TRYGONOMETRIA 

TRYGONOMETRIA 

SFERYCZNA

SFERYCZNA

(definicje, oznaczenia, twierdzenia)

(definicje, oznaczenia, twierdzenia)

 

 

 

 

Trygonometria  płaska  zajmuje  się  badaniem  właściwości  trójkątów 

Trygonometria  płaska  zajmuje  się  badaniem  właściwości  trójkątów 

położonych  na  płaszczyźnie,  a 

położonych  na  płaszczyźnie,  a 

sferyczna  –  na  powierzchni  kuli,  czyli 

sferyczna  –  na  powierzchni  kuli,  czyli 

na sferze

na sferze

.

.



 

 

w  geometrii  sferycznej  rolę  prostych  odgrywają  koła  wielkie  sfery 

w  geometrii  sferycznej  rolę  prostych  odgrywają  koła  wielkie  sfery 

(pow. kuli)

(pow. kuli)


 

 

na  sferze  przez  dwa  punkty  nie  będące  końcami  jej  średnicy 

na  sferze  przez  dwa  punkty  nie  będące  końcami  jej  średnicy 

przechodzi tylko jedno koło wielkie (podobnie jak w planimetrii przez 

przechodzi tylko jedno koło wielkie (podobnie jak w planimetrii przez 

dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta); 

dwa punkty przechodzi tylko jedna prosta); 


 

 

w geometrii sferycznej bada się takie figury, jak dwukąty, trójkąty i 

w geometrii sferycznej bada się takie figury, jak dwukąty, trójkąty i 

wielokąty  sferyczne  (ich  bokami  są  łuki  kół  wielkich  mniejsze  niż 

wielokąty  sferyczne  (ich  bokami  są  łuki  kół  wielkich  mniejsze  niż 

półokręgi); 

półokręgi); 


 

 

związkami  między  bokami  i  kątami  trójkątów  sferycznych  zajmuje 

związkami  między  bokami  i  kątami  trójkątów  sferycznych  zajmuje 

się trygonometria sferyczna. 

się trygonometria sferyczna. 

Geometria  sfery

Geometria  sfery

  jest  geometrią  na  zakrzywionej  powierzchni 

  jest  geometrią  na  zakrzywionej  powierzchni 

dwuwymiarowej.

dwuwymiarowej.

GEOMETRIA SFERYCZNA

GEOMETRIA SFERYCZNA

 

 

 

 

TRYGEOMETRIA

TRYGEOMETRIA

  – 

  – 

dział 

dział 

matematyki 

zajmujący 

się 

matematyki 

zajmujący 

się 

własnościami 

własnościami 

funkcji trygonometrycznych

funkcji trygonometrycznych

  i  ich  zastosowaniami  w 

  i  ich  zastosowaniami  w 

geometrii  płaskiej  i 

geometrii  płaskiej  i 

sferycznej

sferycznej

  (w  szczególności  do  rozwiązywania 

  (w  szczególności  do  rozwiązywania 

trójkątów).

trójkątów).

TRYGONOMETRIA PŁASKA

TRYGONOMETRIA PŁASKA 

Trygonometria płaska (

Trygonometria płaska (

euklidesowa

euklidesowa

) bada związki w trójkątach na 

) bada związki w trójkątach na 

płaszczyźnie. 

płaszczyźnie. 

Podstawowe wzory trygonometrii płaskiej to: 

Podstawowe wzory trygonometrii płaskiej to: 

•

 

 

wzór sinusów -   (Nasir ad-Din, XIII w), 

wzór sinusów -   (Nasir ad-Din, XIII w), 

•

 

 

wzór cosinusów - (po raz pierwszy w 

wzór cosinusów - (po raz pierwszy w 

Elementach

Elementach

 Euklidesa), 

 Euklidesa), 

•

 

 

wzory tangensów   (oraz analogiczne wzory dla tgβ i tgγ), 

wzory tangensów   (oraz analogiczne wzory dla tgβ i tgγ), 

•

 

 

wzory na pola trójkąta, 

wzory na pola trójkąta, 

•

 

 

wzory wiążące kąty trójkąta z jego bokami.

wzory wiążące kąty trójkąta z jego bokami.

 

 

 

 

TRYGONOMETRIA SFERYCZNA

TRYGONOMETRIA SFERYCZNA 

Trygonometria sferyczna zajmuje się związkami w 

Trygonometria sferyczna zajmuje się związkami w 

trójkątach na powierzchni kuli.

trójkątach na powierzchni kuli.

Dla trójkąta sferycznego prawdziwe są wzory: 

Dla trójkąta sferycznego prawdziwe są wzory: 

•

 

 

wzór sinusów   (Abu'l-Wefa, X w.), 

wzór sinusów   (Abu'l-Wefa, X w.), 

•

 

 

wzór cosinusów dla boków (Regiomontanus, 

wzór cosinusów dla boków (Regiomontanus, 

XV w.), 

XV w.), 

•

 

 

wzór cosinusów dla kątów (F. Viète, 2 poł. XVI 

wzór cosinusów dla kątów (F. Viète, 2 poł. XVI 

w.),

w.),

•

 

 

wzór cotangensów,

wzór cotangensów,

•

 

 

wzór na pole trójkąta. 

wzór na pole trójkąta. 

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

secans – odwrotność 

secans – odwrotność 

cosinusa

cosinusa

x

x

cos

1

sec 

x

 

 x 

sin

1

cosec 

2

sin

2

cos

1

sem

2

x

x

-

 

 

x

 





cosecans – odwrotność 

cosecans – odwrotność 

sinusa

sinusa

semiversus – kwadrat sinusa kąta 

semiversus – kwadrat sinusa kąta 

połówkowego

połówkowego

 

 

 

 

OKRĘGI WIELKIE I MAŁE

OKRĘGI WIELKIE I MAŁE

 

 

Płaszczyzna przechodząca przez środek sfery przecina ją wzdłuż linii 

Płaszczyzna przechodząca przez środek sfery przecina ją wzdłuż linii 

zwanej 

zwanej 

okręgiem  wielkim

okręgiem  wielkim

,  natomiast  płaszczyzna,  która  przecina 

,  natomiast  płaszczyzna,  która  przecina 

sferę, ale nie przechodzi przez jej środek, wyznacza na niej tzw. 

sferę, ale nie przechodzi przez jej środek, wyznacza na niej tzw. 

okrąg 

okrąg 

mały

mały

.

.

Okrąg wielki

Okrąg 
mały

TRYGONOMETRIA – OKRĄG WIELKI

TRYGONOMETRIA – OKRĄG WIELKI

Każdemu łukowi okręgu wielkiego odpowiada kąt środkowy oparty na 
tym łuku.

α

DŁUGOŚĆ ŁUKU OKRĘGU WIELKIEGO

DŁUGOŚĆ ŁUKU OKRĘGU WIELKIEGO

α

ORTODROMA

ORTODROMA

ODLEGŁOŚĆ ORTODROMICZNA

ODLEGŁOŚĆ ORTODROMICZNA

PROMIEŃ KULI ZIEMSKIEJ

PROMIEŃ KULI ZIEMSKIEJ

R 

R 

≈

≈

 6370 km

 6370 km 

 

 

MILA MORSKA

MILA MORSKA

 

 

 

 

KĄT PRZECIĘCIA OKRĘGÓW WIELKICH

KĄT PRZECIĘCIA OKRĘGÓW WIELKICH

 

 

Kąt przecięcia łuków dwóch kół wielkich jest wyznaczony przez kąt 

Kąt przecięcia łuków dwóch kół wielkich jest wyznaczony przez kąt 

jaki  tworzą  styczne  do  tych  łuków  poprowadzone  w  punkcie 

jaki  tworzą  styczne  do  tych  łuków  poprowadzone  w  punkcie 

przecięcia. 

przecięcia. 

Jest  on  równy  kątowi  dwuściennemu  wyznaczonemu  przez 

Jest  on  równy  kątowi  dwuściennemu  wyznaczonemu  przez 

płaszczyzny w których zawarte są oba koła wielkie. 

płaszczyzny w których zawarte są oba koła wielkie. 

 

 

 

 

TRÓJKĄT SFERYCZNY

TRÓJKĄT SFERYCZNY

DEFINICJA.

DEFINICJA.

  Trójkątem  sferycznym  nazywamy  każdą  z  dwu  części 

  Trójkątem  sferycznym  nazywamy  każdą  z  dwu  części 

sfery,  wyznaczoną  przez  ortodromy  łączące  trzy  różne  punkty  tej 

sfery,  wyznaczoną  przez  ortodromy  łączące  trzy  różne  punkty  tej 

sfery nie leżące na jednym okręgu wielkim i takie, że żadne dwa z 

sfery nie leżące na jednym okręgu wielkim i takie, że żadne dwa z 

nich nie są końcami tej samej średnicy. 

nich nie są końcami tej samej średnicy. 

Punkty  te  nazywamy 

Punkty  te  nazywamy 

wierzchołkami  trójkąta  sferycznego

wierzchołkami  trójkąta  sferycznego

, 

, 

ortodromy  łączące  wierzchołki  zaliczamy  do  trójkąta  sferycznego  i 

ortodromy  łączące  wierzchołki  zaliczamy  do  trójkąta  sferycznego  i 

nazywamy 

nazywamy 

bokami  tego  trójkąta

bokami  tego  trójkąta

,  zaś  kąty  sferyczne,  utworzone 

,  zaś  kąty  sferyczne,  utworzone 

przez każde dwa boki, nazywamy 

przez każde dwa boki, nazywamy 

kątami trójkąta sferycznego

kątami trójkąta sferycznego

.

.

 

 

 

 

TRÓJKĄT SFERYCZNY EULERA

TRÓJKĄT SFERYCZNY EULERA

Do  celów  nawigacyjnych  rozważmy  ten  z  trójkątów,  który  ma 

Do  celów  nawigacyjnych  rozważmy  ten  z  trójkątów,  który  ma 

wszystkie  boki  i  kąty  mniejsze  od  180°  (trójkąt  Eulera,  nazywany 

wszystkie  boki  i  kąty  mniejsze  od  180°  (trójkąt  Eulera,  nazywany 

trójkątem sferycznym). 

trójkątem sferycznym). 

Boki trójkąta oznaczamy małymi literami, zaś jego wierzchołki i kąty 

Boki trójkąta oznaczamy małymi literami, zaś jego wierzchołki i kąty 

dużymi.

dużymi.

 

 

KĄTY

0º < A < 180º 

0º < B < 180º

0º < C < 180º

BOKI

0º < a < 180º 

0º < b < 180º

0º < c < 180º

 

 

 

 

RÓWNOŚĆ TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

RÓWNOŚĆ TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

DEFINICJA.

DEFINICJA.

  Dwa  trójkąty,  leżące  na  tej  samej  lub  na  równych 

  Dwa  trójkąty,  leżące  na  tej  samej  lub  na  równych 

sferach,  nazywamy  trójkątami  równymi,  jeżeli  mają  one 

sferach,  nazywamy  trójkątami  równymi,  jeżeli  mają  one 

odpowiednie boki i odpowiednie kąty równe.

odpowiednie boki i odpowiednie kąty równe.

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

  Dwa  trójkąty  sferyczne  są  równe,  jeżeli  mają 

  Dwa  trójkąty  sferyczne  są  równe,  jeżeli  mają 

odpowiednio równe:

odpowiednio równe:



 

 

trzy boki,

trzy boki,



 

 

trzy kąty,

trzy kąty,



 

 

dwa boki i kąt między nimi,

dwa boki i kąt między nimi,



 

 

bok i dwa kąty do niego przyległe.

bok i dwa kąty do niego przyległe.

 

 

 

 

ZALEŻNOŚCI MIĘDZY PODSTAWOWYMI ELEMENTAMI 

ZALEŻNOŚCI MIĘDZY PODSTAWOWYMI ELEMENTAMI 

TRÓJKĄTA SFERYCZNEGO 

TRÓJKĄTA SFERYCZNEGO 

Każdemu  trójkątowi  sferycznemu  można 

Każdemu  trójkątowi  sferycznemu  można 

jednoznacznie  przyporządkować  trójścian  o 

jednoznacznie  przyporządkować  trójścian  o 

wierzchołku  leżącym  w  środku  sfery  i 

wierzchołku  leżącym  w  środku  sfery  i 

krawędziach 

przechodzących 

przez 

krawędziach 

przechodzących 

przez 

wierzchołki tego trójkąta.

wierzchołki tego trójkąta.

Kąty  płaskie  tego  trójścianu  można  mierzyć 

Kąty  płaskie  tego  trójścianu  można  mierzyć 

bokami 

trójkąta 

sferycznego, 

a 

kąty 

bokami 

trójkąta 

sferycznego, 

a 

kąty 

dwuścienne – kątami tego trójkąta.

dwuścienne – kątami tego trójkąta.

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

  W  trójkącie  sferycznym  każdy  bok  jest  większy  od 

  W  trójkącie  sferycznym  każdy  bok  jest  większy  od 

bezwzględnej  wartości  różnicy  i  mniejszy  od  sumy  dwóch 

bezwzględnej  wartości  różnicy  i  mniejszy  od  sumy  dwóch 

pozostałych boków, natomiast suma boków trójkąta sferycznego jest 

pozostałych boków, natomiast suma boków trójkąta sferycznego jest 

mniejsza od kąta pełnego.

mniejsza od kąta pełnego.





 

 

b

b

 – 

 – 

c

c

 

 





 < 

 < 

a

a

 < 

 < 

b

b

 + 

 + 

c

c

,

,





 

 

a

a

 – 

 – 

c

c

 

 





 < 

 < 

b

b

 < 

 < 

a

a

 + 

 + 

c

c

,

,





 

 

a

a

 – 

 – 

b

b

 

 





 < 

 < 

c

c

 < 

 < 

a

a

 + 

 + 

b

b

,

,

0° < 

0° < 

a

a

 + 

 + 

b

b

 + 

 + 

c

c

 < 360°.

 < 360°.

oraz

oraz

 

 

 

 

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

 W trójkącie sferycznym suma kątów jest większa od 

 W trójkącie sferycznym suma kątów jest większa od 

kąta półpełnego, ale mniejsza od trzech kątów półpełnych, czyli

kąta półpełnego, ale mniejsza od trzech kątów półpełnych, czyli

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI ELEMENTÓW TRÓJKĄTA 

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI ELEMENTÓW TRÓJKĄTA 

SFERYCZNEGO 

SFERYCZNEGO 

180° < 

180° < 

A

A

 + 

 + 

B

B

 + 

 + 

C

C

 < 540°.

 < 540°.

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

  W  trójkącie  sferycznym  suma  dwóch  kątów  jest 

  W  trójkącie  sferycznym  suma  dwóch  kątów  jest 

mniejsza od sumy kąta trzeciego i kąta półpełnego.

mniejsza od sumy kąta trzeciego i kąta półpełnego.

A

A

 + 

 + 

B

B

 < 

 < 

C

C

 + 180°,

 + 180°,

A

A

 + 

 + 

C

C

 < 

 < 

B

B

 + 180°,

 + 180°,

B

B

 + 

 + 

C

C

 < 

 < 

A

A

 + 180°.

 + 180°.

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

  W  trójkącie  sferycznym  naprzeciw  równych  boków 

  W  trójkącie  sferycznym  naprzeciw  równych  boków 

leżą  równe  kąty  i  odwrotnie,  naprzeciw  równych  kątów  leżą  równe 

leżą  równe  kąty  i  odwrotnie,  naprzeciw  równych  kątów  leżą  równe 

boki.

boki.

a

a

 = 

 = 

b

b

 

 





 

 

A

A

 = 

 = 

B

B

oraz

oraz

A

A

 = 

 = 

B

B

 

 





 

 

a

a

 = 

 = 

b

b

.

.

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

  W  trójkącie  sferycznym  naprzeciw  większego  kąta 

  W  trójkącie  sferycznym  naprzeciw  większego  kąta 

leży  większy  bok  i  odwrotnie,  naprzeciw  większego  boku  leży 

leży  większy  bok  i  odwrotnie,  naprzeciw  większego  boku  leży 

większy kąt.

większy kąt.

A

A

 < 

 < 

B

B

 

 





 

 

a

a

 < 

 < 

b

b

oraz

oraz

a

a

 < 

 < 

b

b

 

 





 

 

A

A

 < 

 < 

B.

B.

 

 

 

 

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI ELEMENTÓW TRÓJKĄTA 

PODSTAWOWE WŁASNOŚCI ELEMENTÓW TRÓJKĄTA 

SFERYCZNEGO 

SFERYCZNEGO 

TWIERDZENIE.

TWIERDZENIE.

 W trójkącie sferycznym 

 W trójkącie sferycznym 

ABC

ABC

 zachodzą związki:

 zachodzą związki:

a

a

 + 

 + 

b < 

b < 

180° wtt  

180° wtt  

A

A

 + 

 + 

B

B 

< 

< 

180°

180°

a

a

 + 

 + 

b = 

b = 

180° wtt  

180° wtt  

A

A

 + 

 + 

B

B 

= 

= 

180°

180°

a

a

 + 

 + 

b > 

b > 

180° wtt  

180° wtt  

A

A

 + 

 + 

B

B 

> 

> 

180°

180°

 

 

 

 

PODSTAWOWE WZORY 

PODSTAWOWE WZORY 

TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

Niektóre  ze  związków  zachodzących  między  elementami  trójkąta 

Niektóre  ze  związków  zachodzących  między  elementami  trójkąta 

sferycznego  mają  budowę  podobną  do  związków  między 

sferycznego  mają  budowę  podobną  do  związków  między 

elementami  trójkąta  płaskiego,  stąd  takie  same  nazwy,  jak  w 

elementami  trójkąta  płaskiego,  stąd  takie  same  nazwy,  jak  w 

trygonometrii płaskiej.

trygonometrii płaskiej.

 

 

 

 

TWIERDZENIE SINUSÓW

TWIERDZENIE SINUSÓW

W  trójkącie  sferycznym  iloraz  sinusa  boku  i 

W  trójkącie  sferycznym  iloraz  sinusa  boku  i 

sinusa przeciwległego kąta jest wielkością stałą.

sinusa przeciwległego kąta jest wielkością stałą.

C

c

B

b

A

a

sin

sin

sin

sin

sin

sin





Zakres stosowania: 

Zakres stosowania: 

Gdy  znamy  trzy  elementy  trójkąta,  z  których  dwa  są  do  siebie 

Gdy  znamy  trzy  elementy  trójkąta,  z  których  dwa  są  do  siebie 

przeciwległe,  możemy  znaleźć  wtedy  element  przeciwległy  do 

przeciwległe,  możemy  znaleźć  wtedy  element  przeciwległy  do 

trzeciego z nich.

trzeciego z nich.

Uwaga!

Uwaga!

Przy  stosowaniu  twierdzenia  sinusów  możemy  otrzymać  dwa 

Przy  stosowaniu  twierdzenia  sinusów  możemy  otrzymać  dwa 

rozwiązania.  Właściwe  rozwiązanie  należy  dobrać  korzystając  z 

rozwiązania.  Właściwe  rozwiązanie  należy  dobrać  korzystając  z 

własności elementów w trójkącie sferycznym.

własności elementów w trójkącie sferycznym.

PODSTAWOWE WZORY 

PODSTAWOWE WZORY 

TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

 

 

 

 

Przykład 1. 

Przykład 1. 

Dane są dwa boki i kąt przeciwległy do jednego z 

Dane są dwa boki i kąt przeciwległy do jednego z 

nich:

nich:

Elementy

Wartości

a

56

0 

21’

b

89

0 

11’

A

44

0 

47’

B

b

A

a

sin

sin

sin

sin



A

a

b

B

sin

sin

sin

sin





846137

,

0

704428

,

0

832438

,

0

999898

,

0

sin







B











'

37

,

12

122

'

63

,

47

57

)

846137

,

0

arcsin(

0

0

B

TWIERDZENIE SINUSÓW

TWIERDZENIE SINUSÓW

Ponieważ bok 

Ponieważ bok 

b

b

 jest większy od boku 

 jest większy od boku 

a

a

 to kąt 

 to kąt 

B

B

 musi być większy od 

 musi być większy od 

kąta 

kąta 

A

A

 czyli obie odpowiedzi są prawidłowe, tzn. mamy dwa 

 czyli obie odpowiedzi są prawidłowe, tzn. mamy dwa 

trójkąty.

trójkąty.

'

63

,

47

57

0

1



B

'

37

,

12

122

0

2



B

 

 

 

 

Przykład 2. 

Przykład 2. 

Dane są dwa kąty  i bok przeciwległy do jednego z 

Dane są dwa kąty  i bok przeciwległy do jednego z 

nich:

nich:

Elementy

Wartości

A

124

0 

00’

B

45

0 

00’

a

101

0 

00’

B

b

A

a

sin

sin

sin

sin



TWIERDZENIE SINUSÓW

TWIERDZENIE SINUSÓW

Ponieważ kąt 

Ponieważ kąt 

A

A

 jest większy od kąta 

 jest większy od kąta 

B

B

 to bok 

 to bok 

a

a

 musi by większy od 

 musi by większy od 

boku 

boku 

b

b

, czyli:

, czyli:

a

A

B

b

sin

sin

sin

sin





837254

,

0

981627

,

0

829038

,

0

707107

,

0

sin







b











'

92

.

08

123

'

08

,

51

56

)

837245

,

0

arcsin(

0

0

b

'

08

,

51

56

0



b

 

 

 

 

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

W  trójkącie  sferycznym  cosinus  dowolnego  boku  jest  równy  sumie 

W  trójkącie  sferycznym  cosinus  dowolnego  boku  jest  równy  sumie 

iloczynu  cosinusów  dwóch  pozostałych  boków  i  iloczynu  sinusów 

iloczynu  cosinusów  dwóch  pozostałych  boków  i  iloczynu  sinusów 

tych boków oraz cosinusa kąta między nimi zawartego. 

tych boków oraz cosinusa kąta między nimi zawartego. 

A

c

b

c

b

a

cos

sin

sin

cos

cos

cos











B

c

a

c

a

b

cos

sin

sin

cos

cos

cos











C

a

b

a

b

c

cos

sin

sin

cos

cos

cos











Zakres stosowania: 

Zakres stosowania: 

•

 

 

gdy znamy trzy boki trójkąta, możemy znaleźć wtedy trzy kąty;

gdy znamy trzy boki trójkąta, możemy znaleźć wtedy trzy kąty;

•

 

 

gdy znamy dwa boki i kąt między nimi zawarty, możemy znaleźć 

gdy znamy dwa boki i kąt między nimi zawarty, możemy znaleźć 

wtedy 

wtedy 

  

  

trzeci bok

trzeci bok

.

.

 

 

 

 

c

b

c

b

a

A

sin

sin

cos

cos

cos

cos









a

b

a

b

c

C

sin

sin

cos

cos

cos

cos









c

a

c

a

b

B

sin

sin

cos

cos

cos

cos









'

93

,

49

48

0



A

'

33

,

35

18

0



B

'

24

,

14

133

0



C

327407

,

1

sin

sin



A

a

327407

,

1

sin

sin



B

b

327407

,

1

sin

sin



C

c

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

Przykład 3. 

Przykład 3. 

Dane są trzy boki trójkąta:

Dane są trzy boki trójkąta:

Elementy

Wartości

a

87

0 

47’

b

25

0 

02’

c

104

0 

45’

 

 

 

 

13831

,

0

1141569

,

0

916561

,

0

826982

,

0

399896

,

0

)

56223

,

0

(

cos

















c

'

57

97

0



c

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

Przykład 4. 

Przykład 4. 

Dane są dwa boki 

Dane są dwa boki 

a

a

, 

, 

b

b

 i kąt między nimi zawarty 

 i kąt między nimi zawarty 

C

C

 :

 :

Elementy

Wartości

a

66

0 

25,7’

b

124

0 

12,6’

C

83

0 

26,7’

 

 

 

 

W  trójkącie  sferycznym  cosinus  dowolnego  kąta  jest  równy  różnicy 

W  trójkącie  sferycznym  cosinus  dowolnego  kąta  jest  równy  różnicy 

iloczynu  sinusów  dwóch  pozostałych  kątów  oraz  cosinusa  boku 

iloczynu  sinusów  dwóch  pozostałych  kątów  oraz  cosinusa  boku 

między  nimi  zawartego  i  iloczynu  cosinusów  dwóch  pozostałych 

między  nimi  zawartego  i  iloczynu  cosinusów  dwóch  pozostałych 

kątów.

kątów.

Zakres stosowania: 

Zakres stosowania: 

•

 

 

gdy znamy trzy kąty trójkąta, możemy znaleźć wtedy trzy boki;

gdy znamy trzy kąty trójkąta, możemy znaleźć wtedy trzy boki;

•

 

 

gdy znamy dwa kąty i bok między nimi zawarty, możemy znaleźć 

gdy znamy dwa kąty i bok między nimi zawarty, możemy znaleźć 

wtedy 

wtedy 

  

  

trzeci kąt

trzeci kąt

.

.

a

C

B

C

B

A

cos

sin

sin

cos

cos

cos













b

C

A

C

A

B

cos

sin

sin

cos

cos

cos













c

A

B

A

B

C

cos

sin

sin

cos

cos

cos













TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

 

 

 

 

C

B

C

B

A

a

sin

sin

cos

cos

cos

cos









C

A

C

A

B

b

sin

sin

cos

cos

cos

cos









A

B

A

B

C

c

sin

sin

cos

cos

cos

cos









'

9

,

24

78

0



a

200825

,

0

99998

,

0

99999

,

0

006109

,

0

004363

,

0

200793

,

0

cos











a

'

4

,

40

89

0



b

005706

,

0

99998

,

0

97963

,

0

006109

,

0

200793

,

0

004363

,

0

cos











b

00713

,

0

97963

,

0

99999

,

0

200793

,

0

004363

,

0

006109

,

0

cos











c

'

5

,

35

89

0



c

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

Przykład 5. 

Przykład 5. 

Dane są trzy kąty trójkąta 

Dane są trzy kąty trójkąta 

A

A

, 

, 

B

B

 i 

 i 

C

C

 :

 :

Elementy

Wartości

A

78

0 

25’

B

89

0 

45’

C

89

0 

39’

 

 

 

 

'

54

84

0



C

088894

,

0

229304

,

0

9077775

,

0

9638633

,

0

419452

,

0

266397

,

0

cos















C

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

Przykład 6. 

Przykład 6. 

Dane są dwa kąty 

Dane są dwa kąty 

A

A

, 

, 

B

B

 i bok między nimi zawarty 

 i bok między nimi zawarty 

c

c

 :

 :

Elementy

Wartości

A

65

0 

12’

B

74

0 

33’

c

76

0 

44,6’

 

 

 

 

WZORY COTANGENSÓW

WZORY COTANGENSÓW

cos

cos

 

 

B ·

B ·

 

 

cos

cos

 

 

c

c

 = 

 = 

s

s

in

in

 

 

c ·

c ·

 

 

ctg

ctg

 

 

a – sin

a – sin

 

 

B ·

B ·

 

 

ctg

ctg

 

 

A

A

cos

cos

 

 

A ·

A ·

 

 

cos

cos

 

 

c

c

 = 

 = 

s

s

in

in

 

 

c ·

c ·

 

 

ctg

ctg

 

 

b – sin

b – sin

 

 

A ·

A ·

 

 

ctg

ctg

 

 

B

B

cos

cos

 

 

A ·

A ·

 

 

cos

cos

 

 

b

b

 

 

= s

= s

in

in

 

 

b ·

b ·

 

 

ctg

ctg

 

 

c – sin

c – sin

 

 

A ·

A ·

 

 

ctg

ctg

 

 

C

C

cos

cos

 

 

b ·

b ·

 

 

cos

cos

 

 

C

C

 

 

= s

= s

in

in

 

 

b ·

b ·

 

 

ctg

ctg

 

 

a – sin

a – sin

 

 

C ·

C ·

 

 

ctg

ctg

 

 

A

A

cos

cos

 

 

a ·

a ·

 

 

cos

cos

 

 

C

C

 

 

= s

= s

in

in

 

 

a ·

a ·

 

 

ctg

ctg

 

 

b – sin

b – sin

 

 

C ·

C ·

 

 

ctg

ctg

 

 

B

B

cos

cos

 

 

a ·

a ·

 

 

cos

cos

 

 

B

B

 

 

= s

= s

in

in

 

 

a ·

a ·

 

 

ctg

ctg

 

 

c – sin

c – sin

 

 

B ·

B ·

 

 

ctg

ctg

 

 

C

C

zestawy czterech kolejnych 

zestawy czterech kolejnych 

elementów 

elementów 

a B c A

a B c A

    

    

B c A b     c A b C     

B c A b     c A b C     

A b C a     b C a B     C a B c

A b C a     b C a B     C a B c

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

W  trójkącie  sferycznym  iloczyn  cosinusów  elementów  środkowych 

W  trójkącie  sferycznym  iloczyn  cosinusów  elementów  środkowych 

ustalonej  czwórki  elementów  równa  się  iloczynowi  sinusa  boku 

ustalonej  czwórki  elementów  równa  się  iloczynowi  sinusa  boku 

środkowego  przez  cotangens  boku  skrajnego  minus  iloczyn  sinusa 

środkowego  przez  cotangens  boku  skrajnego  minus  iloczyn  sinusa 

kąta środkowego przez cotangens kąta skrajnego.

kąta środkowego przez cotangens kąta skrajnego.

 

 

 

 

Przykład 7. 

Przykład 7. 

Rozwiązać trójkąt sferyczny mając dane:

Rozwiązać trójkąt sferyczny mając dane:

Elementy

Wartości

A

117

0 

38’

B

23

0 

43,8’

c

105

0 

56,4’

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

B

A

b

c

A

c

 

ctg

sin

 

ctg

sin

cos

cos











c

B

A

A

c

b

sin

 

ctg

sin

cos

cos

 

ctg









2285

,

2

 

ctg 

b

'

10

24

 





b

4487

,

0

 

tg 

b

A

B

a

c

B

c

 

ctg

sin

 

ctg

sin

cos

cos











c

A

B

B

c

a

sin

 

ctg

sin

cos

cos

 

ctg









0423

,

0

 

ctg





a

6135

,

23

 

tg





a

'

5

,

34

87

 







a

'

5

,

25

92

180

'

5

,

34

87

 















a

z okresowości funkcji tangens mamy 

z okresowości funkcji tangens mamy 

 

 

 

 

Z twierdzenia cosinusów dla 

Z twierdzenia cosinusów dla 

kątów:

kątów:

Elementy

Wartości

A

117

0 

38’

B

23

0 

43,8’

c

105

0 

56,4’

c

B

A

B

A

C

cos

sin

sin

cos

cos

cos













3267

,

0

cos 

C

'

9

,

55

70

 





C

 

 

 

 

ANALOGIE NEPERA

ANALOGIE NEPERA

2

2

cos

2

cos

2

C

ctg

b

a

b

a

B

A

tg









2

2

sin

2

sin

2

C

ctg

b

a

b

a

B

A

tg









2

2

cos

2

cos

2

c

tg

B

A

B

A

b

a

tg









2

2

sin

2

sin

2

c

tg

B

A

B

A

b

a

tg









WZORY NEPERA DLA 

WZORY NEPERA DLA 

KĄTÓW

KĄTÓW

WZORY NEPERA DLA 

WZORY NEPERA DLA 

BOKÓW

BOKÓW

2

2

B

A

B

A

A









2

2

B

A

B

A

B









Wtedy:

Wtedy:

oraz

oraz

2

2

b

a

b

a

a









2

2

b

a

b

a

b









oraz

oraz

 

 

 

 

Elementy

Wartości

a

115

0 

40’

b

24

0 

10’

C

70

0 

56’

ANALOGIE NEPERA

ANALOGIE NEPERA

Przykład 8. 

Przykład 8. 

Rozwiązać trójkąt sferyczny mając dane:

Rozwiązać trójkąt sferyczny mając dane:

Stosując wzory Nepera dla 

Stosując wzory Nepera dla 

kątów

kątów

2

2

cos

2

cos

2

C

ctg

b

a

b

a

B

A

tg









8525

,

2

2

 

tg



 B

A

'

9

,

40

70

2





 B

A

2

2

sin

2

sin

2

C

ctg

b

a

b

a

B

A

tg









0704

,

1

2

 

tg



 B

A

'

8

,

56

46

2





 B

A

Stąd

Stąd

'

7

,

37

117





A

'

44

23





B

 

 

 

 

Z twierdzenia cosinusów dla 

Z twierdzenia cosinusów dla 

boków:

boków:

C

b

a

b

a

c

cos

sin

sin

cos

cos

cos











2747

,

0

cos





c

'

5

,

56

105

 





c

Elementy

Wartości

a

115

0 

40’

b

24

0 

10’

C

70

0 

56’

 

 

 

 

TRÓJKĄT SFERYCZNY 

TRÓJKĄT SFERYCZNY 

PROSTOKĄTNY

PROSTOKĄTNY

 

 

 

 

sin a = sin A · sin c

cos(90

0 

–

 a) = sin A · 

sin c

C

c

A

a

sin

sin

sin

sin



C

c

B

b

sin

sin

sin

sin



sin b = sin B · sin c

cos(90

0 

–

 b) = sin B · 

sin c

C = 90

0

cos C = 0,  sin C = 1

TWIERDZENIE SINUSÓW

TWIERDZENIE SINUSÓW

 

 

 

 

cos c = cos b · cos a

cos c = sin(90

0 

–

 b)  · 

sin(90

0 

–

 a)

C

a

b

a

b

c

cos

sin

sin

cos

cos

cos











TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA BOKÓW

C = 90

0

cos C = 0,  sin C = 1

 

 

 

 

cos A = sin(90

0 

–

 a) · 

sin B

cos B = sin(90

0 

–

 b)· 

sin A

cos c = ctg A · ctg B

a

C

B

C

B

A

cos

sin

sin

cos

cos

cos













b

C

A

C

A

B

cos

sin

sin

cos

cos

cos













c

A

B

A

B

C

cos

sin

sin

cos

cos

cos













cos A = cos a · sin B

cos B = cos b · sin A

cos B · cos A= sin A · sin B · 
cos c

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA KĄTÓW

C = 90

0

cos C = 0,  sin C 
= 1

 

 

 

 

cos A = ctg (90

0 

–

 b) · ctg c

cos(90

0 

–

 b) = ctg(90

0 

– a) · 

ctg A

cos(90

0 

–

 a) = ctg(90

0

 

–

 b) · 

ctg B

cos B = ctg (90

0 

–

 a) · ctg c

cos A · cos b = sin b · ctg c – sin A · ctg C

cos b · cos C = sin b · ctg a – sin C · ctg A

cos a · cos C = sin a · ctg b – sin C · ctg B

cos a · cos B = sin a · ctg c – sin B · ctg C

sin b · ctg c = cos A · cos b

sin b · ctg a – ctg A = 0

sin a · ctg b – ctg B = 0

sin a · ctg c = cos a · cos B

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

TWIERDZENIE COTANGENSÓW

C = 90

0

cos C = 0,  sin C 
= 1

 

 

 

 

Jeśli rozmieścimy pięć elementów trójkąta sferycznego prostokątnego 

na  kole  (pomijając  kąt  prosty)  w  takiej  kolejności,  w  jakiej 
występują w trójkącie i zastąpimy przy tym przyprostokątne (boki a 
i b) ich dopełnieniami do 90° to:

• cosinus  każdego  z  elementów  jest  równy  iloczynowi 

cotangensów dwóch przylegających do niego elementów;

• cosinus  każdego  z  elementów  jest  równy  iloczynowi 

sinusów dwóch nie przylegających do niego elementów.

REGUŁA NEPERA (PIĘCIOKĄT NEPERA)

REGUŁA NEPERA (PIĘCIOKĄT NEPERA)