Wytrzymałość Materiałów 4
Zginanie belek z udziałem sił tnących
Wzór Żurawskiego (str. 208-210)
z
RAz RAx P RB
A x
x dx B
a
l
M
dM
T
M+dM N+dN
z dx x
z
M
1 -y z1 -y
τz -z Az
N dA τz 1 bz
*
Rys. 17 Określenie naprężeń stycznych w zginanej belce
∑Pix = -N + τzbzdx + N + dN = 0
(b)
Różniczkując N po x mamy:
dN/dx = - (dM/dx)·(Sy/Jy) (c)
M T M+dM
∑M0 = M- M- dM + Tdx = 0 0 x
T=dM /dx (d) dx T+dT
podstawiając (c) i (d) do (b) mamy:
gdzie
(13)
Przykład 7 (str. 210-211)
Określić rozkład naprężeń stycznych przy zginaniu belki o przekroju prostokątnym o wymiarach b×H (rys.18), oraz dobrać wartość H= 2h z warunku τmax = 50 MPa. Wartość siły tnącej w rozpatrywanym przekroju wynosi T= 104N, a stosunek 2h/b = 4.
dA=dydz1 z Az
z1 2h z h1 -y
; H=2h
Az = b(h-z)
b
Rys.18 Określenie naprężeń stycznych
Rozwiązanie
Moment statyczny pola Az względem osi obojętnej z
Sy = Azh1 = b(h2-z2)/2 Symax = bh2/2 = bH2/8
Moment bezwładności pola przekroju względem osi y
(14)
(c)
Podstawiając do (c) T = 104 N, b = H/4,
τmax = 50MPa otrzymujemy:
Odpowiedz: H = 34.6mm, b = H/4 = 34.6/4 = 8.6mm
Naprężenia średnie:
MPa
τmax /τśr = 1.5
Stan czystego ścinania (str. 78-86)
γ τ s = γ ·1
a) z τ2 b)
τ3
τ τ
1 τ1
o 1 0
x τ
1 τ4
Rys.19 Parametry czystego ścinania
Warunki równowagi prostopadłościanu o wymiarach 1×1×1
∑Px = τ2×1×1−τ4×1×1=0 τ2 = τ4
∑Py = τ3×1×1−τ1×1×1=0 τ1 = τ3 τi = τ
∑Mo = τ2×1×1×1−τ3×1×1×1=0 τ2 = τ3
Energia odkształcenia w stanie czystego ścinania kostki
o wymiarach 1cm3 V1 = L(praca) = τ · s / 2 = τγ / 2.
τ
tgα = τ/γ =G τ = G×γ (15)
τpl τspr
α
γ
Rys. 20 Wykres naprężeń τ w funkcji γ
G moduł sprężystości postaciowej
Skręcanie prętów (str.140-145)
Ms dr
* r
s dA Rz
γr l α r
dα
τmax dA r
dr
Rys.21 Skręcanie rd* dP
τr
dP = dAτr ; dMs = rdP = rdAτr ; τr /τmax = r/Rz ; (τmax /Rz )= τr / r
gdzie (16)
(17)
z rys.21 s = γr l = *r; τr = Gγr ; γr = τr /G; * = γr l /r
(18)
Przykład 8 (str. 147-148)
Określić przebieg momentów skręcających w wale przedstawionym na rysunku 22.
MA MS MB
a b
Rys.22
MA1 = MS MS *1 *1
MA2 = MB
l = a+b *2
MB
*1= MS a /(GJ0); *2= MB l /(GJ0)
*1+ *2 = 0; MS a + MB l =0; MB = MS a l
MA = MA1 + MA2 = MS MS a l = MS b/l
MA MS
MB
Rys.22a Wykres momentów skręcających
Przykład 9 (str.145)
Dla wału z rysunku 22 dobrać średnice tak, aby współczynnik bezpieczeństwa ne = 2. Dane τe = 125 MPa
τdop = τe /ne = 125/2 = 62.5 MPa; Ms = 104 Nm;
a = 1.2m,
b = 1.5m; Rz = R
Rozwiązanie
MA = MS (b/l) = 104(1.5/2.7) = 5556 Nm
MB = - MS (a/l) = -104(1.2/2.7) = -4444 Nm
Mmax = MA = 5556Nm
(19)
d = 2R = 76.8mm
22 WM
23WM
24WM
Rw
25WM
26WM
27WM
-y