TRYGONOMETRIA

TRYGONOMETRIA

SFERYCZNA

SFERYCZNA

(definicje, oznaczenia, twierdzenia)

(definicje, oznaczenia, twierdzenia)

Trygonometria płaska zajmuje się badaniem właściwości trójkątów

Trygonometria płaska zajmuje się badaniem właściwości trójkątów

położonych na płaszczyźnie, a

położonych na płaszczyźnie, a

sferyczna – na powierzchni kuli, czyli

sferyczna – na powierzchni kuli, czyli

na sferze

na sferze

.

.



w geometrii sferycznej rolę prostych odgrywają koła wielkie sfery

w geometrii sferycznej rolę prostych odgrywają koła wielkie sfery

(pow. kuli)

(pow. kuli)


na sferze przez dwa punkty nie będące końcami jej średnicy

na sferze przez dwa punkty nie będące końcami jej średnicy

przechodzi tylko jedno koło wielkie (podobnie jak w planimetrii przez

przechodzi tylko jedno koło wielkie (podobnie jak w planimetrii przez

dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta);

dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta);


w geometrii sferycznej bada się takie figury, jak dwukąty, trójkąty i

w geometrii sferycznej bada się takie figury, jak dwukąty, trójkąty i

wielokąty sferyczne (ich bokami są łuki kół wielkich mniejsze niż

wielokąty sferyczne (ich bokami są łuki kół wielkich mniejsze niż

półokręgi);

półokręgi);


związkami między bokami i kątami trójkątów sferycznych zajmuje

związkami między bokami i kątami trójkątów sferycznych zajmuje

się trygonometria sferyczna.

się trygonometria sferyczna.

Geometria sfery

Geometria sfery

jest geometrią na zakrzywionej powierzchni

jest geometrią na zakrzywionej powierzchni

dwuwymiarowej.

dwuwymiarowej.

GEOMETRIA SFERYCZNA

GEOMETRIA SFERYCZNA

TRYGEOMETRIA

TRYGEOMETRIA

–

–

dział

dział

matematyki

zajmujący

się

matematyki

zajmujący

się

własnościami

własnościami

funkcji trygonometrycznych

funkcji trygonometrycznych

i ich zastosowaniami w

i ich zastosowaniami w

geometrii płaskiej i

geometrii płaskiej i

sferycznej

sferycznej

(w szczególności do rozwiązywania

(w szczególności do rozwiązywania

trójkątów).

trójkątów).

TRYGONOMETRIA PŁASKA

TRYGONOMETRIA PŁASKA

Trygonometria płaska (

Trygonometria płaska (

euklidesowa

euklidesowa

) bada związki w trójkątach na

) bada związki w trójkątach na

płaszczyźnie.

płaszczyźnie.

Podstawowe wzory trygonometrii płaskiej to:

Podstawowe wzory trygonometrii płaskiej to:

•

wzór sinusów - (Nasir ad-Din, XIII w),

wzór sinusów - (Nasir ad-Din, XIII w),

•

wzór cosinusów - (po raz pierwszy w

wzór cosinusów - (po raz pierwszy w

Elementach

Elementach

Euklidesa),

Euklidesa),

•

wzory tangensów (oraz analogiczne wzory dla tgβ i tgγ),

wzory tangensów (oraz analogiczne wzory dla tgβ i tgγ),

•

wzory na pola trójkąta,

wzory na pola trójkąta,

•

wzory wiążące kąty trójkąta z jego bokami.

wzory wiążące kąty trójkąta z jego bokami.

TRYGONOMETRIA SFERYCZNA

TRYGONOMETRIA SFERYCZNA

Trygonometria sferyczna zajmuje się związkami w

Trygonometria sferyczna zajmuje się związkami w

trójkątach na powierzchni kuli.

trójkątach na powierzchni kuli.

Dla trójkąta sferycznego prawdziwe są wzory:

Dla trójkąta sferycznego prawdziwe są wzory:

•

wzór sinusów (Abu'l-Wefa, X w.),

wzór sinusów (Abu'l-Wefa, X w.),

•

wzór cosinusów dla boków (Regiomontanus,

wzór cosinusów dla boków (Regiomontanus,

XV w.),

XV w.),

•

wzór cosinusów dla kątów (F. Viète, 2 poł. XVI

wzór cosinusów dla kątów (F. Viète, 2 poł. XVI

w.),

w.),

•

wzór cotangensów,

wzór cotangensów,

•

wzór na pole trójkąta.

wzór na pole trójkąta.

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

secans – odwrotność

secans – odwrotność

cosinusa

cosinusa

x

x

cos

1

sec 

x

x

sin

1

cosec 

2

sin

2

cos

1

sem

2

x

x

-

x





cosecans – odwrotność

cosecans – odwrotność

sinusa

sinusa

semiversus – kwadrat sinusa kąta

semiversus – kwadrat sinusa kąta

połówkowego

połówkowego

OKRĘGI WIELKIE I MAŁE

OKRĘGI WIELKIE I MAŁE

Płaszczyzna przechodząca przez środek sfery przecina ją wzdłuż linii

Płaszczyzna przechodząca przez środek sfery przecina ją wzdłuż linii

zwanej

zwanej

okręgiem wielkim

okręgiem wielkim

, natomiast płaszczyzna, która przecina

, natomiast płaszczyzna, która przecina

sferę, ale nie przechodzi przez jej środek, wyznacza na niej tzw.

sferę, ale nie przechodzi przez jej środek, wyznacza na niej tzw.

okrąg

okrąg

mały

mały

.

.

Okrąg wielki

Okrąg
mały

TRYGONOMETRIA – OKRĄG WIELKI

TRYGONOMETRIA – OKRĄG WIELKI

Każdemu łukowi okręgu wielkiego odpowiada kąt środkowy oparty na
tym łuku.

α

DŁUGOŚĆ ŁUKU OKRĘGU WIELKIEGO

DŁUGOŚĆ ŁUKU OKRĘGU WIELKIEGO

α

ORTODROMA

ORTODROMA

ODLEGŁOŚĆ ORTODROMICZNA

ODLEGŁOŚĆ ORTODROMICZNA

PROMIEŃ KULI ZIEMSKIEJ

PROMIEŃ KULI ZIEMSKIEJ

R

R

≈

≈

6370 km

6370 km

MILA MORSKA

MILA MORSKA

KĄT PRZECIĘCIA OKRĘGÓW WIELKICH

KĄT PRZECIĘCIA OKRĘGÓW WIELKICH

Kąt przecięcia łuków dwóch kół wielkich jest wyznaczony przez kąt

Kąt przecięcia łuków dwóch kół wielkich jest wyznaczony przez kąt

jaki tworzą styczne do tych łuków poprowadzone w punkcie

jaki tworzą styczne do tych łuków poprowadzone w punkcie

przecięcia.

przecięcia.

Jest on równy kątowi dwuściennemu wyznaczonemu przez

Jest on równy kątowi dwuściennemu wyznaczonemu przez

płaszczyzny w których zawarte są oba koła wielkie.

płaszczyzny w których zawarte są oba koła wielkie.

TRÓJKĄT SFERYCZNY

TRÓJKĄT SFERYCZNY

DEFINICJA.

DEFINICJA.

Trójkątem sferycznym nazywamy każdą z dwu części

Trójkątem sferycznym nazywamy każdą z dwu części

sfery, wyznaczoną przez ortodromy łączące trzy różne punkty tej

sfery, wyznaczoną przez ortodromy łączące trzy różne punkty tej

sfery nie leżące na jednym okręgu wielkim i takie, że żadne dwa z

sfery nie leżące na jednym okręgu wielkim i takie, że żadne dwa z

nich nie są końcami tej samej średnicy.

nich nie są końcami tej samej średnicy.

Punkty te nazywamy

Punkty te nazywamy

wierzchołkami trójkąta sferycznego

wierzchołkami trójkąta sferycznego

,

,

ortodromy łączące wierzchołki zaliczamy do trójkąta sferycznego i

ortodromy łączące wierzchołki zaliczamy do trójkąta sferycznego i

nazywamy

nazywamy

bokami tego trójkąta

bokami tego trójkąta

, zaś kąty sferyczne, utworzone

, zaś kąty sferyczne, utworzone

przez każde dwa boki, nazywamy

przez każde dwa boki, nazywamy

kątami trójkąta sferycznego

kątami trójkąta sferycznego

.

.

TRÓJKĄT SFERYCZNY EULERA

TRÓJKĄT SFERYCZNY EULERA

Do celów nawigacyjnych rozważmy ten z trójkątów, który ma

Do celów nawigacyjnych rozważmy ten z trójkątów, który ma

wszystkie boki i kąty mniejsze od 180° (trójkąt Eulera, nazywany

wszystkie boki i kąty mniejsze od 180° (trójkąt Eulera, nazywany

trójkątem sferycznym).

trójkątem sferycznym).

Boki trójkąta oznaczamy małymi literami, zaś jego wierzchołki i kąty

Boki trójkąta oznaczamy małymi literami, zaś jego wierzchołki i kąty

dużymi.

dużymi.

KĄTY

0º < A < 180º

0º < B < 180º

0º < C < 180º

BOKI

0º < a < 180º

0º < b < 180º

0º < c < 180º

RÓWNOŚĆ TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

RÓWNOŚĆ TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

DEFINICJA.

DEFINICJA.

Dwa trójkąty, leżące na tej samej lub na równych

Dwa trójkąty, leżące na tej samej lub na równych

sferach, nazywamy trójkątami równymi, jeżeli mają one

sferach, nazywamy trójkątami równymi, jeżeli mają one

odpowiednie boki i odpowiednie kąty równe.

odpowiednie boki i odpowiednie kąty równe.

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

Dwa trójkąty sferyczne są równe, jeżeli mają

Dwa trójkąty sferyczne są równe, jeżeli mają

odpowiednio równe:

odpowiednio równe:



trzy boki,

trzy boki,



trzy kąty,

trzy kąty,



dwa boki i kąt między nimi,

dwa boki i kąt między nimi,



bok i dwa kąty do niego przyległe.

bok i dwa kąty do niego przyległe.

ZALEŻNOŚCI MIĘDZY PODSTAWOWYMI ELEMENTAMI

ZALEŻNOŚCI MIĘDZY PODSTAWOWYMI ELEMENTAMI

TRÓJKĄTA SFERYCZNEGO

TRÓJKĄTA SFERYCZNEGO

Każdemu trójkątowi sferycznemu można

Każdemu trójkątowi sferycznemu można

jednoznacznie przyporządkować trójścian o

jednoznacznie przyporządkować trójścian o

wierzchołku leżącym w środku sfery i

wierzchołku leżącym w środku sfery i

krawędziach

przechodzących

przez

krawędziach

przechodzących

przez

wierzchołki tego trójkąta.

wierzchołki tego trójkąta.

Kąty płaskie tego trójścianu można mierzyć

Kąty płaskie tego trójścianu można mierzyć

bokami

trójkąta

sferycznego,

a

kąty

bokami

trójkąta

sferycznego,

a

kąty

dwuścienne – kątami tego trójkąta.

dwuścienne – kątami tego trójkąta.

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

W trójkącie sferycznym każdy bok jest większy od

W trójkącie sferycznym każdy bok jest większy od

bezwzględnej wartości różnicy i mniejszy od sumy dwóch

bezwzględnej wartości różnicy i mniejszy od sumy dwóch

pozostałych boków, natomiast suma boków trójkąta sferycznego jest

pozostałych boków, natomiast suma boków trójkąta sferycznego jest

mniejsza od kąta pełnego.

mniejsza od kąta pełnego.





b

b

–

–

c

c





<

<

a

a

<

<

b

b

+

+

c

c

,

,





a

a

–

–

c

c





<

<

b

b

<

<

a

a

+

+

c

c

,

,





a

a

–

–

b

b





<

<

c

c

<

<

a

a

+

+

b

b

,

,

0° <

0° <

a

a

+

+

b

b

+

+

c

c

< 360°.

< 360°.

oraz

oraz

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

W trójkącie sferycznym suma kątów jest większa od

W trójkącie sferycznym suma kątów jest większa od

kąta półpełnego, ale mniejsza od trzech kątów półpełnych, czyli

kąta półpełnego, ale mniejsza od trzech kątów półpełnych, czyli

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI ELEMENTÓW TRÓJKĄTA

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI ELEMENTÓW TRÓJKĄTA

SFERYCZNEGO

SFERYCZNEGO

180° <

180° <

A

A

+

+

B

B

+

+

C

C

< 540°.

< 540°.

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

W trójkącie sferycznym suma dwóch kątów jest

W trójkącie sferycznym suma dwóch kątów jest

mniejsza od sumy kąta trzeciego i kąta półpełnego.

mniejsza od sumy kąta trzeciego i kąta półpełnego.

A

A

+

+

B

B

<

<

C

C

+ 180°,

+ 180°,

A

A

+

+

C

C

<

<

B

B

+ 180°,

+ 180°,

B

B

+

+

C

C

<

<

A

A

+ 180°.

+ 180°.

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

W trójkącie sferycznym naprzeciw równych boków

W trójkącie sferycznym naprzeciw równych boków

leżą równe kąty i odwrotnie, naprzeciw równych kątów leżą równe

leżą równe kąty i odwrotnie, naprzeciw równych kątów leżą równe

boki.

boki.

a

a

=

=

b

b





A

A

=

=

B

B

oraz

oraz

A

A

=

=

B

B





a

a

=

=

b

b

.

.

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

W trójkącie sferycznym naprzeciw większego kąta

W trójkącie sferycznym naprzeciw większego kąta

leży większy bok i odwrotnie, naprzeciw większego boku leży

leży większy bok i odwrotnie, naprzeciw większego boku leży

większy kąt.

większy kąt.

A

A

<

<

B

B





a

a

<

<

b

b

oraz

oraz

a

a

<

<

b

b





A

A

<

<

B.

B.

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI ELEMENTÓW TRÓJKĄTA

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI ELEMENTÓW TRÓJKĄTA

SFERYCZNEGO

SFERYCZNEGO

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

W trójkącie sferycznym

W trójkącie sferycznym

ABC

ABC

zachodzą związki:

zachodzą związki:

a

a

+

+

b <

b <

180° wtt

180° wtt

A

A

+

+

B

B

<

<

180°

180°

a

a

+

+

b =

b =

180° wtt

180° wtt

A

A

+

+

B

B

=

=

180°

180°

a

a

+

+

b >

b >

180° wtt

180° wtt

A

A

+

+

B

B

>

>

180°

180°

PODSTAWOWE WZORY

PODSTAWOWE WZORY

TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

Niektóre ze związków zachodzących między elementami trójkąta

Niektóre ze związków zachodzących między elementami trójkąta

sferycznego mają budowę podobną do związków między

sferycznego mają budowę podobną do związków między

elementami trójkąta płaskiego, stąd takie same nazwy, jak w

elementami trójkąta płaskiego, stąd takie same nazwy, jak w

trygonometrii płaskiej.

trygonometrii płaskiej.

TWIERDZENIE SINUSÓW

TWIERDZENIE SINUSÓW

W trójkącie sferycznym iloraz sinusa boku i

W trójkącie sferycznym iloraz sinusa boku i

sinusa przeciwległego kąta jest wielkością stałą.

sinusa przeciwległego kąta jest wielkością stałą.

C

c

B

b

A

a

sin

sin

sin

sin

sin

sin





Zakres stosowania:

Zakres stosowania:

Gdy znamy trzy elementy trójkąta, z których dwa są do siebie

Gdy znamy trzy elementy trójkąta, z których dwa są do siebie

przeciwległe, możemy znaleźć wtedy element przeciwległy do

przeciwległe, możemy znaleźć wtedy element przeciwległy do

trzeciego z nich.

trzeciego z nich.

Uwaga!

Uwaga!

Przy stosowaniu twierdzenia sinusów możemy otrzymać dwa

Przy stosowaniu twierdzenia sinusów możemy otrzymać dwa

rozwiązania. Właściwe rozwiązanie należy dobrać korzystając z

rozwiązania. Właściwe rozwiązanie należy dobrać korzystając z

własności elementów w trójkącie sferycznym.

własności elementów w trójkącie sferycznym.

PODSTAWOWE WZORY

PODSTAWOWE WZORY

TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

Przykład 1.

Przykład 1.

Dane są dwa boki i kąt przeciwległy do jednego z

Dane są dwa boki i kąt przeciwległy do jednego z

nich:

nich:

Elementy

Wartości

a

56

0

21’

b

89

0

11’

A

44

0

47’

B

b

A

a

sin

sin

sin

sin



A

a

b

B

sin

sin

sin

sin





846137

,

0

704428

,

0

832438

,

0

999898

,

0

sin







B











'

37

,

12

122

'

63

,

47

57

)

846137

,

0

arcsin(

0

0

B

TWIERDZENIE SINUSÓW

TWIERDZENIE SINUSÓW

Ponieważ bok

Ponieważ bok

b

b

jest większy od boku

jest większy od boku

a

a

to kąt

to kąt

B

B

musi być większy od

musi być większy od

kąta

kąta

A

A

czyli obie odpowiedzi są prawidłowe, tzn. mamy dwa

czyli obie odpowiedzi są prawidłowe, tzn. mamy dwa

trójkąty.

trójkąty.

'

63

,

47

57

0

1



B

'

37

,

12

122

0

2



B

Przykład 2.

Przykład 2.

Dane są dwa kąty i bok przeciwległy do jednego z

Dane są dwa kąty i bok przeciwległy do jednego z

nich:

nich:

Elementy

Wartości

A

124

0

00’

B

45

0

00’

a

101

0

00’

B

b

A

a

sin

sin

sin

sin



TWIERDZENIE SINUSÓW

TWIERDZENIE SINUSÓW

Ponieważ kąt

Ponieważ kąt

A

A

jest większy od kąta

jest większy od kąta

B

B

to bok

to bok

a

a

musi by większy od

musi by większy od

boku

boku

b

b

, czyli:

, czyli:

a

A

B

b

sin

sin

sin

sin





837254

,

0

981627

,

0

829038

,

0

707107

,

0

sin







b











'

92

.

08

123

'

08

,

51

56

)

837245

,

0

arcsin(

0

0

b

'

08

,

51

56

0



b

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

W trójkącie sferycznym cosinus dowolnego boku jest równy sumie

W trójkącie sferycznym cosinus dowolnego boku jest równy sumie

iloczynu cosinusów dwóch pozostałych boków i iloczynu sinusów

iloczynu cosinusów dwóch pozostałych boków i iloczynu sinusów

tych boków oraz cosinusa kąta między nimi zawartego.

tych boków oraz cosinusa kąta między nimi zawartego.

A

c

b

c

b

a

cos

sin

sin

cos

cos

cos











B

c

a

c

a

b

cos

sin

sin

cos

cos

cos











C

a

b

a

b

c

cos

sin

sin

cos

cos

cos











Zakres stosowania:

Zakres stosowania:

•

gdy znamy trzy boki trójkąta, możemy znaleźć wtedy trzy kąty;

gdy znamy trzy boki trójkąta, możemy znaleźć wtedy trzy kąty;

•

gdy znamy dwa boki i kąt między nimi zawarty, możemy znaleźć

gdy znamy dwa boki i kąt między nimi zawarty, możemy znaleźć

wtedy

wtedy

trzeci bok

trzeci bok

.

.

c

b

c

b

a

A

sin

sin

cos

cos

cos

cos









a

b

a

b

c

C

sin

sin

cos

cos

cos

cos









c

a

c

a

b

B

sin

sin

cos

cos

cos

cos









'

93

,

49

48

0



A

'

33

,

35

18

0



B

'

24

,

14

133

0



C

327407

,

1

sin

sin



A

a

327407

,

1

sin

sin



B

b

327407

,

1

sin

sin



C

c

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

Przykład 3.

Przykład 3.

Dane są trzy boki trójkąta:

Dane są trzy boki trójkąta:

Elementy

Wartości

a

87

0

47’

b

25

0

02’

c

104

0

45’

13831

,

0

1141569

,

0

916561

,

0

826982

,

0

399896

,

0

)

56223

,

0

(

cos

















c

'

57

97

0



c

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

Przykład 4.

Przykład 4.

Dane są dwa boki

Dane są dwa boki

a

a

,

,

b

b

i kąt między nimi zawarty

i kąt między nimi zawarty

C

C

:

:

Elementy

Wartości

a

66

0

25,7’

b

124

0

12,6’

C

83

0

26,7’

W trójkącie sferycznym cosinus dowolnego kąta jest równy różnicy

W trójkącie sferycznym cosinus dowolnego kąta jest równy różnicy

iloczynu sinusów dwóch pozostałych kątów oraz cosinusa boku

iloczynu sinusów dwóch pozostałych kątów oraz cosinusa boku

między nimi zawartego i iloczynu cosinusów dwóch pozostałych

między nimi zawartego i iloczynu cosinusów dwóch pozostałych

kątów.

kątów.

Zakres stosowania:

Zakres stosowania:

•

gdy znamy trzy kąty trójkąta, możemy znaleźć wtedy trzy boki;

gdy znamy trzy kąty trójkąta, możemy znaleźć wtedy trzy boki;

•

gdy znamy dwa kąty i bok między nimi zawarty, możemy znaleźć

gdy znamy dwa kąty i bok między nimi zawarty, możemy znaleźć

wtedy

wtedy

trzeci kąt

trzeci kąt

.

.

a

C

B

C

B

A

cos

sin

sin

cos

cos

cos













b

C

A

C

A

B

cos

sin

sin

cos

cos

cos













c

A

B

A

B

C

cos

sin

sin

cos

cos

cos













TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

C

B

C

B

A

a

sin

sin

cos

cos

cos

cos









C

A

C

A

B

b

sin

sin

cos

cos

cos

cos









A

B

A

B

C

c

sin

sin

cos

cos

cos

cos









'

9

,

24

78

0



a

200825

,

0

99998

,

0

99999

,

0

006109

,

0

004363

,

0

200793

,

0

cos











a

'

4

,

40

89

0



b

005706

,

0

99998

,

0

97963

,

0

006109

,

0

200793

,

0

004363

,

0

cos











b

00713

,

0

97963

,

0

99999

,

0

200793

,

0

004363

,

0

006109

,

0

cos











c

'

5

,

35

89

0



c

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

Przykład 5.

Przykład 5.

Dane są trzy kąty trójkąta

Dane są trzy kąty trójkąta

A

A

,

,

B

B

i

i

C

C

:

:

Elementy

Wartości

A

78

0

25’

B

89

0

45’

C

89

0

39’

'

54

84

0



C

088894

,

0

229304

,

0

9077775

,

0

9638633

,

0

419452

,

0

266397

,

0

cos















C

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

Przykład 6.

Przykład 6.

Dane są dwa kąty

Dane są dwa kąty

A

A

,

,

B

B

i bok między nimi zawarty

i bok między nimi zawarty

c

c

:

:

Elementy

Wartości

A

65

0

12’

B

74

0

33’

c

76

0

44,6’

WZORY COTANGENSÓW

WZORY COTANGENSÓW

cos

cos

B ·

B ·

cos

cos

c

c

=

=

s

s

in

in

c ·

c ·

ctg

ctg

a – sin

a – sin

B ·

B ·

ctg

ctg

A

A

cos

cos

A ·

A ·

cos

cos

c

c

=

=

s

s

in

in

c ·

c ·

ctg

ctg

b – sin

b – sin

A ·

A ·

ctg

ctg

B

B

cos

cos

A ·

A ·

cos

cos

b

b

= s

= s

in

in

b ·

b ·

ctg

ctg

c – sin

c – sin

A ·

A ·

ctg

ctg

C

C

cos

cos

b ·

b ·

cos

cos

C

C

= s

= s

in

in

b ·

b ·

ctg

ctg

a – sin

a – sin

C ·

C ·

ctg

ctg

A

A

cos

cos

a ·

a ·

cos

cos

C

C

= s

= s

in

in

a ·

a ·

ctg

ctg

b – sin

b – sin

C ·

C ·

ctg

ctg

B

B

cos

cos

a ·

a ·

cos

cos

B

B

= s

= s

in

in

a ·

a ·

ctg

ctg

c – sin

c – sin

B ·

B ·

ctg

ctg

C

C

zestawy czterech kolejnych

zestawy czterech kolejnych

elementów

elementów

a B c A

a B c A

B c A b c A b C

B c A b c A b C

A b C a b C a B C a B c

A b C a b C a B C a B c

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

W trójkącie sferycznym iloczyn cosinusów elementów środkowych

W trójkącie sferycznym iloczyn cosinusów elementów środkowych

ustalonej czwórki elementów równa się iloczynowi sinusa boku

ustalonej czwórki elementów równa się iloczynowi sinusa boku

środkowego przez cotangens boku skrajnego minus iloczyn sinusa

środkowego przez cotangens boku skrajnego minus iloczyn sinusa

kąta środkowego przez cotangens kąta skrajnego.

kąta środkowego przez cotangens kąta skrajnego.

Przykład 7.

Przykład 7.

Rozwiązać trójkąt sferyczny mając dane:

Rozwiązać trójkąt sferyczny mając dane:

Elementy

Wartości

A

117

0

38’

B

23

0

43,8’

c

105

0

56,4’

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

B

A

b

c

A

c

ctg

sin

ctg

sin

cos

cos











c

B

A

A

c

b

sin

ctg

sin

cos

cos

ctg









2285

,

2

ctg 

b

'

10

24





b

4487

,

0

tg 

b

A

B

a

c

B

c

ctg

sin

ctg

sin

cos

cos











c

A

B

B

c

a

sin

ctg

sin

cos

cos

ctg









0423

,

0

ctg





a

6135

,

23

tg





a

'

5

,

34

87







a

'

5

,

25

92

180

'

5

,

34

87















a

z okresowości funkcji tangens mamy

z okresowości funkcji tangens mamy

Z twierdzenia cosinusów dla

Z twierdzenia cosinusów dla

kątów:

kątów:

Elementy

Wartości

A

117

0

38’

B

23

0

43,8’

c

105

0

56,4’

c

B

A

B

A

C

cos

sin

sin

cos

cos

cos













3267

,

0

cos 

C

'

9

,

55

70





C

ANALOGIE NEPERA

ANALOGIE NEPERA

2

2

cos

2

cos

2

C

ctg

b

a

b

a

B

A

tg









2

2

sin

2

sin

2

C

ctg

b

a

b

a

B

A

tg









2

2

cos

2

cos

2

c

tg

B

A

B

A

b

a

tg









2

2

sin

2

sin

2

c

tg

B

A

B

A

b

a

tg









WZORY NEPERA DLA

WZORY NEPERA DLA

KĄTÓW

KĄTÓW

WZORY NEPERA DLA

WZORY NEPERA DLA

BOKÓW

BOKÓW

2

2

B

A

B

A

A









2

2

B

A

B

A

B









Wtedy:

Wtedy:

oraz

oraz

2

2

b

a

b

a

a









2

2

b

a

b

a

b









oraz

oraz

Elementy

Wartości

a

115

0

40’

b

24

0

10’

C

70

0

56’

ANALOGIE NEPERA

ANALOGIE NEPERA

Przykład 8.

Przykład 8.

Rozwiązać trójkąt sferyczny mając dane:

Rozwiązać trójkąt sferyczny mając dane:

Stosując wzory Nepera dla

Stosując wzory Nepera dla

kątów

kątów

2

2

cos

2

cos

2

C

ctg

b

a

b

a

B

A

tg









8525

,

2

2

tg



 B

A

'

9

,

40

70

2





 B

A

2

2

sin

2

sin

2

C

ctg

b

a

b

a

B

A

tg









0704

,

1

2

tg



 B

A

'

8

,

56

46

2





 B

A

Stąd

Stąd

'

7

,

37

117





A

'

44

23





B

Z twierdzenia cosinusów dla

Z twierdzenia cosinusów dla

boków:

boków:

C

b

a

b

a

c

cos

sin

sin

cos

cos

cos











2747

,

0

cos





c

'

5

,

56

105





c

Elementy

Wartości

a

115

0

40’

b

24

0

10’

C

70

0

56’

TRÓJKĄT SFERYCZNY

TRÓJKĄT SFERYCZNY

PROSTOKĄTNY

PROSTOKĄTNY

sin a = sin A · sin c

cos(90

0

–

a) = sin A ·

sin c

C

c

A

a

sin

sin

sin

sin



C

c

B

b

sin

sin

sin

sin



sin b = sin B · sin c

cos(90

0

–

b) = sin B ·

sin c

C = 90

0

cos C = 0, sin C = 1

TWIERDZENIE SINUSÓW

TWIERDZENIE SINUSÓW

cos c = cos b · cos a

cos c = sin(90

0

–

b) ·

sin(90

0

–

a)

C

a

b

a

b

c

cos

sin

sin

cos

cos

cos











TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

C = 90

0

cos C = 0, sin C = 1

cos A = sin(90

0

–

a) ·

sin B

cos B = sin(90

0

–

b)·

sin A

cos c = ctg A · ctg B

a

C

B

C

B

A

cos

sin

sin

cos

cos

cos













b

C

A

C

A

B

cos

sin

sin

cos

cos

cos













c

A

B

A

B

C

cos

sin

sin

cos

cos

cos













cos A = cos a · sin B

cos B = cos b · sin A

cos B · cos A= sin A · sin B ·
cos c

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

C = 90

0

cos C = 0, sin C
= 1

cos A = ctg (90

0

–

b) · ctg c

cos(90

0

–

b) = ctg(90

0

– a) ·

ctg A

cos(90

0

–

a) = ctg(90

0

–

b) ·

ctg B

cos B = ctg (90

0

–

a) · ctg c

cos A · cos b = sin b · ctg c – sin A · ctg C

cos b · cos C = sin b · ctg a – sin C · ctg A

cos a · cos C = sin a · ctg b – sin C · ctg B

cos a · cos B = sin a · ctg c – sin B · ctg C

sin b · ctg c = cos A · cos b

sin b · ctg a – ctg A = 0

sin a · ctg b – ctg B = 0

sin a · ctg c = cos a · cos B

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

C = 90

0

cos C = 0, sin C
= 1

Jeśli rozmieścimy pięć elementów trójkąta sferycznego prostokątnego

na kole (pomijając kąt prosty) w takiej kolejności, w jakiej
występują w trójkącie i zastąpimy przy tym przyprostokątne (boki a
i b) ich dopełnieniami do 90° to:

• cosinus każdego z elementów jest równy iloczynowi

cotangensów dwóch przylegających do niego elementów;

• cosinus każdego z elementów jest równy iloczynowi

sinusów dwóch nie przylegających do niego elementów.

REGUŁA NEPERA (PIĘCIOKĄT NEPERA)

REGUŁA NEPERA (PIĘCIOKĄT NEPERA)