WYKŁAD 13.

Wprowadzenie do drgań nieliniowych.

Dotychczas rozważaliśmy przypadki , w których charakterystyki sprężysta i tłumienie

były funkcjami liniowymi. W ogólnym przypadku i w praktyce inżynierskiej owe charak

terystyki są mają charakter nieliniowy .

Rys.13.1.Rodzaje charakterystyk .

Charakterystyka liniowa :

(13.1)

Charakterystyka nieliniowa :

(13.2)

Przyjmujemy ,że te charakterystyki są ciągłe i są funkcjami nieparzystymi :

(13.3)

Warunek (13.3) przedstawia rozwiązanie oscylacyjne .

Tłumienie.

Rys.13.2. Tłumienie.

np.

0.05

Siła tarcia :

T=μ G - graniczna siła tarcia (siła tarcia rozwiniętego)

T=μ N , N= -G

T=0.1*1kN=100 N

Z przedstawionych uwag i opisów charakterystyk stwierdzamy , że w technicznych ukła-

dach w istocie mamy do czynienia z ruchem oscylacyjnym wywołanym nieliniowymi

charakterystykami sprężysto-tłumionymi .

Symbolicznie możemy zapisać :

(13.4)

Równanie (13.4) opisuje drgania autonomiczne .

(13.5)

Równanie (13.5) przedstawia drgania nieautonomiczne (są wymuszane funkcją czasu)

Różnice pomiędzy drganiami liniowymi a nieliniowymi .

1. Nie podlegają zasadzie superpozycji (nie można superponować dwu lub kilku ruchów drgających)

2. W układach liniowych częstości drgań własnych nie zależą od warunków początkowych , a w szczególności od amplitud . Warunki początkowe wpływają tylko na amplitudy i ich fazy . By zmienić częstość drgań w układzie liniowym należy dokonać zmian parametrów - zmian konstrukcyjnych.

W układzie nieliniowym częstość zależy od amplitudy (większość przypadków) .

3. Drgania w układach liniowych zanikają zawsze w wyniku występowania tłumienia .

W układach nieliniowych możliwe są okresowe drgania ustalone pomimo strat energii uzupełnianej ze źródła energii - nie mającego charakteru drgającego .

Zjawisko to ma miejsce w układach samowzbudnych .

4. W układach liniowych drgania wymuszone siłą harmoniczną maja częstość równą częstości siły wymuszającej .

W układach nieliniowych drgania wymuszone mogą przebiegać nie tylko z częstością siły wymuszającej .

5. W układach liniowych przy zadanej sile wymuszającej otrzymujemy jedną odpowiedz tzn. danej częstości wymuszenia harmonicznego odpowiada jedna amplituda drgań wymuszonych .

W układach nieliniowych danej częstości wymuszenia może odpowiadać kilka ustalonych stanów drgających . Spośród nich możliwe są tylko stany stateczne - w teorii drgań nieliniowych ważny jest problem stateczności ruchu .

6. W układach nieliniowych wymuszonych siłą harmoniczną , w pewnym przedziale częstości , wzrastjącą częstością wymuszenia ,a inne gdy częstość wymuszenia maleje (dla tych samych ze) .

W układach liniowych zjawisko to nie występuje .

7. Drgania nieliniowe są wrażliwe na warunki początkowe i w zależności od nich może pojawić się rozwiązanie stateczne lub chaotyczne . Można na drodze analizy numerycznej wygenerować dziwny atraktor - dziwny punkt przegięcia .

Rys.13.3. Rodzaje charakterystyk.

Rys.13.4 Charakterystyka z tłumieniem i bez tłumienia .

Charakterystyka bez tłumienia - charakterystyka twarda .

Rys.13.5. Charakterystyka miękka .

rys.13.6. Płaszczyzna fazowa .

Analiza drgań układu mechanicznego polega na rozwiązaniu względnie badaniu rozwiązań różniczkowych opisujących ruch danego układu .

Ogólnie można rozróżnić następujące grupy metod stosowanych w analizie drgań :

1. Analiza rozwiązań ścisłych (nie zawsze możliwa) .

2. Przybliżone metody analityczne np. metoda małego parametru kolokacji , i inne .

3. Metody topologiczne (metoda Delta) .

4. Przybliżone metody wykreślne i wykreślno-analityczne oparte na własnościach płasz-

czyzny fazowej .

5. Metody numeryczne i analogowe .

Metoda ścisła .

Metodę ścisła całkowania równań różniczkowych ruchu o jednym stopniu swobody mo-

żemy stosować w przypadku ruchów układów zachowawczych (siły działające na układ

posiadają potencjał F= -grad U ) .

(13.6)

Równanie (13.6) przedstawia zależność Duffinga .

(13.7)

Warunki początkowe :

(13.8)

(13.9)

(13.10)

Podstawiając równanie (13.10) do zależności (13.9) otrzymujemy :

(13.11)

(13.12)

Aby scałkować równanie (13.12) musimy znać postać sił sprężystych określony funkcją

F(x) .

Po uwzględnieniu warunków początkowych (13.8) otrzymujemy równanie :

(13.13)

Na płaszczyźnie fazowej równanie (13.13) przedstawia krzywą zamkniętą (obieg w

prawo - dodatność energii kinetycznej ).

Jeżeli dodatkowo F(x) jest funkcją nieparzystą - przemieszczenia x (I , II ćwiartka)

wówczas Φ(x) jest funkcją parzystą . Wtedy krzywa (13.13) jest symetryczna względem

osi X .

Rys.13.7. Ruch punktu M po trajektorii fazowej .

Drgania układu mogą być przedstawione jako ruch punktu M po trajektorii fazowej .

Kładąc za V=0 , otrzymujemy punkty przecięcia z osią X . Współrzędne tych punktów

wyznaczamy z warunku :

(13.14)

Stąd mamy wyznaczoną amplitudę drgań , którą można zapisać jako :

(13.15)

Okres ten będzie równy czasowi potrzebnemu na przejście przez punkt M trajektorii

zamkniętej . Ze względu na symetrię - T będzie równe podwojonemu czasowi

potrzebnemu na przejście z górnej części trajektorii od współrzędnej do współrzędnej

.

Na podstawie równania (13.12) możemy wyznaczyć prędkość :

(13.16)

Dla górnej części krzywej :

(13.17)

Okres T:

(13.18)

Dla przypadku gdy zachodzi F (-x) = - F (x) , można T liczyć jako :

(13.19)

W przypadku równania opisującego drgania nieautonomiczne np. typu Duffinga :

(13.6)

możemy zastosować metodę małego parametru sformułowaną przez Poincare`go .

x

F

0.05

m

Q = 0.05 kN

bez tłumienia

tłumienie

krzywa szkieletowa

x

M

---