Wykład #3

Transformacje

Transformacja jest to wprowadzenie dodatkowej rzutni i wyznaczenie rzutów punktu w nowym układzie.

Transformację punktu i prostej dla rzutni trzeciej i czwartej omówiliśmy w wykładzie 1. Teraz zajmiemy się takimi transformacjami prostych i płaszczyzn, które ustawią dany element w sposób szczególny.

Rzutnia równoległa do danej prostej

W przypadku, gdy jeden z rzutów prostej jest równoległy do osi x wówczas drugi rzut prostej odwzorowuje rzeczywiste długości odcinków tej prostej.

Dla dowolnie ustawionej prostej wprowadzamy rzutnię trzecią równoległą do jednego z rzutów prostej. Może to być płaszczyzna poziomo-rzutująca, jak i pionowo-rzutująca. W rzucie trzecim prosta jest równoległa do swojego rzutu, a zatem otrzymujemy rzeczywiste długości odcinków.

Rzutnia prostopadła do danej prostej

W przypadku, gdy prosta jest prostopadła do rzutni, rzut tej prostej na tą rzutnię jest punktem.

Gdy prosta jest pozioma, wówczas wprowadzamy rzutnię trzecią prostopadle do rzutu poziomego tej prostej.

Gdy dana prosta jest w położeniu dowolnym, wówczas wprowadzamy kolejno rzutnię trzecią równolegle do jednego z rzutów prostej, a następnie prostopadle do trzeciego rzutu prostej.

Przykład 1

Zbadać odległość dwóch prostych pionowych

Rzeczywista odległość między prostymi a i b jest widoczna bezpośrednio w rzucie poziomym.

Przykład 2

Zbadać odległość dwóch prostych poziomych

Wprowadzamy trzecią rzutnię prostopadle do rzutu poziomego, w rzucie trzecim obie proste są położeniu rzutującym i otrzymujemy rzeczywistą odległość między nimi.

Przykład 3

Zbadać odległość dwóch prostych równoległych w położeniu dowolnym.

W prowadzamy rzutnię równoległą , a następnie prostopadłą do prostych.

Przykład 4

Wyznaczyć rzeczywistą odległość punktu od prostej pionowej

Ponieważ prosta jest pionowa jej poziomym rzutem jest punkt. Odległość prostej od punktu można odczytać bezpośrednio z rzutu poziomego.

Przykład 5

Wyznaczyć odległość punktu A od prostej l.

Jeżeli prosta jest w położeniu dowolnym to wprowadzając kolejne rzutnie sprowadzamy ją do położenia rzutującego. Wówczas w rzucie czwartym możemy odczytać szukaną odległość.

Rzutnia prostopadła do danej płaszczyzny

Ze względów praktycznych wygodnie jest czasami sprowadzić dowolną płaszczyznę do położenia rzutującego.

Przykład 1

Mamy daną płaszczyznę określoną parą prostych przecinających się w punkcie. Sprowadźmy tą płaszczyznę do położenia rzutującego wprowadzając rzutnię prostopadłą do  ₁

Przy szukaniu położenia rzutni trzeciej prostopadłej do płaszczyzny postępujemy zawsze tak samo. Przyjmujemy dowolną prostą poziomą m leżącą na płaszczyźnie. W rzucie pionowym jest ona równoległa do osi x₁₂, konstruując rzut poziomy prostej m kierujemy się przynależnością do płaszczyzny. Jeżeli wprowadzimy rzutnię trzecią prostopadle do poziomego rzutu prostej m , to wszystkie punkty będą miały wspólną odnoszącą i jednakową wysokość, a zatem m^III będzie punktem. Jeżeli jedna z prostych płaszczyzny jest rzutująca to cała płaszczyzna też jest rzutująca.

Przykład 2

Wyznaczyć odległość punktu Q od płaszczyzny trójkąta ABC

Przy pomocy prostej poziomej m sprowadzamy płaszczyznę trójkąta do położenia rzutującego. Szukana odległość to odległość Q^III od a ^III

Rzutnia równoległa do danej płaszczyzny

Jeżeli płaszczyzna w jednym z rzutów jest rzutująca to wystarczy wprowadzić rzutnię trzecią równolegle do tego rzutu, aby otrzymać rzeczywiste wielkości na tej płaszczyźnie.

Jeżeli natomiast płaszczyzna jest w położeniu dowolnym, wtedy najpierw sprowadzamy ją do położenia rzutującego za pomocą rzutni prostopadłej, a następnie równolegle do trzeciego rzutu płaszczyzny rzutnię czwartą

Należy zwrócić uwagę, że wprowadzając rzutnie prostopadłe i równoległe możemy posłużyć się również prostymi czołowymi równoległymi do osi x₁₂, rzutnia będzie prostopadła do  ₂

W tym miejscu kończymy 3 WYKŁAD . Masz wystarczającą ilość informacji , aby przystąpić do rozwiązania 3 ARKUSZA.

---