Monotoniczność funkcji

Twierdzenie Lagrange'a. Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym i różniczkowalna w przedziale otwartym , to istnieje taki punkt , że

Jeśli funkcja spełnia dodatkowe założenie , to z twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy twierdzenie Rolle'a.

Twierdzenie Rolle'a. Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym , różniczkowalna w przedziale otwartym , to istnieje taki punkt , że .

Wnioski.

1.	Jeżeli pochodna funkcji jest równa zeru w każdym punkcie przedziału , to funkcja jest stała w tym przedziale.
2.	Jeżeli pochodna funkcji jest dodatnia w każdym punkcie przedziału , to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.
3.	Jeżeli pochodna funkcji jest ujemna w każdym punkcie przedziału , to funkcja jest w tym przedziale malejąca.

Ekstremum lokalne funkcji

Maksimum lokalne

Funkcja ma w punkcie maksimum lokalne równe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U punktu , że dla każdego i jest spełniona nierówność .

Minimum lokalne

Funkcja ma w punkcie maksimum lokalne równe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U punktu , że dla każdego i jest spełniona nierówność .

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji

Jeżeli funkcja ma w punkcie ekstremum i ma w tym punkcie pochodną, to .

Warunki dostateczne na to, aby funkcja różniczkowalna miała w punkcie ekstremum lokalne.

Warunek I. Jeżeli funkcja i w pewnym otoczeniu punktu pochodna zmienia znak, przy czym:

1.	jeśli dla , to funkcja ma w punkcie minimum lokalne;

2.	jeśli dla , to funkcja ma w punkcie maksimum lokalne.

Warunek II. Jeżeli funkcja ma w pewnym otoczeniu punktu drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie , a ponadto , to funkcja ma w punkcie maksimum, gdy , natomiast minimum, gdy .

Przykład 1.

wstecz

Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstremum lokalne funkcji

Dziedzina funkcji:

Wyznaczamy pochodną funkcji i miejsca zerowe pochodnej funkcji.

Funkcja jest rosnąca jeśli , malejąca gdy .

Rozwiązujemy nierówność wielomianową:

Wyznaczamy przedziały w których funkcja jest rosnąca i malejąca.

Funkcja jest rosnąca w przedziale

Funkcja jest malejąca w przedziale

W pochodna zmienia znak z "+" na "-" czyli istnieje w tym punkcie max. lokalne funkcji.

W pochodna zmienia znak z "-" na "+" czyli istnieje w tym punkcie min. lokalne funkcji.

---