TRYGONOMETRIA SFERYCZNA

Zajmuje się obliczaniem trójkątów sferycznych. Trójkąt sferyczny to taki, który wierzchołki
ma na powierzchni kuli, a boki są krawędziami kół wielkich. Trójkąt „eulerowski” (boki i
kąty< 180°)













KĄT SFERYCZNY – powstaje tam gdzie przecinają się dwa boki kół wielkich.






















MIARĄ KĄTA SFERYCZNEGO JEST:

1. Kąt płaski między dwoma stycznymi do boków kąta, które są łukami kół wielkich,

wystawionymi z wierzchołka kąta.

2. Kąt dwuścienny między dwoma płaszczyznami kół wielkich tworzących dany kąt

sferyczny.

3. Łuk zatoczony promieniem 90° z wierzchołka kąta miedzy jego ramionami.

BIEGUN ŁUKU KOŁA WIELKIEGO – nazywamy punkt odległy od niego o 90°. Równik
ma dwa bieguny północny i południowy. Każde koło wielki na kuli ma dwa bieguny leżące na
końcach jednej średnicy.

DWUKĄT SFERYCZNY – jego wierzchołki leżą na jednej średnicy, boki mają po 180°,
kąty są równe, można go podzielić na dwa trójkąty sferyczne

∆

ABC- trójkąt dany

∆

A’BC- trójkąt sprzężony

NAROŻE TRÓJŚCIENNE – powstaje po połączeniu trójkąta sferycznego ze środkiem kuli.

α

, β, γ - kąty płaskie = miary boków a, b, c

Zachodzą związki:

0

360

0

360

a b c

α β γ

° ≤

+ + ≤

°

° ≤ + + ≤

°

Suma kątów dwuściennych w narożu trójściennym jest mniejsza od 540° i większa od 180°

180 A

540

B C

° ≤

+ +

≤

° ←180° - przy zwiększeniu promienia kula dąży do powierzchni

płaskiej, i wtedy suma kątów jest minimalna

→

odejmuję 180° od obu stron

0 A

180 360

nadmiar sferyczny

=

180

B C

A B C

ε

° ≤

+ + −

° ≤

°

+ + −

°

NADMIAR SFERYCZNY – jest różnicą między sumą kątów sferycznych i sumą kątów
odpowiadającą figurze płaskiej.

TRÓJKĄTY WZAJEMNIE BIEGUNOWE I ICH WŁASNOŚCI

Trójkąt wewnętrzny jest

biegunowy wobec zewnętrznego.
Powstał przez zatoczenie wobec
wierzchołków łuków o promieniu
90°.

WŁASNOŚCI:

Wierzchołki jednego

trójkąta są biegunami boków
drugiego trójkąta ( i na odwrót)

A’

jest biegunem dla

a

B’

b

C’

c

A

a’

B

b’

C

c’

Suma kąta z małego trójkąta i boku naprzeciwległego z dużego trójkąta jest równa 180°

Dowód:

' 180

'

'

'

'

'

'

' 90 90 180 c.b.d.u.

A a

A KL

a B K KL LC

A a KL B K KL LC

A a

+ =

°

=

=

+

+

+ =

+

+

+

+ =

° +

°

=

°

PODSTAWOWE WZORY TRYGONOMETRII SFERYCZNEJ

Wzory cosinusowe dla boków

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

wyprowadzenie wzorów:
z trójkąta

i

2

cos

2

cos

2

cos

2

cos

podstawiam

2

cos

2

OKL AKL

KL

AK

AL

AK AL

A

KL OK

OL

OK OL

a

AK

AL

AK AL

A OK

OL

OK OL

a

OK

OA

AK

OL OA

AL

AK

AL

AK AL

A OA

AK

OA

AL

OK

=

+

−

⋅

⋅

=

+

−

⋅

⋅

+

−

⋅

⋅

=

+

−

⋅

⋅

=

+

=

+

+

− ⋅

⋅

⋅

=

+

+

+

− ⋅

⋅

2

cos

2

cos

2

cos

2

dzielę przez /2

cos

cos

WZORY Albataniego

Dla tr

cos cos cos sin sin cos
cos cos cos sin sin cos
cos cos cos sin sin cos

OL

a

OK OL

a

AK AL

A

OA

OK OL

OA OA AK AL

a

A

OK OL OK OL

a

b

c

b

c

A

b

a

c

a

c

B

c

a

b

a

b

C

⋅

⋅

⋅

⋅

= ⋅

⋅

⋅

+ ⋅

⋅

⋅

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

ójkąta biegunowego względem

cos ' cos ' cos ' sin ' sin ' cos '
podstawiam

' 180

' 180

' 180

' 180

cos

cos cos

sin sin cos

cos

cos cos

sin sin cos

cos

cos cos

sin sin co

ABC

a

b

c

b

c

A

a

A

b

B

c

C

A

a

A

B

C

B

C

a

A

B

C

B

C

a

B

A

C

A

C

=

⋅

+

⋅

⋅

=

°−

=

°−

=

°−

=

°−

−

=

⋅

−

⋅

⋅

=−

⋅

+

⋅

⋅

=−

⋅

+

⋅

⋅ s

cos

cos cos

sin sin cos

b

C

A

B

A

B

c

=−

⋅

+

⋅

⋅

Wzory sinusowe

sin

sin

sin

sin

sin

sin

a

b

c

A

B

C

=

=

Wzory 5 elementów (3 boki, 2 kąty)

2

wyprowadzenie wzorów:

do wzoru cosinusowego wstawiamy drugi cosinusowy innego boku
cos

cos cos sin sin cos

cos

cos cos sin sin cos / cos

wstawiamy za cos cos

cos

cos cos

sin

b

a

c

a

c

B

a

b

c

b

c

A

c

a

c

b

b

c

=

⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

+

2

2

2

sin cos cos

sin sin cos

cos cos cos

sin sin cos cos

sin sin cos

cos (1 cos ) sin sin cos cos

sin sin cos / sin

sin

cos sin sin cos cos

sin cos

sin cos

si

b

c

c

A

a

c

B

b

b

c

b

c

c

A

a

c

B

b

c

b

c

c

A

a

c

B

c

c

b

c

b

c

A

a

B

a

B

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

÷

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

= n cos sin cos cos

sin cos

sin cos sin cos cos

c

b

b

c

A

b

A

c

a

a

c

B



















−

⋅

⋅

⋅

=

−

⋅

⋅

Wzory 4 elementów (cotangensowe)

wyprowadzenie wzorów:
Do wzoru 5 elementów wstawiamy wzór sinusowy

sin cos

sin cos sin cos cos wz. 5 el.

sin sin

sin sin dzielimy stronami
sin

cos cos

sin

sin

sin

sin

b

A

c

a

a

c

B

b

A

a

B

c

c

B

ctgA ctga

B

B

ctgA

B

c ctga

⋅

=

−

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

−

⋅

=

⋅

−cos cos

sin

sin

cos cos

c

B

c ctga

B ctgA

c

B

⋅



















⋅

=

⋅

+

⋅

PROSTOKĄTNY TRÓJKĄT SFERYCZNY

90 ponieważ cos90 0 to wzory się upraszczają

cos cos cos
cos

cos sin

sin

A

a

b

c

C

c

B

c ctgB tgb

=

°

°=

=

⋅

=

⋅

=

⋅

WYSOKOŚĆ TRÓJKĄTA SFERYCZNEGO

Wysokością nazywamy łuk koła wielkiego poprowadzony prostopadle z wierzchołka kąta do
boku przeciwległego.

sinh

sin a z trójkąta 1

sin

sin90

sinh

sin z trójkąta 2

sin

sin90

sinh sin sin sin sin

sinh sin sin / sin
sinh sin sin / sin
sinh sin

sin sin sin

sinh

b

b

b

b

a

b

a

c

A

a

C

A

c

a

C

a

C

b

b

C

a

b

a

b

C

=

←

°

=

←

°

=

⋅

=

⋅

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

sin

sin sin sin

Tw. o wysokosciach w trójkącie sferycznym

sinh sin sinh sin sinh sin

a

a

b

C

a

b

c

a

c

b

⋅

=

⋅

⋅

⇒

⋅

=

⋅

=

⋅

TWIERDZENIE O WYSOKOŚCI W TRÓJKĄCIE SFERYCZNYM – iloczyn sinusa
boku i sinusa odpowiadającej mu wysokości jest wielkością stałą.

WZORY NA SINUSA KĄTA POŁÓWKOWEGO

2

2

wyprowadzenie wzorów:

cos

cos cos sin sin cos

cos cos cos

cos

sin sin

cos cos cos

1 cos

1

sin sin

sin sin cos cos cos

2sin

2

sin sin

cos(

) cos

2sin

różnica cosi

2

sin sin

a

b

c

b

c

A

a

b

c

A

b

c

a

b

c

A

b

c

b

c

b

c

a

A

b

c

b c

a

A

b

c

=

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

−

= −

⋅

⋅

+

⋅

−

=

⋅

− −

=

←

⋅

(

) (

)

2

nusów

sin

sin

2

2

sin

2

sin sin

wprowadzam oznaczenia

2
2

2

2

2

2

2

WZORY

sin(

) sin(

)

sin

2

sin sin

sin(

) sin(

sin

2

a b c

a b c

A

b

c

a b c

p

a b c

a b c

p

c

p c

a b c

a b c

p

b

p b

p b

p c

A

b

c

p a

p

B

+ −

− +

⋅

=

⋅

+ + =

+ −

+ − =

−

⇒

= −

+ +

− + =

−

⇒

= −

− ⋅

−

=

⋅

− ⋅

−

=

)

sin sin

sin(

) sin(

)

sin

2

sin sin

c

a

c

p a

p b

C

a

b

⋅

− ⋅

−

=

⋅

WZORY NA COSINUSA KĄTA POŁÓWKOWEGO

2

2

wyprowadzenie wzorów:

cos

cos cos sin sin cos

cos cos cos

cos

sin sin

cos cos cos

1 cos

1

sin sin

sin sin cos cos cos

2cos

2

sin sin

cos cos(

)

2cos

różnica cosi

2

sin sin

a

b

c

b

c

A

a

b

c

A

b

c

a

b

c

A

b

c

b

c

b

c

a

A

b

c

a

b c

A

b

c

=

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

+

= +

⋅

⋅

−

⋅

+

=

⋅

−

+

=

←

⋅

(

) (

)

2

nusów

sin

sin

2

2

cos

2

sin sin

wprowadzam oznaczenia

2
2

2

2

WZORY

cos

cos

sin sin(

)

2

sin sin

sin sin(

)

2

sin sin

sin sin(

)

sin

2

sin sin

a b c

b c a

A

b

c

a b c

p

b c a

b c a

p

a

p a

p

p a

A

b

c

p

p b

B

a

c

p

p c

C

a

b

+ +

+ −

⋅

=

⋅

+ + =

+ −

+ − =

−

⇒

= −

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

⋅

⋅

−

=

⋅

WZORY NA TANGENSA KĄTA POŁÓWKOWEGO

wyprowadzenie wzorów:
z wydzielenia wzorów sinusowych przez cosinusowe

otrzymujemy wzory na tangens

WZORY

sin(

) sin(

)

2

sin sin(

)

sin(

) sin(

)

2

sin sin(

)

sin(

) sin(

)

2

sin

tg

tg

tg

p b

p c

A

p

p a

p a

p c

B

p

p b

p a

p b

C

p

− ⋅

−

=

⋅

−

− ⋅

−

=

⋅

−

− ⋅

−

=

sin(

)

p c

⋅

−

WZORY Delambre’a i Nepera

cos

cos

2

2

sin

cos cos

sin

2

2

2

2

cos

cos

2

2

sin

sin

2

2

sin

cos cos

cos

2

2

2

2

sin

sin

2

2

cos

2

2

2

cos

2

a b

a b

C

C

A B

A B

c

c

a b

a b

C

C

A B

A B

c

c

a b

C

A B

tg

ctg

a b

−

+

+

+

=

=

−

+

−

−

=

=

−

+ =

+

sin

2

2

2

sin

2

cos

sin

2

2

2

2

2

2

cos

sin

2

2

a b

C

A B

tg

ctg

a b

A B

A B

a b

C

a b

C

tg

tg

tg

tg

A B

A B

−

− =

+

−

−

+

−

=

=

+

+

POLE POWIERZCHNI TRÓJKĄTA SFERYCZNEGO

1. Tw.pomocnicze dotyczące pola powierzchni dwukątna sferycznego

2

2

360

4

90

p

S

R

R

S p

π

π

°

=

°

= °⋅

°

2. Pole powierzchni trójkąta sferycznego (w oparciu o dwukąt)

' 180

' 180

' 180

' 180

'

' AC'=CA'

BC CB

CA AC

CB BC

AC CA

CB BC

+

=

°

+

=

°

+

=

°

+

=

°

⇓

⇓

=

1

2

3

2

1

2

2

kąty wierzchołkowe C=C'

' '

'

oznaczam powierzchnię dwukątów:

'

;

'

;

'

' '

90

'

A B C

ABC

ACBC S

ABA C S

ABCB S

C

S

ABC

A B C

R

S

ABC

A CB

R

π

π

⇓

∆

=∆

=

=

=

°

= ∆

+ ∆

=

⋅

°

= ∆

+ ∆

=

⋅

2

2

3

2

1

2

3

razem dają powierzchnię półkuli 2

90

'

90

2

' '

'

'

90

R

A

B

S

ABC

ACB

R

R

S S

S

ABC

ABC

A B C

A CB

ACB

π

π

π

=

°

°

°

= ∆

+ ∆

=

⋅

°

+−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

+ +

= ⋅∆

+∆

+∆

+∆

+∆

=

14444442444444

3

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

90

2

180

90

POLE POWIERZCHNI TRÓJKĄTA SFERYCZNEGO

2

2

S=

180

A

B

C

R

ABC

A

B

C

R

R

ABC

A

B

C

R

S

R

π

π

π

ε

π

ε

ε

ρ

°+ °+ °

°

⋅∆

=

°+ °+ ° −

°

⋅∆

=

°+ °+ °−

° ← °

°

°

=

⋅ °

⋅

°

°

WZORY NA NADMIAR W TRÓJKĄCIE SFERYCZNYM

w zależności od boków (nie zawsze mamy dane kąty)
wychodzimy ze wzoru Delambr'a

sin

cos

180

2

2 cos

sin

2

2

cos

cos

2

2

180

sin

sin

cos

cos

2

2

2

2

180

sin

sin

cos

cos

2

2

2

2

1

2 cos

4

a b

A B

C

C

C

c

C

a b

c

A B

C

a b

c

A B

A

−

+

°−

=

=

°−

−

+ −

−

=

°−

−

+ +

+

⋅

+

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

180 sin

180

2 sin

sin

4

4

4

1

1

1

1

2 sin

180 cos

180

2 cos

cos

4

4

4

4

1

1

1

1

180

4

4

4

4

oznaczam

180

180 2

360

2

360

B C

A B C

a b c

a b c

A B C

A B C

a b c

a b c

ctg

A B C

tg

tg

a b c tg

a b c

A B C

A B C

C

C

a b c

ε

ε

− +

° ⋅

+ + −

°

− ⋅

− + ⋅

− −

=

⋅

+ − +

° ⋅

+ + −

°

⋅

− + ⋅

− −

+ − +

° ⋅

°=−

− + ⋅

− −

+ − +

°= + + −

°−

+

°= −

+

°

− +

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

1

1

1

1

2

I

4

4

2

2

wychodząc z innego wzoru Delambre'a na cos

otrrzymamy

2

1

1

1

1

2

II

4

4

2

2

mnożąc I II

2

1.

4

2

p b

a b c

p b

tg

C

tg

tg

p b tg

p a

A B

ctg

C

tg

tg p tg

p c

p

p

tg

tg

tg

ε

ε

ε

ε

ε

=

−

− − =−

−



− ⋅

=

− ⋅

−





+







− ⋅

=

⋅

−



⋅

−

=

⋅

2

wzór ścisły Luillera na nadmiar

można nim obliczać dowolnie duże trójkąty
WYPROWADZENIE WZORU NA R KULI

4

2

2

2

2

jeżeli boki trójkąta są małe w stosunku

2

2

2

p

p a

p b

p c

tg

tg

tg

tg

tg

R

R

R

R

a

p b

p c

tg

tg

ε

−

−

−

=

⋅

⋅

⋅

−

−

⋅

⋅

2

4

4

do promienia R, tg

tangensy zastępujemy samymi miarami boków w mierze łukowej

(

)(

)(

)

4

2

z odwrócenia wzoru na pole trójkąta sferycznego

"

2. "

(

)(

)(

)

2

S

3. =

2

x x

p p a p b p c

R

p p a p b p c

R

R

ε

ρ

ε

ε

ρ

≈

−

−

−

=

⋅

=

⋅

−

−

−

⋅ °

KARTOGRAFIA MATEMATYCZNA

ODWZOROWANIA KARTOGRAFICZNE

Przedstawienie powierzchni regularnych na płaszczyźnie jest przedmiotem kartografii
matematycznej.

KARTOGRAFIA KULI – jaki promień kuli?

1. Kula o objętości takiej samej jak objętość elipsoidy obrotowej

3

1

6370283 m (elipsoida Bessela)

R

a a b

=

⋅ ⋅ =

2. Kula o powierzchni równej powierzchni elipsoidy obrotowej

2

2

2

2

6370289 m (elipsoida Bessela)

3

a

b

R

+

=

=

3. Promień średni arytmetyczny

(

)

3

1

6370291 m (elipsoida Bessela)

3

R

a a b

=

+ + =

6370,3 km w skali 1: 40 mln

(21,3 km 0,5 mm)

w skali 1: 25000

(21,3 km 84 cm)

R

a b

a b

=

− ≈

−

− ≈

−

ODWZOROWANIEM KARTOGRAFICZNYM – nazywamy takie przedstawienie jednej
powierzchni matematycznej na drugiej, (ponieważ na płaszczyźnie), w którym głównym
warunkiem jest, aby każdemu punktowi oryginału odpowiadał jeden i tylko jeden punkt
obszaru, jak również każdemu punktowi obrazu odpowiadał jeden i tylko jeden punkt
oryginału.

(

)

(

)

1

2

,

,

x f

y f

ϕ λ

ϕ λ

=

=

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH NA KULI

(

)

(

)

(

)

90 90

,

współrzędne geograficzne

180 180

cos cos

cos sin

, ,

współrzędne prostokątne przestrzenne

sin

0 360

,

współrz

90 90

x R

y R

x y z

z R

p

p q

q

ϕ

ϕ λ

λ

ϕ

λ

ϕ

λ

ϕ

−

° ≤

≤

° 

−



−

° ≤

≤

°

=





=

−





=



° ≤

≤

° 

−



−

° ≤

≤

°

ę

dne sferyczne

(

) (

)

(

)

(

)

0

0

0

0

0

0

nowy biegun

, ;

,

0 360 -azymut
0 180 -odległość sferyczna

Związek między współrzędnymi azymutalnymi

i geograficznymi

cos

sin sin

cos cos cos

cos sin

sin

sin

M

M

P

ϕ λ

ϕ λ

α

δ

δ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

λ λ

ϕ

λ λ

α

δ

−

°≤

≤

°

°≤

≤

°

=

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

−

=

TEORIA ZNIEKSZTAŁCEŃ

PIERWSZE TWIERDZENIE TISSOTA

Przy dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni regularnej na drugą musi
istnieć przynajmniej jedna siatka linii przecinających się pod kątem prostym, która
odwzorowuje się na drugiej powierzchni również jako siatka linii przecinających się pod
kątem prostym

ODWZOROWANIE REGULARNE – takie, w którym funkcje

(

)

(

)

1

2

,

,

x f

y f

ϕ λ

ϕ λ

=

=

Przynajmniej w pewnym zwartym obszarze kuli lub elipsoidy spełniają następujące warunki:

1. funkcje x i y mają ciągłe pochodne cząstkowe przynajmniej 2 rzędu
2. funkcje x i y są niezależne

Warunek 1. żąda aby obraz kuli nie miał przerw ani gwałtownych zagięć
Warunek 2. wyklucza wszystkie oddziaływania zdegenerowane tzn. takie, w których obrazem
punktu nie jest inny punkt tylko linia lub obszar.

DOWÓD GEOMETRYCZNY (Tissota)

1 2

,

90

,

przecinają się pod kątem prostym

l l

α β

→

°

→

' kąt ostry

' kąt rozwarty

β

β

α

α

→

→

Układ ABCD obracamy o 90° naokoło punktu P tak, że kąt β przejdzie w położenie BPC.
W odwzorowaniu kąt β’ przejdzie na kąt α’, zmieni się z ostrego na rozwarty. Ponieważ
założona była ciągłość odwzorowania, dlatego musi istnieć takie położenie układu (np.
A

1

,B

1

,C

1,

D

1

), któremu w odwzorowaniu odpowie układ prostokątny A

1

’,B

1

’,C

1

’

,

D

1

’

Kierunki wzajemnie prostopadłe nazywamy w kartografii KIERUNKAMI GŁÓWNYMI. Na
kuli jest to układ południków i równoleżników.

SKALE I ZNIEKSZTAŁCENIA ODWZOROWAWCZE

'

' skala liniowa

skal pól

dp

ds

k

p

ds

dp

=

=

ZNIEKSZTAŁCENIE – jest różnicą między skalą a jednością

'

1

-zniekształcenie liniowe

'

1

-zniekształcenie pól

i

p

ds ds

z k

ds

dp dp

z

p

dp

−

= − =

−

= − =

SKALE W KIERUNKACH GŁÓWNYCH

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2

,

,

',

' kierunki główne

, skale w kierunkach głównych

'

'

'

'

'

'

'

'

OX OY OX OY

m n

r

x

y

x mx

y ny

r

mx

ny

y

x

m

n

x

y

−

−

=

+

=

=

=

+

=

=

SKALA W DOWOLNYM KIERUNKU

( )

2

2

2

2

'

2

2

2

2

cos

sin

y

x

r

k

m

n

r

r

r

k

m

n

β

β

β

β

 

= =

+  

 

=

+

DRUGIE TWIERDZENIE TISSOTA

( )

( )

2

2

2

2

Równanie elipsy w układzie ( ', ') będzie

'

'

1

dla

oraz

oraz jednostkowego promienia 1

'

'

1

x y

y

x
a

b

a mr

b nr

r

y

a m

x

b n

m

n

 

+

=

 

 

=

=

=

 

=

+

=

 

=

 

Obszarem graficznym zniekształceń w punkcie jest elipsa, której półosie równają się skalą w
kierunkach głównych.

Elipsa ta nosi nazwę elipsy zniekształceń Tissota albo indykatrysy.

Gdy n=m elipsa będzie kołem. Obraz koła w oryginale daje odwzorowanie wiernokątne.

SKALA PÓL

2

2

2

a b

m n r

p

m n

R

R

p mn

π

π

π

π

⋅

⋅ ⋅

=

=

= ⋅

=

MAKSYMALNE ZNIEKSZTAŁCENIE KĄTÓW

Kula (koło o promieniu r)

płaszczyzna (elipsa)

'

'

'

'

'

'

'

'

'

sin 'cos

sin cos '

sin 'cos

sin cos '

sin( '

)

sin( '

)

sin( '

)

sin( '

)

'

y

y

y n y

tg

tg

x m x

x

x

m

tg

tg

n

tg

tg

tg

n

n m

tg

m

tg

tg

n m

n m
n m

n m
n m

n m
n m

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β β
β β

β β

β β

α

= ⋅

=

=

= ⋅

= ⋅

−

−

=

⇒

=

+

+

−

−

=

+

+

−

−

=

+

+

−

−

=

⋅

+

+

−

180 2 ' (180 2 )

'

( '

)

2

'

sin

sin( '

)

2

'

dla ( '

) 90 ozn.

max

2

2

sinus maksymalnego zniekształcenia kątów

'

sin

sin( '

)

2

sin max

2

n m
n m

m n

m n

m n

m n

α

β

β

α α

β β

α α

β β

α α ω

β β

α α

β β

ω

=

°−

−

°−

−

−

−

=

−

−

=−

⋅

+

+

−

−

=

°

=

−

−

=

⋅

+

+

−

= +

ZASADNICZE WŁAŚCIWOŚCI ODWZOROWAŃ

KARTOGRAFICZNYCH

ODWZOROWANIE WIERNOKĄTNE (równokątne, kątforemne)

1. gdy

to sin

0 =0

'

2

m n

ω

ω

α α

=

=

⇒

=

ODWZOROWANIE WIERNOPOLOWE (równopolowe)

2. gdy

1 skala pól

p m n

= ⋅ =

ODWZOROWANIE WIERNOODLEGŁOŚCIOWE (równoodległościowe, pośrednie)

3. gdy

1 1 wzdłuż południków

1 1 wzdłuż równoleżników

m

n

m

n

=

∧

≠

→

≠

∧

=

→

Pośrednie – nazwa pochodzi stąd, że zniekształcenia kątów są tutaj mniejsze niż w
odwzorowaniu wiernopolowym, a zniekształcenia pól mniejsze niż w wiernokątnym.

RODZAJE ODWZOROWAŃ KARTOGRAFICZNYCH

PŁASZCZYZNOWE















WALCOWE














STOŻKOWE

ODWZOROWANIE PŁASZCZYZNOWE

(w położeniu normalnym)

Siatka geograficzna

(

)

,

P

ϕ λ

=

Siatka kartograficzna

(

)

'

,

P

x y

=

( ) promień równoleżnika w odwzorowaniu

' długość geograficzna bez zmian

cos y

sin

BP

f y

x

ρ

λ λ

ρ

λ

ρ

λ

= =

−

=

= ⋅

= ⋅

SKALE W KIERUNKACH GŁÓWNYCH

2

1

2

2

1

2

1

cos

' '

dodatniemu przyrostowi po d

toważyszy skrócenie o d

' '

' '

cos

cos

PP Rd

PP R

d

P P

d

P P

P P

d

d

m

n

PP

Rd

PP

R

d

R

ϕ

ϕ λ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ρ

ρ

ρ λ

ρ

ϕ

ϕ λ

ϕ

=

=

=−

←

−

=

=

=

=

=

A.

Odwzorowania płaszczyznowe perspektywiczne

1.

Odwz. gnomoniczne (środek rzutu w środku kuli)

2

3

1

sin

cos

cos

1

sin

1 sin

sin

2

1 sin

1

2

sin

1

sin

3

cos

Rctg

R

d

d

Rd

Rd

Rctg

R

R

m n

m n
m n

m

n

p

ec

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=





−

−

⋅





−





=

=

=

=

=

=

= ⋅ =

=

−

−

=

=

+

+

2.

Oddz.. stereograficzne (środek rzutu w przeciwległym biegunie)

3.

Odwz. ortograficzne (środek rzutu w nieskończoności)

(

)

cos

sin

cos

cos

cos

sin 1

sin

2

sin

1

sin

1

sin

R

R

d

d

Rd

Rd

R

R

R

m n

m n
m n

m

n

p

ρ

ϕ

ϕ ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

=

− −

⋅

−

=

=

=

=

=

=

= ⋅ =

−

−

=

=

+

+

B.

Odwzorowania płaszczyznowe nieperspektywiczne

4.

Rzut pośredni Postela

( )

2

90

2

2

1

1

2

2

90

cos

2

90

sin

2

2

90

90

2

cos

2

2

cos

90

90

90

sin2

sin

cos

2

2

2

1

90

2

cos

2

1

90

2

cos

2

1

c

Rtg

R

d

d

Rd

Rd

R

Rtg

R

R

R

m n

m

n

p

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

°−

=

−

− ⋅

°−









−





=

=

=













°−













°−

°−

























=

=

=

=

°−

°−

°−

















































= ⋅ =

°−

°−

sin

0

2

90

4

os

2

ω

ϕ













=

°−

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

90

90

cos

cos

sin 90

90

sin

2

sin 90

90

1

90

sin 90

90

sin 90

m

Rarc

R

d

d

Rd

Rd

Rarc

R

R

m n

arc

m n
m n

arc

m

arc

n

arc

p

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

°−

− ⋅ −

−

=

=

=

°−

=

=

=

= ⋅ =

°− −

°−

−

=

=

+

°− +

°−

°−

°−

°−

°−

5.

Odwz. płaszczyznowe wiernopolowe Lamberta

(

)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 warunek wiernopolowości

1

cos

cos

sin

2

2 sin

Podstawiam biegun (

90 ,

0 )

0

2 sin90

2

2

1 sin

90

4

sin

2

90

2 sin

2

m n

d

Rd

R

d

R

d

R

C

R

C

R

C

C

R

R

R

R

d

Rd

m

ρ

ρ

ϕ

ϕ

ρ ρ

ϕ ϕ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

ρ

ϕ

⋅ =

−

⋅

=

⋅

=−

=−

+

=−

+

=

° = °

=−

°+

=

=

−

°−





=









°−





=









−

=

=

∫

( )

2

2

90

1

2 cos

2

2

90

90

2 sin

2 sin

2

2

cos

90

90

90

sin2

2 sin

cos

2

2

2

90

cos

1

2

sin

2

90

cos

90

cos

2

1

90

cos

2

1

R

d

Rd

R

R

R

R

R

m n

m n
m n

n

p

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

°−





−

⋅ −













=









°−

°−

























=

=

=

=

°−

°−

°−





































= ⋅ =

°−





−









−

=

=

+

°−













°−

°−

1

2





+









C.

Odwzorowania pseudoazymutalne

-powstają przez przekształcenie rzutów azymutalnych (płaszczyznowych)

1.

Rzut Aitowa

Podstawą jest rzut pośredni Postula w położeniu transwersalnym jako oś X został przyjęty
obraz równika, rzędne y zostały skrócone do połowy, a południki zagęszczone podwójnie tzn
ponumerowane zamiast od -90 do 90 liczbami podwójnymi od -180 do 180. W ten sposób
obraz półkuli zmienił się w obraz całej kuli. Siatka taka nazywa się PLANISFERĄ AITOWA

2.

Rzut Hammera

Jeżeli za podstawę jako siatkę pierwotną przyjmie się płaszczyznowy rzut wiernopolowy
Lamberta, to postępując z nim w sposób analogiczny jak wyżej, otrzyma się rzut
pseudoazymutalny Hammera dający obraz całej kuli zawarty w jednej elipsie.

ODWZOROWANIE WALCOWE

(w położeniu normalnym)

SKALE W KIERUNKACH GŁÓWNYCH

2

1

2

1

2

2

1

1

cos

' '

' '

' '

' '

1

cos

cos

PP Rd

PP R

d

P P

dx

P P dy Rd

P P

dx

m

PP

Rd

P P

Rd

n

PP

R

d

ϕ

ϕ λ

λ

ϕ

λ

ϕ λ

ϕ

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

A.

Odwzorowania walcowe normalne

1.

Karta kwadratów

dla

kwadraty

cos 1

sin

2

cos 1

1

1

cos

1

cos

x Rarc

y Rarc

Rd

dx

Rd

Rd

m n

m n
m n

m

n

p

ϕ

ϕ

λ

λ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

=

∆ =∆

→

=

=

=

=

=

= ⋅ =

−

−

=

=

+

+

Wady: Rosną zniekształcenia w miarę oddalania się od równika

2.

Odwz. walcowe wiernopolowe Lamberta

2

2

1

1

1

cos

cos

/

sin

Podstawiamy równik (

0 , 0)

0

sin0

0

sin

cos

cos

1

sin

2

cos

1

cos

1

cos

1

m n

dx

Rd

dx R

d

x R

C

x

R

C

C

x R

R

d

dx

Rd

Rd

m n

m n
m n

m

n

p

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

⋅ =

⋅

=

=

=

+

= °

=

=

°+

=

=

=

=

=

=

= ⋅ =

−

−

=

=

+

+

∫

3.

Odwz. walcowe wiernokątne Mercatora (1569)

warunek

1

cos

/

cos

ln

45

2

Podstawiamy równik (

0 , 0)

0

ln 45

0

ln

45

2

cos

2

sin

0

2

1

cos

1

cos

1

cos

m n

dx

Rd

Rd

dx

x R tg

C

x

R tg

C

C

x R tg

d

R

dx

Rd

Rd

m n

m n
m n

m

n

p

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=





=

°+

+









= °

=

=

+

=





=

°+









=

=

=

=

= ⋅ =

−

=

=

+

∫

Własności: Obrazem loksodromy (krzywej przecinającej na kuli południki pod stałym kątem),
jest tutaj linia prosta przecinająca prostoliniowe obrazy południków pod tym samym kątem co
na kuli.

B.

Odwzorowanie walcowe poprzeczne (transwersalne) Cassini-Soldner (dla kuli)

1.

rzut walcowy poprzeczny wiernopolowy

( )

3

2

sin

6

x

y f

R

y

R

R

η

η

ξ

η

η

=

=

=

⇒

≅ −

2.

rzut walcowy poprzeczny wiernokątny

3

2

ln

4 2

6

x

y R tg

y

R

R

η

η

π

ξ

η





=

=

+

⇒

≅ +









3.

rzut walcowy poprzeczny wiernoodległościowy

x

y

ξ

η

=

=

współrzędne punktu P(

x

y

ξ

η

=

= )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

0

0

0

'

90

' '

90

1

1

sin

1

sin

sin 1

sin

2

sin 1

związek między , , a , wznika y

cos

cos 90

cos90 sin 90

sin90 cos 90

cos

cos sin

osta

x OP

Rarc

y P P

Rarch Rarc

z

m

n

z

p m n

z

m n

z

m n

z

h z

BPG

z

z

α

ω

α

λ ϕ

ϕ

ϕ

λ λ

ϕ

λ λ

=

=

°+

=

=

=

°−

=

=

= ⋅ =

−

−

=

=

+

+





=

°+

°+

°+

°

°− −





=

−

(

)

(

)

0

0

2

2

2

2

2

2

tecznie

cos

arcsin cos sin

dla wąskich pasów południkowych można nieco uprościć wzory

1

cos

sec

sec

1

2

''

2 sin1'' 2

''

x Rarcctg ctg

y R

m

y

y

n

ecz

h

R

R

y

y

R

R

ϕ

λ λ

ϕ

λ λ

ω

ρ





=

−









=

−





=

=

=

=

= +

=−

=

Odwzorowanie takie używane było do map katastralnych w Austrii (XVIII, XIX, XX w)

1. Kościół św. Stefana Wiedeń
2. Kopiec Unii Lubelskiej Lwów

Mapy opierały się na południkach przechodzących przez te punkty

przybliżone zniekształcenia

odległość od

południka

ś

rodkowego

m

n=p

na 1 km

długosci

na 1 km2

powierzchni

kąta

0

1

1,0000

0cm

0m2

0''

50

1

1,00003

3cm

30m2

6''

100

1

1,00012

12cm

123m2

2,5''

200

1

1,00049

49cm

492m2

1'48''

300

1

1,00111

111cm

1107m2

3'46''

325

1

1,0013

130cm

1302m2

4'28''

C.

Odwzorowania pseudowalcowe

1.

Odwz. Sansona-Flamsteeda (rzut sinusoidalny)

cos

jest funkcją dwóch zmiennych

dlatego odwz. pseudowalcowe

x Rarc

y R

arc

y

ϕ

ϕ

λ

=

=

−

2.

Odwz. Mollweidego (odwz. wiernopolowe)

Założenia: a. obraz półkuli – koło
b. obraz kuli – elipsa
c. obrazy południków elipsy

2

2

1

1

2

1 2

2

2

2

1

2

2

Ad.a.

2

2

Ad.b.

4

4

/ 2

2

2

2/ 2

2

Ad.c.

2

2

4

2

2

2

2

n

n

r

R

r R

rr

R

R

r

R

R

r

r

r

R

r

R

R

R

r

R

π

π

π

π

π

π

λ

π

λ

λ

π

π

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Obrazy równoleżników są prostymi równoległymi do obrazu równika i przebiegają w

odległości

( )

2

2 cos ' '

R

x

f

λ

ϕ

ϕ

ϕ

π

⋅

=

=

ODWZOROWANIE STOŻKOWE

Obrazy południków jako pęk prostych, kąty między nimi są mniejsze niż te, które znajdują się
na kuli.
Obrazy równoleżników to koła współśrodkowe.

( )

1

'

'( , ') =

' stała odwzorowania stożkowego -

cos '

sin '

wyznaczenie stałej

'

P

f

WP

c

c

x

y

c

AD

AD

A

AO

AW

λ

ρ λ

ρ

ϕ

λ

ρ

λ

ρ

λ

λ

λ

=

=

=

=

=

=

1

0

0

=

sin

'=

sin

sin

dyskusja stałej 0

1

. 0 sin

0

0 (q=0) odwz. walcowe

. 1 si

sin 0

O AW

q

AD

AW

q

AD

AW

q

c

c

I

c

II

c

c

λ

λ

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

≤ ≤

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

⇒

0

0

n

1

90 (q=90 ) odwz. płaszczyznowe

WNIOSEK: odwzorowania stożkowe są najogólniejsze ponieważ zawierają w skrajnych

przypadkach zarówno odwz. walcowe jak i odwz. płaszcz

ϕ

ϕ

=

⇒

=

°

°

⇒

yznowe.

SKALE W KIERUNKACH GŁÓWNYCH

2

1

2

1

2

2

1

1

cos

' '

' '

'

'

'

' '

' '

'

cos

cos

PP Rd

PP R

d

P P

d

P P

d

c

d

c d

P P

d

m

PP

Rd

P P

d

c d

n

PP

R

d

R

d

ϕ

ϕ λ

ρ

ρ λ

λ

λ

λ

λ

ρ

ϕ

ρ λ

ρ λ

ϕ λ

ϕ

=

=

=−

=

= ⋅
= ⋅

−

=

=

=

=

=

cos

c

R

ρ

λ

ϕ

⋅

=

A.

Odwzorowania stożkowe normalne

1.

Odwz. stożkowe wiernokątne Lamberta-Gaussa

warunek

cos

/

cos

ln

ln

45

ln

2

45

2

Podstawiamy równik (

0 ) ,

stała jest promieniem koła przedstawiającego równik

45

2

założ

c

a

c

a

m n

d

c

Rd

d

cd

c tg

K

K tg

K

K

tg

ρ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ρ ρ

=

−

=

−

=





=

°−

+













= ⋅

°−









= °

=





= ⋅

°−









∫

enie: stożek styczny w

dla

,

45

2

45

2

popodstawieniu do wzoru na

45

cos

cos

sin

45

2

45

2

o

o

o

c

o

a

o

a

c

o

Rctg

tg

Rctg

tg

tg

o

m n

o

tg

Rctg o

o

tg

ϕ

ρ ρ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ρ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

=

=





= ⋅

°−









=





°−





























































= =

°−

=

°−

( )

2

sin

2

45

2

1

dla

-małe

1

2

o

o

o

tg

m n

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ









°−

























°−

















− =∆

= = + ∆

2.

Odwz. stożkowe wiernopolowe Lamberta

}

2

2

2

2

90

-odlegołość biegunowa

wtedy

sin

warunek wiernopolowości

1

1

sin

sin

/

1

cos

2

2

2

cos

pod pier

p

d

m

dp

d

dp

d

dp

c

n

R

p

m n

d

c

Rdp R

p

d

c

R

pdp

c

R

p C

C

R

p

c

c

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ

=

°−

=

=−

=−

=

⋅ =

⋅

=

⋅

=

⋅

=−

+

−

=

+

∫

(

)

2

1

2

2

2

ozn.

2

2

2

1

1

1

2

w. dodaje i odejmuje

2

2

2

1 cos

4

sin

2

Podstawiamy biegun (p 0 )

stała jest promieniem koła oznaczająca biegun

gdy założymy, że obraz bi

2

2

2

4

sin

2

C

b

R
c

C

R

R

p

c

c

c

p

R

C

c

C

C

p

R

c

b

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

=

−

+

−

=

+

= °

=

=

+

1

424

3

2

eguna leży w punkcie W to

sin

2

0 oraz

2

b

p

R

c

ρ

ρ

=

=

3.

Odwz. stożkowe wiernopolowe Alberta

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

założenie:

1

1

1

1

sin

sin

sin

sin

ponieważ

n

n

c

c

R

p

R

p

R

p

R

p

c

c

ρ

ρ

ρ

ρ

=

∧

=

=

∧

=

=

∧

=

(

)

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

odwzorownie musi pozostac wiernopolowym zachodzą związki:

sin

4 sin

2

sin

4

sin

2

1 cos cos

cos

sin

2

2

2

2 sin sin

2

2

Dowolny równoleżnik:

2

2 4

b

b

b

R

p

p

R

c

c

R

p

p

R

c

c

p

p

p

p

c

p

p

p

p

R

c

R

c

b

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ



=

+









=

+



−

+

=

+

=

=

=

+

2

sin

2

p

4.

Odwz. stożkowe pośrednie Ptolemeusza

(

)

(

)

(

)

warunek:

1

1

/

dla

,

inny wzór na

90

cos

1

cos

sin

(

)

cos

o

o

o

o

o

o

b

m

d

Rd

d

Rd

Rarc

C

Rctg

Rarc

C

C Rctg

Rarc

Rarc

Rd

d

Rd

Rd

c

R

p

Rctg

Rarc

o

o

m

arc

o

o

o

n

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ρ ρ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ρ ρ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

=

−

=

=−

=−

+

=

=

=−

+

=

+

=

+

°−

− −

−

=

=

=

=

=

=

∫

=

+

−

+

−

( )

( ) (

)

2

2

cos

cos

sin

(

)

sin

2

cos

cos

sin

(

)

dla

-małe

1

1

1

sin

1

2

2 4

o

o

o

o

o

o

o

o

m n n

arc

m n
m n

arc

p n

tg

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

⋅ =

−

+

−

−

=

=

+

+

+

−

− =∆

= = + ∆

=

∆

+∆

5.

Odwz. Delisle’a – modyfikacja odwz. Ptolemeusza m=1

Dodatkowo dwarównoleżniki odwzorowane wiernie

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

cos

cos

1

90

2 równania

cos

2 niewiadome

cos

cos

,

1

90

cos

90

cos

90

cos

cos

2

1

1

2

2 1

b

b

b

c

R

R

Rarc

R

c

c

c

R

R

c

Rarc

R

c

c

c

R

b

arc

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ρ

ρ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ ϕ



=

⇒

=

⇒

=

+

°−







=

⇒

=

⇒

=

+

°−



°−

−

°

−

=

=

−

(

)

(

)

(

)

(

)

Promień dowolny równoleżnika

90

cos

90

cos

2

1

1

2

90

cos

cos

2

1

cos

1

2

cos

cos

2

1

R

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ





°−

−

°−





=

+

°−





−









−

−

6.

Odwzorowanie Tissota – modyfikacja odwz. Ptolemeusza

(

)

(

)

{

ozn. s

3

modyfikacja

Tissota

-odwz. Ptolemeusza

1

6

Rctg

Rarc

o

o

Rctg

Rarc

o

o

Rctg

s

s

o

ρ

ϕ

ϕ ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ρ

ϕ

=

+

−

=

−

−

=

− −

14243

wzór otrzymany drogą badania zniekształceń

B.

Odwzorowania Pseudostożkowe

1.

Rzut stożkowy zwykły zmodyfikowany – modyfikacja odwzorowania

Ptolemeusza

φ

1,

φ

2

odtwarza się wiernie i dzieli się na równe części jak na kuli. Aby uzyskać obrazy kuli

łączymy punkty podziału. Proste będące obrazami południków nie zejdą się w jednym
punkcie.

2.

Rzut Bonne’a – modyfikacja odwzorowania

Rezygnujemy z prostoliniowości obrazów południków żądając, aby wszystkie równoleżniki
były odwzorowane wiernie i podzielone tak jak na kuli. Promienie równoleżników
otrzymamy ze wzoru:

(

)

{

}

R ctg

Rarc

o

o

ρ

ϕ

ϕ ϕ

=

+

−

Obrazem bieguna jest jeden punkt, niepokrywający się ze środkiem kół obrazów
równoleżników. Mamy tylko jedną prostą – południk środkowy. Ważna własność to
wiernopolowość.

(

)

{

}

dla

0

rzut pseudowalcowy

Sansona - Flamsteeda

dla

90

rzut Wernera (Staba)

o

R ctg

Rarc

o

o

o

ϕ

ρ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

= °⇒

=

+

−

⇒

=

°⇒

3.

Wielostożkowy rzut amerykański

Rzut ten otrzymuje się przyjmując dla każdego równoleżnika osobny stożek styczny i
rozwijając ten równoleżnik wiernie na płaszczyźnie.

{

}

2

'

sin '

, '

sin '

'

2

sin

2

Rctg

c

x Rctg

y R

ctg

ρ

ϕ

λ λ

ϕ

λ

λ

ρ λ

ϕ

λ

λ

ϕ

ϕ

=

=

=

=





=

+









powstała siatka nie jest ortogonalna, ale jest wierny podział. To odwzorowanie przy pewnych
modyfikacjach jest podstawą do tworzenia siatki w Międzynarodowej Mapie Świata w skali
1 : 000 000

4.

Wielostożkowy rzut angielski

Wprowadzono pewne modyfikacje i otrzymano obray południków i równoleżników
przecinających się pod kątem prostym.

KARTOGRAFIA ELIPSOIDY OBROTOWEJ

Odwzorowanie elipsoidy na płaszczyznę może być dokonane dwiema drogami:

1. Poprzez modyfikację poszczególnych wzorów
2. Przy zastosowaniu odwzorowań podwójnych (dwuetapowych), gdzie w

pierwszym etapie elipsoidę odwzorowujemy na kulę, a następnie obraz kuli
przenosimy na płaszczyznę poznanymi już metodami.

2

2

3

2

2

2

1

KULA ELIPSOIDA

(1

)

Łuk południka

(1

sin )

Łuk równoleżnika

B

B

a

e

s R

s

dB

e

B

p r

ϕ

λ

−

= ⋅∆

=

−

= ⋅∆

∫

1

2

2

2

2

2

2

cos

(1

sin )

a

B

p

L

e

B

a

b

e

a

=

∆

−

−

=

Odwzorowując kulę na elipsoidę mamy pięć możliwości:

1. Rzut środkowy elipsoidy na kulę
2. Rzut elipsoidy na kulę przy pomocy szerokości zredukowanych
3. Rzut wiernopolowy elipsoidy na kulę
4. Wiernokątny rzut Lagrange’a elipsoidy na kulę
5. Wiernokątny rzut Gaussa

1.

Odwz. Mufflinga

Jest to odwz. elipsoidy na wielościan nierozkładalny na płaszczyznę w sposób ciągły. Każdy
arkusz odpowiada czworobokowi sferycznemu na kuli a sferoidalnemu na elipsoidzie.
Ograniczony jest dwoma łukami odpowiednio dobranych południków i dwoma łukami
równoleżników.

Każdy z tych czworoboków będących trapezami sferoidalnymi odwzorowuje się na
płaszczyznę przechodzącą przez jego cztery wierzchołki (wielościan wpisany w elipsoidę) lub
styczną w środku (wielościan opisany na elipsoidzie).
Obrazem trapezu sferoidalnego będzie trapez płaski ograniczony dwoma prostoliniowymi
obrazami południków i dwoma krzywoliniowymi obrazami równoleżników.
Długości boków można otrzymać ze wzorów abo tablic.

2.

Odwz. Roussilhe’a = quasistereograficzne odwz. WIG

Jest wiernokątnym odwzorowaniem elipsoidy na płaszczyznę, odpowiada ono ukośnemu
odwz. stereograficznemu kuli o promieniu

o

o

R

M N

=

⋅

Mo, No – promień krzywizny głównych przekrojów elipsoidy obrotowej

W latach 1927-1930 w Polsce prof. L. Grabowski, przystosował to odwz. dla naszego kraju
przyjmując punkt główny

52

22

o

o

ϕ

λ

=

°

=

° , zmniejszono wymiary elipsoidy Bessela o

1 : 2000, co odpowiada odwz. na płaszczyznę sieczną.









Wewnątrz tego koła obraz ulegnie skurczeniu a na zewnątrz rozciągnięciu. Zniekształcenia w
tym odwz. są małe (2x mniejsze niż w walcowym, poprzecznym Gaussa i Lamberta – Gaussa)
Siatka kartograficzna przedstawi się jako zespół sieci krzywych bardzo zbliżonych do łuków
kół.

ROZPOZNAWANIE SIATEK

1.

Odszukać linie proste i zorientować się w ich ułożeniu

2.

Sprawdzamy gdzie znajdują się łuki kół a gdzie innych krzywych (wpisując cięciwy

równych długości)

3.

Badamy kształt południków (prostolinijne, krzywolinijne), równoleżników (odstępy

między nimi)

*rosnące odstępy nasuwają przypuszczenie o siatce wiernokątnej
*malejące – wiernopolowej
*równe odstępy – wiernoodległościowej

4.

Badamy bieguny ( punkty, linie)

-W ten sposób gromadzimy jak najwięcej informacji o siatce
-Stawiamy hipoteze
-Ostateczne rozstrzygniecie nie jest jednak do końca PEWNE

Wybór odpowiedniego rzutu

Błąd, dokładność położenia punktu na mapie szczegółowej 0,2mm-0,5mm na mapach
ś

ciennych 5mm. Przy wyborze rzutu kierujemy się następującymi zasadami:

1. Najprostszy rzut będzie zawsze najlepszym pod warunkiem, że zniekształcenia w nim

występujące nie przekroczą założonych wartości

2. Należy też zawsze tak dobierać powierzchnię odwzorowania aby jak najlepiej

przystawała do obszaru, który ma być odwzorowany.

globus 1 : 000 000

A=699,373 mm

pł. Postula (wiernopolowe)

A=699,373 mm

pł. Lamberta (wiernopolowe)

A=699,367 mm

pł. gnomoniczne

A=699,400 mm

pł. stereograficzne (wiernokątne)

A=699,379 mm

Dla obszarów okołorównikowych najlepsze są odwzorowania walcowe

Dla obszarów okołobiegunowych stosuje się odwzorowania płaszczyznowe

Dla obszarów umiarkowanych szerokości najlepiej wybrać odwzorowania stożkowe

Przy wyborze najkorzystniejszego odwzorowania kierujemy się odpowiedziami na dwa
pytania:

Do jakich celów ma służyć dana mapa?
Jaki jest rozmiar i kształt obszaru, który ma być przedstawiony na mapie?

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ODWZOROWANIA

STOSOWANE W POLSCE PO II WOJNIE ŚWIATOWEJ

1.

Układ „Borowa Góra” 1945-1955

-punkt triangulacji, od którego wyznaczano pozostałe
-oparty na elipsoidzie Bessela
-odwzorowanie Gaussa-Krugera (walcowe poprzeczne) w pasach 3

o

(15

o

, 18

o

, 21

o

, 24

o

)

- m

o

=1 południk bez zniekształceń

-zniekształcenia na skraju pasa 3

o

+14cm/km

2.

Układ „1942” 1955-do dziś

-oparty na elipsoidzie Krasowskiego
-punkt przyłożenia Pułków koło St. Petersburga
-odwzorowanie Gaussa-Krugera w dwóch wariantach
a. w strefach 3

o

(15

o

,

18

o

, 21

o

, 24

o

)

b. w strefach 6

o

(15

o

, 21

o

, 27

o

…..)

-zniekształcenia na skraju pasa 6

o

+60 cm/km

-od 1968 tylko dla potrzeb obronności kraju, gdyż okazał się bardzo wiernym ukladnem.

3.

Układ „1965”

-niejednolity: 5 stref odwzorowawczych

Strefy: 1-4 odwz. quasistereograficzne
m=0,9998 koło bez zniekształceń,
zniekształcenia liniowe +/- 25 cm

Strefa 5 odwz. Gaussa-Krugera
m=0,99983

Mankamentem jest trudność sporządzenia jednolitych i pełnowartościowych map na stykach
dwóch, trzech sąsiadujących stref. Dlatego że poszczególne strefy są przesunięte i skręcone.
Na granicach stref są też największe zniekształcenia. Trzeba wykonywać mapy podwójne.

4.

Układy „lokalne”

-stosuje się dla większych miast, ośrodków przemysłowych

5.

”GUGIK 80”

-jednostrefowe odwzorowanie quasistereograficzne
-koło bez zniekształceń 215 km
-elipsoida Krakowskiego
-zniekształcenia w punkcie głównym -0,29 m / km
-zniekształcenia na skraju +0,96m / km

Przykryto całą Polskę mapami w różnych skalach

6.

Układ „1992”

-elipsoida WGS 84 (World Geodetic System)
-odwz. Gaussa-Krugera w jednej strefie L

o

=19

o

południk środkowy

-współczynnik kurczenia na południku m

o

=0,9993

-zniekształcenia na południku środkowym -70 cm / km
-zniekształcenia na skraju strefy +90 cm / km

7.

Układ „2000”

-elipsoida WGS 84
-odwz. Gaussa-Krugera w czterech strefach (15

o

, 18

o

, 21

o

, 24

o

)

- m

o

=0,999923

-zniekształcenia na południku środkowym -7,7 cm / km
-zniekształcenia na skraju pasa +7 cm / km

Wykorzystywane dla odwzorowań kartograficznych wielkoskalowych

REDAKCJA MAP

1. Mapy można klasyfikować ze względu na

• PRZEZNACZENIE
• ZASIĘG TERYTORIALNY
• SKALĘ

a. Wielkoskalowe to mapy 1 : 10 000 i większe
b. Średnioskalowe 1 : 50 000, 1 : 25 000
c. Małoskalowe 1 : 100 000, 1 : 200 000, 1 : 500 000

W Polsce skala 1 : 10 000 jest najmniejszą, w której opracowuje się mapy w oryginale

• TREŚĆ

OGÓLNE-dają pełną charakterystykę przedstawionego terenu. Dzielimy je na:

a. topograficzne skala większa od 1 : 1 000 000
b. przeglądowo-topograficzne skala 1 : 1 000 000
c. przeglądowe skala mniejsza od 1 : 1 000 000

SPECJALNE- uwypuklają jeden lub kilka elementów mapy ogólnej lub eksponują na jej tle
inne zjawiska (np. przyrody). Do map specjalnych zaliczamy:

• mapy fizyczne lub przyrodnicze
• mapy społeczno-gospodarcze
• mapy techniczne

ze względu na główny element treści mapy:

d. hipsometryczne
e. geomorfologiczne
f. glebowe
g. klimatyczne
h. hydrograficzne
i. administracyjne
j. komunikacyjne
k. historyczne
l. demograficzne
m. przemysłowe

E

LEMENTY TREŚCI MAP DZIELĄ SIĘ NA TRZY ZASADNICZE GRUPY

:

I.

Elementy matematyczne

Jest to siatka południków i równoleżników we właściwym odwzorowaniu, skala mapy,
punkty nawiązania, a także ramka mapy z podziałem stopniowym i dokładniejszym, a na
niektórych ramka z podziałem kilometrowym.





Mapa musi posiadać orientację, strzałka- kierunek północy, układ ramek skierowany na
północ.

II.

Elementy geograficzne

*Zarys linii brzegowej mórz i jezior
*Sieć rzeczna
*Rzeźba powierzchni Ziemi
*Elementy glebowo roślinne

a także

*osiedla ludzkie
*sieć komunikacyjna
*zjawiska gospodarcze
*el. polityczne np. granice

Geograficzna treść przedstawia się za pomocą znaków i barw.

III.

Napisy na mapie i poza jej właściwą powierzchnią

Są to objaśnienia występujących na mapie obiektów oraz poza jej powierzchnią jako
informacje pomocnicze. Inf. Pomocnicze tworzą tzw. LEGENDĘ

*tytuł mapy
*instytucja wydawnicza
*skala mapy
*podziałka
*ROK wydania
*objaśnienia znaków i skrótów
*skala barw

Pismo ma cztery zasadnicze własności:

1. Harmonię
2. Czytelność
3. Wzajemną kontrastowość różnych pism na jednej i tej samej mapie
4. Zdatność do reprodukcji

Pismo powinno być możliwie proste (nie za bardzo ozdobne) prostota zwiększa czytelność
opisu. Czytelność z kolei zależy również od grubości pisma i stosunku barwy czarnej do
białego otoczenia. Badania wykazały, że optymalna grubość pisma na mapach ręcznych
powinna być 0,2-0,3 mm. (zbyt cienkie pismo też jest nie dobre bo męczy się oko podczas

czytania). Przeciętny stosunek wysokości do grubości w piśmie kartograficznym 6:1, a w
piśmie drukarskim 8:1. Wielkość pisma też ma znaczenie. Małe wymaga używania lupy, duże
zacienia mapę, zmniejsza czytelność.
Zwartość pisma wyraża się w rozstawie liter. Powinna wynosić 120%-130% grubości pisma.
Dobieramy kilka rodzajów czcionek w celu zróżnicowania, Nie za dużo tzn. dwa, trzy rodzaje.

Rozmieszczenie i położenie napisów na mapie w stosunku do opisywanych obiektów musi
spełniać dwa warunki:

1. Napis nie powinien zasłaniać ani rozrywać istotnych szczegółów mapy. Nie powinien

przecinać znaków linii kolejowych, szos oraz charakterystycznych szczegółów rzeźby
terenu.

2. Przynależność nazwy do określonego obiektu geograficznego nie powinna nasuwać

ż

adnych wątpliwości, czyli napis nie powinien się znajdować w dużej odległości od

obiektu, który określa.

Obiekty liniowe opisuje się zasadniczo wzdłuż ich osi, obiekty małe lub przedstawione
znakami umownymi opisuje się na mapach przeglądowych i w atlasach wzdłuż
równoleżników, a na mapach o większych skalach poziomo, na prawo od obiektu.
Obiekty zajmujące na mapie dużą powierzchnię (morze, jezioro) opisuje się wewnątrz ich
konturów, czasami rozsuwając litery napisu na osi największego rozprzestrzenienia obszaru.
Nazwy gór, dolin, rzek – opisuje się w kierunku wydłużenia obiektu. Napisy nie mogą być w
położeniu odwróconym do normalnego położenia mapy. Duże znaczenie ma właściwa ilość i
zagęszczenie napisów. Przy dużej ich ilości mapa staje się słabo czytelna. Gdy pomniejszamy
mapę trzeba usunąć napisy drugorzędne, czyli tzw. GENERALIZACJA MAPY.

ZNAKI KARTOGRAFICZNE

Na mapie mogą występować:
*znaki obrazowe-podobne do przedmiotów, w postaci szkiców, rzutów, kładów lub
schematów tych przedmiotów.
*znaki abstrakcyjne-nie podobne do przedmiotów, jako symbole geometryczne lub dowolne,
których znaczenia na mapie musi być objaśnione.
*znaki obrazowe lub abstrakcyjne w grupach
*znaki ruchu, wartości zmian natężenia zjawiska
*znaki diagramowi, wymierzalne wg oznaczeń zawartych w legendzie mapy
*znaki piśmiennicze tj. nazwy i skróty literowe lub litery
*znaki cyfrowe, charakteryzujące wielkość lub kolejność

ZESTAWIENIE PIERWORYSU MAPY

Można zestawić pierworys kilkoma sposobami:

1. Kartowanie bezpośrednie ze szkiców polowych
2. kartowanie z materiałów fotogrametrycznych (cyfrowe stacje fotogrametryczne).
Dokładność map wykonanych ze zdjęć lotniczych jest mniejsza niż ta za pomocą pomiarów
bezpośrednich. Dokładność położenia punktu przedmiotowego na mapie, pomierzonego
metodami geodezyjnymi 0,2 mm, ze zdjęć lotniczych 0,4mm.
3. Na drodze generalizacji mapy w skali większej niż opracowywana
4. Kartowanie kompilacyjne
5. Kartodiagramowanie w oparciu o materiał statystyczny lub opisowy

GENERALIZACJA KARTOGRAFICZNA

1. Generalizacja pierwotna-wykonywana już podczas pomiaru w terenie. (obserwując

różne formy w terenie trzeba je jakoś zmierzyć np. skarpa)

2. Wtórna stosowana przy przetwarzaniu map pierwotnych na mapy w skalach

mniejszych.

CELE GENERALIZOWANIA

1. Aby odpowiednia treść mapy zmieściła się na określonym formacie w żądanej skali
2. Aby uzyskać mapę specjalnie wyodrębniającą pewne elementy
3. Aby zwiększyć czytelność mapy

Dokonuje się generalizacji:

a. Elementów liniowych - do których zaliczamy: lnie kolejowe, drogi, rzeki, linie

brzegowe, warstwice.

-Najważniejszy jest warunek zgodności kątowej. Tj. wszystkie linie muszą się przecinać pod
tymi samymi kątami, co na mapie generalizowanej. Linia krzywa powinna posiadać wszystkie
zagięcia mapy generalizowanej. Jednak, jeśli zagięcia są < 0,2 mm i łuków krzywizny nie
dałoby się wykreślić swobodnie to jest obowiązek generalizowania takich miejsc.

b. Elementów powierzchniowych tj. osiedla, obszary wód, lasów, powierzchni

zamkniętych w granicach terytorialnych i innych znaków tworzących graficznie plamę.

-Warunkiem jest wiernopolowość i podobieństwo figury, obwodu w zmniejszonej skali.

c. Elementów punktowych, do których należą skupienia i rozproszenia drobnych plam i

punktów.

-Punkt albo zostaje albo się go usuwa. Czasem jeśli punkty pozostają w zespole, to można je
łączyć i zastąpić znakiem pojedynczym lub specjalnym.

d. Znaków specjalnych takich jak sygnatury, opisy, cieniowanie, kreskowanie.

-znaki te muszą być zmieniane i dopasowywane do nowej skali. Przykładem jest mapa
topograficzna, która ma ustalone różne znaki dla map w róznych skalach.


Pierwszym zadaniem przy generalizacji jest ustalenie celu mającej powstać mapy, co jest
związane z ustaleniem zakresu jej treści.

KARTOWANIE KOMPILACYJNE

Jest to kartowanie mapy na podstawie różnych map w różnych skalach. Dobrze jest
przetwarzać na podstawie osnowy geodezyjnej.

Kolejność opracowania:

1. Rozbudować osnowę geodezyjną
2. Obliczyć skurcz i ujednolicić mapę
3. Zaktualizować treść mapy przez pomiar bezpośredni z kontrolą styków
4. Montaż map zaktualizowanych na tle uzupełnionej osnowy i jednolitego

odwzorowania

PRZETWARZANIE MAPPODSTAWOWYCH NA MAPY W SKALACH

MNIEJSZYCH (POMNIEJSZANIE MAPY)

Mapy podstawowe powstają przez bezpośredni pomiar w terenie, mapy w skali mniejszej
przez opracowanie map podstawowych.

Jest wiele metod przetwarzania:

1. Metoda graficzna odręczna
2. Pantografowanie mechaniczne
3. Pantografowanie optyczne
4. Przetwarzanie fotograficzne
5. Przetwarzanie komputerów

AKTUALIZACJA – UNACZEŚNIANIE MAP

1. Aktualizację okresową map topograficznych wykonuj się w cyklu 5-10 letnim. Do

przeprowadzenia aktualizacji często trzeba wykonywać nowe zdjęcia lotnicze na
dużych obszarach lub w miejscach dużych przemian gospodarczych jakiegoś terenu.

2. Aktualizacja ciągła – podlegają jej wielkoskalowe mapy miejskie i rolnicze. Spośród

map miejskich należy utrzymać w ciągłej aktualizacji grupę map podstawowych,
ewidencyjnych, inwentaryzacyjnych i rejestracyjnych. Inne rodzaje map mogą być
aktualizowane okresowo. Z grupy map podstawowych dla danego miasta powinna być
wybrana jedna w skali 1 : 1 000 lub 1 : 500, która musi być aktualizowana na
podstawie pomiarów wykonanych natychmiast po wykonaniu budowy lub po każdej
zmianie sytuacji przedmiotów w trenie.

GRAFICZNE UPLASTYCZNIANIE MAP

Osiąga się przez stosowanie różnych barw, różnej intensywności barw, skali barw: przez
cieniowanie albo szrafowanie rzeźby terenu.

Właściwą intensywność można otrzymać przez zastosowanie odpowiedniego rastra.
RASTER- jest to przeźrocze na szkle lub błonie fotograficznej, którego rysunkiem jest
jednolity wzór utworzony z linii lub znaków równomiernie pokrywających daną
powierzchnię. Rastry mogą być: liniowe, kropkowe, kratkowe, wzorzyste.

PRZYDATNOŚĆ RASTRA W KARTOGRAFII

1. Charakter wzoru j.w.
2. Gęstość – ilość lini lub kropek na 1 cm długości

-b. gęste 60-80 / 1 cm
-rzadkie 20 linii /1 cm

3. Stopień zaczernienia

Raster 50% oznacza, że suma el. czarnych wzoru w 1 cm

2

wynosi 0,5 cm

2

reszta to białe pola.

GRAWEROWANIE OBRAZÓW KARTOGRAFICZNYCH

WARSTWORYTOWANIE

Podstawowa metoda wykonywania map do lat 80-tych. Są trzy rodzaje warstworytowania.

• POZYTYWOWE – arkusz folii pokryty warstwą rytowniczą.

Polega na tym, że po procesie rytowania, miejsca linii rysunkowych zostają zatrawione
w podłoże za pomocą lakieru zatrawiającego. Po usunięciu warstwy rytowniczej za pomocą
wody, otrzymuje się rysunek na folii lub płycie szklanej będącej DIAPOZYTEM
spełniającym rolę pierworysu lub czystorysu.

• NEGATYWOWE – polega na tym, że po procesie rytowania zabarwia się warstwę

rytowniczą roztworem specjalnego barwnika. Otrzymany w ten sposób negatyw,
używany jest do kopiowania diapozytywów, pozytywów oraz form druku offsetowego
czy sitowego.

• NEGATYWOWO-POZYTYWOWE – polega na rytowani odpowiedniej treści,

kopiowaniu jej na odpowiednie formy drukarskie, zaprawieniu, kolejnym rytowaniu i
kopiowaniu dalszych elementów. Po skopiowaniu całości treści mapy i zadrwieniu
ostatniej formy rysunku, zmywa się warstwę rytowniczą i uzyskuje zbiorczy
diapozytyw na folii.

SPOSOBY RYTOWANIA

1. Można wykonać na powierzchni arkusza rytowniczego, nałożonego na materiał

kartograficzny znajdujący się pod arkuszem rytowniczym. Materiałem takim może
być mapa, pierworys, foto-mapa, zdjęcia lotnicze. Rytowanie wykonuje się w
specjalnej kopioramie.

2. Polega na rytowaniu rysunku na powierzchni arkusza rytowniczego, na który

naniesiono rysunek. Może być to kopia srebrowa, błękitna, sepiowa, dwuazowa, druk
lub kopia kserograficzna.

REPRODUKCJA KARTOGRAFICZNA

To zespół czynności zmierzających do wykonania z oryginału większej ilości kopii
zgodnie z określonymi założeniami technicznymi. Wybór metody reprodukowania zależy
od okoliczności:

1. Graficznej postaci oryginału wydawniczego
2. Dokładności, z jaką ma być wykonana kopia
3. Ilości egzemplarzy
4. Od postaci graficznej żądanej reprodukcji lub jej podłoża

SPOSOBY DRUKOWANIA

DRUK WYPUKŁY – zlicza się tutaj drzeworyt, cynko-chemigafię i druk czcionkowy. W tej
technice drukują miejsca wypukłe. Drukuje się z blach cynkowych grubości 2mm. Druk
stosowany do szczególnie precyzyjnych oryginałów np. siatek kwadratów

DRUK WKLĘSŁY – drukują miejsca zagłębione, położone niżej niż elementy nie drukujące.
Zaliczamy tutaj: miedzioryt, staloryt, linoryt, rotograwiurę. Przykład miedziorytu. Rytuje się
tekst czy rysunek w blasze miedzianej. Na tak przygotowaną blachę wlewa się farbę. Farba
wypełnia zagłębienia, z pozostałych miejsc między rysunkowych należy ją usunąć. Na
zwilżoną blachę nakłada się papier i poddaje silnemu naciskowi w prasie miedziorytniczej.

DRUK PŁASKI – w tej technice miejsca drukujące i nie drukujące znajdują się na jednej
płaszczyźnie. (miejsca zatłuszczone i te które nie przyjmują tłuszczu, nawilżone). Istnieją dwa
rodzaje druku płaskiego:

1. Bezpośredni – uzyskuje się odbitkę przez dociśnięcie papieru do odbitki drukującej,

którą może być blacha cynkowa lub aluminiowa.

2. Pośredni – offsetowy – rysunek z blachy przenoszony jest na cylinder gumowy, skąd

następnie drukowany jest na papierze (stąd metoda pośrednia). Za pomocą walca
obraz przenoszony jest na papier.

Jest to najbardziej praktyczny druk z punktu widzenia reprodukcji małonakładowej. Druk
następuje z płaskich blach o grubości 06 – 0,7 mm.

Przygotowanie blachy do druku.

1. Ziarnowanie blachy – w maszynie zwanej ziarnówką, składającej się z żeliwnej

podstawy i skrzynki, na dno skrzynki wkłada się blachę, przymocowuje, pokrywa
drobnym pyłem kwarcowym. Skrapia się wodą i posypuje warstwą drobniutkich
kuleczek porcelanowych. Maszynę wprawia się w ruch na około 1 godzinę. Kulki
porcelanowe wcierają pył kwarcowy w blachę. Efektem jest zwiększenie powierzchni
porowatej 3 – 5 krotnie.

2. Na blachę wylewa się odpowiednio przygotowaną emulsję światłoczułą. Umieszcza

się w specjalnej wirówce, w celu równomiernego rozprowadzenia substancji na
powierzchni całej blachy.

3. Suszy się blachę za pomocą grzałek elektrycznych z dwustopniową regulacją

temperatury.

4. Przygotowaną, wysuszoną płytę mocuje się w kopioramie próżniowej. Umieszcza się

na niej diapozytyw foliowy lub negatyw. Pompa próżniowa jest zastosowana w celu
jak najdokładniejszego, ścisłego przylegania płyty i oryginału. Zapobiega to
pojawianiu się pęcherzyków powietrza. Naświetla się.

5. Po naświetlaniu, pokrywa się powierzchnię cienką warstwą farby kopiowej.
6. Następnie wywołuje się płytę poprzez zmycie woda warstwy emulsji w miejscach nie

naświetlonych. Miejsca naświetlone pozostają zabarwione.

7. Po wywołaniu zbiera się nadmiar wody, pokrywa blachę zakwaszoną gumą arabską.

Suszy i przekazuje do druku.

DRUK OFFSETOWY

1. Przed każdą kopią musi być nalana woda na całą powierzchnię blachy.
2. Za pomocą wałka nanosi się farbę drukarską. Farbę przyjmują tylko miejsca pokryte

wcześniej emulsją, czyli naświetlone.

3. Przenoszenie rysunku na walec gumowy, a z walca na papier, czyli druk pośredni.

Druk z jednej blachy może być powtarzany wielokrotnie, lecz czynności zwilżania i
nakładania farby, muszą być wykonywane każdorazowo.

KSEROGRAFIA

Wykorzystuje fizyczne właściwości półprzewodników takich jak selenu i pewnego rodzaju
ż

ywic. Wynalezione już w 1937 roku przez Carlosona. Wykonuje się kseropłyty, pokryte

warstwą półprzewodnika, które spełniają rolę półprzewodnika. Płyta naładowana potencjałem
elektrycznym w ciemności utrzymuje ładunek, a naświetlona traci go w miejscach
naświetlonych.

KSEROGRAFIA OPTYCZNA – można przeskalować kopię dzięki dodatkowemu układowi
soczewek.

KSEROGRAFIA STYKOWA – tylko 1:1

Aparatura składa się z urządzenia ładującego, z zasilaczem wysokiego napięcia, urządzenia
naświetlającego, urządzenia wywołującego oraz urządzenia wyświetlającego.

FAZY KSEROGRAFII

1. Założenie oryginału na ekran urządzenia
2. Nastawienie układu optycznego do żądnej skali reprodukcji
3. Naładowanie w procesorze płyty pokrytej półprzewodnikiem, w polu elektrycznym o

napięciu 6000 V

4. Naświetlenie płyty przez układ optyczny
5. Powstaje obraz utleniony na powierzchni płyty
6. Wywołanie kaskadowe przy użyciu pigmentu (toneru – proszku o ładunku

przeciwnym do ładunku płyty)

7. Przeniesienie obrazu z płyty na podkład (folię)
8. Utrwalenie kopii sposobem termicznym. Najczęściej toner zatapiany jest w podłoże w

temperaturze około 90° C

KOPIE DWUAZOWE

Kopie wykonywane z materiałów przezroczystych (matryc, diapozytywów, negatywów)
Metoda ta wykorzystuje światłoczułe właściwości związków dwuazowych. Warstwa
ś

wiatłoczuła składa się z dwóch składników: biernego i czynnego. Bardzo prosta i tania

metoda ozalidu. Na podłożu powstaje obraz przez naświetlanie matrycy. Wywołanie obrazu
odbywa się w parach amoniakalnych. Obraz występuje w postaci pozytywu
Kopiowanie dwuazowe suche – wywołanie w zimnych parach amoniaku, w specjalnych
drewnianych skrzynkach szczelnie zamkniętych.

Kopiowanie dwuazowe pół-mokre – wywołanie odbywa się przez delikatne zwilżenie emulsji,
specjalnym wywoływaczem. Pozwala to otrzymywać tony odcieni w kolorach od ciemnej
sepii do fioletów. Efekt jest kilka razy lepszy jednak droższy. Plusem jest też, że warstwy
ś

wiatłoczułe mogą być rozlewane na dowolne podłoże: papier, plansze kartograficzne,

materiały płócienne, folię plastikową.

FARBY REPRODUKCYJNE

Powstają przez zmieszanie trzech składników. Pigmentu (jest to substancja nieorganiczna,
nie rozpuszczalna w wodzie, znanych jest 25 pigmentów), substancji wiążącej (np. smoła,
olej, żywica- mają za zadnie równo rozłożyć pigment i przylepić go do powierzchni) i
substancji uzupełniającej- ma za zadanie podnieść właściwości farby: trwałość koloru,
przylepność, jakość, tłustość.

Właściwości farb:
*światłtrwałość
*odporność na wpływy atmosferyczne
*czysty i ładny ton
*zdolność mieszania się z innymi farbami
*zdolność schnięcia
*wydajność
*przyczepność
*zdolność rozprowadzania
*gęstość

KARTOMETRIA

Zajmuje się metodami przeprowadzania pomiarów na mapie i samymi pomiarami.

Od czego zależy dokładność wyników pomiarów na mapie?

1. Błędy techniczne, niedokładność przyrządów
2. Błędy kartograficzne wynikające z niedokładności mapy, na której wykonujemy

pomiary.

*niedokładność siatki
*zniekształcenia rysunku
*generalizacja

POMIAR NA MAPACH

1. Odcinki
*linie proste






*krzywe – można mierzyć za pomocą kroczka, sumując linie łamane, krzywomierzem

2. Pola powierzchni – mierzymy: planimetrem, polami siatki geograficznej

3. Objętość – na mapie warstwicowej

4. Spadki terenu i nachylenie

5. Powierzchnia topograficzna P’=P sec α