Wytrzymałość materiałów jest nauką o inżynierskich metodach obliczania elementów maszyn na wytrzymałość, stateczność i sztywność. Wytrzymałość jest to zdolność całej konstrukcji i jej poszczególnych elementów do przenoszenia obciążeń bez wywołania zniszczeń (pęknięć lub trwałych deformacji). Sztywność jest to zdolność całej konstrukcji i jej poszczególnych części do przeciwstawiania się odkształceniom (zmianie kształtów wymiarów) wywołanych obciążeniem zewnętrznym. Stateczność jest to zdolność konstrukcji i jej poszczególnych części do zachowania pierwotnego kształtu równowagi sprężystej. Dyscypliny pokrewne: - mechanika ogólna, - teoria sprężystości, - teoria plastyczności, - reologia, - mechanika konstrukcji. Do obliczeń należy zawsze zbudować odpowiedni schemat obliczeniowy układu rzeczywistego. Tworząc taki schemat należy przyjąć: a)model materiału, b)model konstrukcji, c)model sił działających na badany obiekt. Tworząc model materiału przyjmuje się następujące założenia: -ciągłość, -doskonała sprężystość, -liniowa zależność odkształceń od obciążeń, -jednorodność, - izotropowość, -ograniczona wytrzymałość. Pręt jest to ciało, którego jeden wymiar (długość) jest wyraźnie większy od pozostałych, pręty dzielimy na pręty proste i krzywe, o stałym przekroju i o zmiennym przekroju. Powłoka jest to ciało, którego jeden wymiar (grubość) jest mały w porównaniu do pozostałych. Płyta - szczególny przypadek powłoki jest to ciało ograniczone powierzchniami płaskimi, a obciążenie przyłożone jest prostopadle do powierzchni płaskiej. Tarcza szczególny przypadek powłoki. Jest to ciało ograniczone powierzchniami płaskimi, obciążenia leżą w płaszczyźnie środkowej. Bryła jest to ciało, którego wszystkie trzy wymiary są mniej więcej tego samego rzędu. Siła jest miarą mechanicznego oddziaływania jednego ciała na drugie wyróżniamy siły: zewnętrzne (czynne i bierne) i siły wewnętrzne. Siły ze względu na sposób działania: siły działające w sposób statyczny, - w sposób dynamiczny, ze względu na sposób rozłożenia: siły skupione P[N], siły powierzchniowe q[N/mm²], siły objętościowe [N/mm³]., Naprężenie jest miarą sił wewnętrznych, określa ono wartość siły wewnętrznej na jednostkę powierzchni
- średnie naprężenie normalne,
- średnie naprężenie styczne. Odkształcenie jest to wszelka zmiana wymiarów kształtów ciał wywołana obciążeniem lub innym działaniem. Dzielimy na -sprężyste, -plastyczne, - czysto objętościowe (zmiana objętości bez zmiany kształtu) i czysto postaciowe (zmiana kształtu ciała bez zmiany objętości). Przemieszczeniem nazywamy zmianę położenia poszczególnych punktów ciała. W celu ilościowego określenia odkształceń wprowadza się odpowiednie ich zmiany są nimi:- wydłużenie jednostkowe (wydłużenie względem ε), - kąt odkształcenia postaciowego. W celu scharakteryzowania zmian miar linowych w otoczeniu jakiegoś punktu musimy znać trzy wydłużenie jednostkowe określone na kierunkach x,y,z są to ε_x, ε_y, ε_z. Aby całkowicie scharakteryzować odkształcenia postaciowe potrzebna jest znajomość kątów odkształcenia postaciowego trzech wzajemni prostopadłych płaszczyznach są to γ_xy, γ_yz , γ_zx. Zasada de Saint - Venanta:, jeżeli na niewielki obszar ciała sprężystego działają kolejno statycznie równoważne obciążenia, to w odległości od obszaru obciążonego przewyższającego jego wymiary liniowe powstają jednakowe stany naprężeń naprężenia i odkształcenia.
ά_K - współczynnik koncentracji naprężeń. Aby układ rzeczywisty można było w danym zagadnieniu uważać za liniowo sprężysty musi on spełnić następujące warunki: a)materiał poszczególnych części spełnia uogólnione prawo Hooke`a, b)układ jest w równowadze, c) przemieszczenia układu są małe, d)brak tarcia (*lub praktycznie małej tarcie) na powierzchni styków wzajemnie ruchomych części układu. Zmiana temperatury o ΔT powoduje zmianę wymiarów liniowych
gdzie ά - współczynnik rozszerzalności liniowej [1/K]. Analiza stanu naprężeń: można udowodnić, że przez każdy punkt ciała dowolnie obciążonego można poprowadzić trzy wzajemnie prostopadłe przekroje, w których nie występują naprężeni styczne. Przekroje te nazywamy przekrojami głównymi, kierunki prostopadłe do nich kierunkami głównymi, a naprężenia normalne występujące w tych przekrojach naprężeniami głównymi oznacza się je σ<sub>1</sub>,σ<sub>2</sub>,σ<sub>3</sub>. Stan naprężeń określa się przez trzy naprężenia główne lub sześć składowych. Rozróżniamy trzy następujące stany naprężeń: - jednoosiowy stan naprężeń σ<sub>1</sub>#0, σ<sub>2</sub> =σ<sub>3</sub> =0, - dwuosiowy (płaski) σ<sub>1</sub>#0<sub>,</sub> σ<sub>2</sub> #0 σ<sub>3</sub> =0, trójosiowy (przestrzenny) σ<sub>1</sub>#0<sub>,</sub> σ<sub>2</sub> #0 σ<sub>3</sub> #0. Suma naprężeń normalnych w dwóch dowolnych wzajemnie prostopadłych prętach jest wielkością stałą (jest niezmiennikiem stanu naprężeń). Porównując naprężenia τ<sub>ά</sub> i τ<sub>β</sub> widać, że τ<sub>β</sub> =-τ<sub>ά</sub> czyli że naprężenia styczne na dwóch prostopadłych do siebie przekrojach są sobie równe, co do wartości, ale przeciwnego znaku. Własność te nazywamy zasadą równowartości odpowiednich sobie naprężeń stycznych. Szczególne przypadki koła Mohra: 1. Jednoosiowe rozciąganie: σ<sub>1</sub> =σ #0 σ<sub>2</sub> =0 σ<sub>3</sub> =0, 2. Dwuosiowe równomierne rozciąganie: σ<sub>1</sub> =σ #0 σ<sub>2</sub> =σ #0 σ<sub>3</sub> =0, 3. Czyste ścinania: σ<sub>1</sub> =σ σ<sub>2</sub> =σ dla ά=π/4 σ =0. Szczególne przypadki koła Mohra: - jednoosiowe rozciąganie σ<sub>1</sub>=σ#0 σ<sub>2</sub> =0 σ<sub>3</sub>=0; - dwuosiowe równoważne rozciąganie σ<sub>1</sub>=σ#0 σ<sub>2</sub> =σ#0 σ<sub>3</sub>=0; - czyste ścinanie σ<sub>1</sub>=σ σ<sub>2</sub> =σ dla ά<sub>0</sub>=π/4 σ=0. Uogólnione prawo Hooke`a: dla układu trójosiowego dowolnym kierunku:


odkształcenia postaciowe nie zależą od naprężeń normalnych, a odkształcenia osiowe nie zależą od naprężeń stycznych:

Dwuosiowy stan naprężeń: σ₁#0_, σ₂ #0 σ₃ =0


w dwuosiowym stanie naprężeń występuje dwuosiowy stan odkształceń. Jednoosiowy stan naprężeń: σ₁#0, σ₂ =σ₃ =0


w jednoosiowym stanie naprężeń występuje również dwuosiowy stan odkształceń. Stałe materiałowe: są to stałe charakteryzujące stany naprężeń materiału. Są to E, ν, G, K dwie są niezależne E i ν, natomiast dwie pozostałe są zależne: E - moduł Younga, współczynnik sprężystości wzdłużnej; ν - liczba Poissona; G - moduł sprężystości poprzecznej (moduł ścinania, stała Kirchoffa, moduł odkształcenia postaciowego)
; K - moduł ściśliwości (moduł odkształcenia postaciowego)
. Ścinanie: Ścinaniem czystym nazywamy stan naprężeń lub stan obciążeń wywołujący odkształcenie wyłącznie postaciowe. Czyste ścinanie można zrealizować w płaskim stanie naprężeń poprzez równoczesne ściskanie i rozciąganie prostopadłościanu w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach ten sposób, że σ₁ i σ₂ są naprężeniami głównymi równymi, co do wielkości bezwzględnej σ₂= -σ₁. Ścinanie technologiczne jest to taki rodzaj oddziaływania na materiał, jaki wywierają nożyce do cięcia blach lub prętów. Przy takim cięciu występują złożony stan obciążenia elementu, w którym można wyróżnić: -ściskanie, - rozciąganie, - ścinanie. Połączenie sworzniowe: może uleć zniszczeniu w skutek: - ścięcia sworznia, - przekroczenia nacisków powierzchniowych na powierzchni sworznia lub na ścianach otworu, - rozerwaniu ucha, - zgięciu sworznia(występuje, gdy stosunek długości do średnicy sworznia jest dość duże i występuje w połączeniu znaczny luz). Połączenia nitowe: zakłada się że średnica nita zwykle przejmuje się średnicę nita równą dwom grubościom blachy d=2g, oblicza się natomiast liczbę nitów. Momentem statycznym pola A względem pewnej osi nazywamy sumę iloczynów elementarnych pól A przez ich odległość od tej osi, obejmujące całe pole A. - moment statyczny pola względem osi x, - względem osi y. Moment statyczny względem pewnej figury złożonej równa się sumie momentów statycznych jej części składowych względem tej osi. Położenie środka ciężkości pola figury płaskiej możemy wyznaczyć następującą zależnością:

Momentem bezwładności pola A względem osi leżącej w jego płaszczyźnie nazywamy obejmująca całe to pole sumę iloczynów elementarnych pól dA przez ich odległość od tej osi.

Biegunowy moment bezwładności równa się sumie osiowych momentów bezwładności względem osi prostopadłej do siebie i przechodzącej przez dany biegun.

Odśrodkowym momentem bezwładności (moment dewiacji, zboczenia) pola A względem dwóch osi leżących w płaszczyźnie pola nazywamy obejmujące to pole sumę iloczynów elementarnych pól dA przez ich odległość od obu osi.
.Istnieje w każdym punkcie ciała układ osi względem, których moment dewiacji =0: - osie względem, których moment dewiacji =0 nazywamy głównymi osiami bezwładności, - moment bezwładności względem osi głównych osiągająca wartości ekstremalne nazywamy głównymi momentami bezwładności i oznaczamy I₁ i I₂ gdzie I₁>I₂. Moment bezwładności złożonej figury płaskiej względem pewnej osi, moment odśrodkowy tej figury względem układu tej osi lub biegunowy moment bezwładności względem pewnego punktu równa się sumie odpowiednich momentów bezwładności poszczególnych części składowych względem tej osi, układu osi lub tego samego punktu. Promień bezwładności figury płaskiej względem danej osi x nazywamy wielkość, której kwadrat pomnożony przez pole tej figury daje moment bezwładności tej figury względem osi x.

1. Prostokąt :

2. Koło:

3. Pierścień:

4.Półkole:

5. Trójkąt:

Jeżeli siły wewnętrzne redukują się do pary sił leżących w płaszczyźnie przekroju to mamy do czynienia ze skręcaniem. Podstawowe założenia teorii skręcania prętów osiowo symetrycznych: - przekroje płaskie przed skręceniem również po skręceniu są płaskie, - promienie naniesione na powierzchnię przekroju pozostają nieodkształcone - proste, - odległości między przekrojami nie ulegają zmianie. Przekroje obracają się jedynie względem siebie o niewielki kąt φ, - tworzące na powierzchni zmieniają się w linię śrubowe o kącie nachylenia γ do pierwotnego położenia, - materiał podlega prawu Hooke`a. Swobodne skręcanie prętów o przekroju nie kołowym, założenia de Saint - Venanta: - rzut konturu przekroju na płaszczyznę prostopadłą do osi pozostaje po skręceniu nieskręcony, - punkty leżące na płaszczyźnie przekroju mogą się swobodnie przemieszczać wzdłuż osi pręta. Założenie to dopuszcza możliwość wypaczenia (deklamacji) wyklucza natomiast występowanie naprężeń normalnych. Sprężyna śrubowo - walcowa: redukując siłę do środka przekroju widać, że stan naprężeń jest złożony. Przekrój drutu narażony jest na: - skręcanie
, - zginanie:
, - rozciąganie
, - ścinanie
dla małych kątów sinά=0, cosά=1 więc M<sub>S</sub>=PR i T=P Zginanie pręta prostego: taki rodzaj obciążenia przy którym w przekroju poprzecznym pręta występuje moment gnący. Jeżeli wektor gnący pokrywa się z główną osią bezwładności przekroju to zginanie nazywamy płaskim lub prostym. W innych przypadkach zginanie nazywa się ukośnym lub złożonym. Zginanie proste charakteryzuje się tym, że ugięta oś belki leży w płaszczyźnie działania obciążeń zewnętrznych. W przypadku gięcia złożonego płaszczyzna ugięcia osi belki nie pokrywa się z płaszczyzną działania obciążeń zewnętrznych. Wartość momentu gnącego w przekroju określa suma algebraiczna wszystkich momentów zewnętrznych i momentów od wszystkich sił działających na belkę z jednej strony rozpatrywanego przekroju obliczona względem środka tego przekroju. Wartość siły tnącej w przekroju określa suma algebraiczna wszystkich składowych poprzecznych sił działających na belkę z jednej strony rozpatrywanego przekroju. Wykresy sił tnących T i momentów gnących M<sub>g</sub>, aby je wykonać należy: - ustalić przedmioty zmienności funkcji sił poprzecznych i momentów gnących, - wyznaczyć reakcję podpór, - ustalić analitycznie funkcję sił poprzecznych i momentów gnących we wszystkich przedziałach, - wyznaczyć konkretne wartości tych wielkości potrzebnych do sporządzenia wykresu, - sporządzić wykres. Czyste zginanie: Przypadek czystego zginania jest szczególnym przypadkiem zginania prostego. Występuje wtedy, gdy w przekroju belki na pewnej jej długości nie występują siły poprzeczne. Moment gnący zachowuje wtedy stała wartość wzdłuż osi belki. Istnieje warstwa włókien, która nie ulega ani skróceniu ani wydłużeniu warstwę tę nazywamy obojętną. Ślad warstwy obojętnej w przekroju poprzecznym nazywamy osią obojętną. Oś obojętna jest miejscem geometrycznym punktów przekroju, w których naprężenia są równe 0. Podstawowe założenia teorii zginania prętów prostych: - przy czystym zginaniu przekroje poprzeczne, które były płaskie również po odkształceniu pozostają płaskie, - włókna podłużne nie wywierają na siebie żadnego nacisku, a w związku z tym wskutek działania naprężeń normalnych doznaje jedynie jednoosiowego ściskania lub rozciągania, - odkształcenie włókien równoległych do osi pręta i znajdujących się w płaszczyźnie równoległej do warstwy obojętnej nie zależy od ich pól w tej płaszczyźnie, - materiał belki podlega prawu Hooke`a.

ZASADA SUPERPOZYCJI Dla układów liniowo sprężystych skutek wypadkowy przy obciążeniu złożonym jest równy sumie skutków wywołanych działaniem obciążeń składowych i nie zależy od kolejności przykładania tych obciążeń.

TWIERDZENIE STEINERA: Moment bezwładności I_x względem osi równy sumie momentów bezwładności względem osi przechodzących przez środek ciężkości J_XC oraz iloczynu pola figury A i kwadratu odległości między tymi osiami a².

WARTOŚCI I KIERUNKI NAPRĘŻEŃ GŁOWNYCH W PŁASKIM STANIENAPRĘŻEŃ

TENSOR STANU NAPRĘŻEŃ PUNKCIE:

ANALIZA JEDNOOSIOWEGO STANU NAPRĘŻEŃ:

naprężenia ekstremalne:

dla ά=0
największe naprężenia styczne występują w przekroju określonym kątem ά=π/2 w stosunku do osi

dla ά=π/2

ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ:

Naprężenia ekstremalne: dla ά=0

dla ά=π/2
Naprężenia główne są naprężeniami ekstremalnymi.

---