Najpierw przepraszam, że w Wordzie, ale tu wygodniej zapisuje się różne równania matematyczne (przynajmniej mi). Mam nadzieję, że może być….

Do Maximy;

Sposób na uzyskanie sumy n wyrazów przy użycui maximy;

Tworzymy wzór na n'ty wyraz fibonacciego;

fib(n):=block(

if n = 0 then 0

else

if n = 1 then 1

else

ratsimp(fib(n-1)+fib(n-2))

);

Następnie wzór na S(n), czyli;

S(n):=sum((fib(k))^(2), k, 0, n), simpsum

Oraz końcowy wzór na sumę x wyrazów szeregu;

g(x):=sum((-1)^(n)/S(n), n, 1, x), simpsum

to tyle, jeśli chodzi o maximę. Niestety, nie oblicza ona wartości inf (nieskończoność)

Przechodzimy na obliczenia ręczne:

Mamy obliczyć sumę szeregu;

Gdzie

Jako że normalne rozpisywanie zawodzi, (terror, próbowałem nawet szacować w Maximie, doszedłem do czegoś takiego:

Czyli sumę tą można rozpisac jako:

-1+(1/2)-(1/6)+(1/15)-(1/40)+........+((-1)^n)/S(n)

Jeżeli pogrupujemy wyrazy w astępujacy sposób:

-1 + ((1/2)-1/6)) + ((1/15)-(1/40))+....+((((-1)^(n-1))/S(n-1) - (((-1)^n)/S(n))) możemy spróbować oszacować:

-1 + ((1/2)-1/6)) + ((1/15)-(1/40))+....+((((-1)^(n-1))/S(n-1) - (((-1)^n)/S(n))) <

< -1 + ((1/2)-(1/3)) + ((1/3) - (1/4)) + ....... + (((1/(n-1)) - (1/(n))) = -1 + ((1/2)-(1/n))

Przy n->nieskończoności suma -1 + ((1/2)-(1/n)) wynosi -1/2, więc automatycznie suma -1+(1/2)-(1/6)+(1/15)-(1/40)+........+((-1)^n)/S(n)

jest od -1/2 mniejsza.

z drugiej strony można spróbować oszacować przez szereg ((-1)^n)/(n^n)

Po czym skapitulowałem:P

ALE

Dzięki wielu mądrym rzeczom znajdującym się w Internecie (chwała XXI wieku!) znalazłem pewne ciekawe własności z których można skorzystać; mianowicie;

Oraz

Co prawda, tu jest od k=1, ale dla k=0 jest zero, więc myślę że zero nie robi zbyt dużej różnicy, zwłaszcza że nie może być, bo ta suma jest w mianowniku…

Korzystając z tych dwóch faktów, możemy naszą sumę zapisać jako:

Teraz możemy to rozpisać;

Więc liczymy sumę częściową szeregu
:=

=

Wyraz F₀ ciągu fibonacciego jest równy 0, więc tak naprawdę interesuje nas tylko wyrażenie

Zbadajmy jego granicę;

Aby zbadać tą granicę, trzeba powiedzieć coś o samym szeregu fibonacciego;

Jak zapewne wiadomo, możliwe że z prezentacji panny A.K.,

Dąży do 1,618, więc jego odwrotność dąży do odwrotności

Z tego wynika, że

=0,618

Czyli szukaną sumą jest właśnie

0,618

Drugi szereg kapitulacja:P

---