5000 km. Zakładając, że całą trasę pokonał na wysokości 2 km oblicz współrzędne miejscowości B - celu lotu.

z tw. cosinusów dla boków:

z tw. sinusów:

7. Podaj odległość sferyczną płaszczyzn dwóch równoleżników ϕ₁, ϕ₂ (ϕ₁<ϕ₂).

C

B

A

a

b

c

c'

b'

a'

A'

C'

B'

C

A

B

a

b

c'

P

W

90°-ϕ_W

90°-ϕ_P

Δλ

S

A

B

Δλ

S

r₁

r₂

---